(新高考)高考数学一轮复习课时练习7.5《数列的综合应用》(含解析)

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第5讲　数列的综合应用


数列与数学文化
(1)(2020·贵阳市四校联考)中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是(　　)
A．丙分34文，丁分31文
B．丙分37文，丁分40文
C．丙分40文，丁分37文
D．丙分31文，丁分34文
(2)(2020·广州市调研检测)1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
星名
水星
金星
地球
火星
木星
土星
与太阳的距离
4
7
10
16
52
100
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是(　　)
A．388　　　　　　　 B．772
C．1 540 D．3 076
【解析】　(1)方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得即解得所以丙分得a3＝a1＋2d＝34(文)，丁分得a4＝a1＋3d＝31(文)，故选A.
方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，则解得所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，故选A.
(2)设an是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，依题意可知an＝an－1＋3·2n－3(n≥3)，a3＝10，a4＝16，a5＝28，a6＝52，a7＝100，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3＝3·(2n－3＋2n－4＋…＋21)＋10＝3×2×＋10＝3·2n－2＋4(n≥3)．a2＝7也满足上式，故an ＝3·2n－2＋4(n≥2)．所以a10＝3×210－2＋4＝772.故选B.
【答案】　(1)A　(2)B

解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等．　

1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝.
2．朱载堉(1536年～1611年)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前三个音的频率总和为A1，前六个音的频率总和为A2，则＝(　　)
A．1＋2 B．1＋2
C．1－2 D．1－2
解析：选A.依题意13个音的频率依次成等比数列，记为{an}，设公比为q，则an＝a1qn－1.因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以a13＝2a1＝a1q12，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝1＋2，故选A.

数列中的新定义问题
(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．
【解析】　由Hn＝＝2n，
得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②
由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，
所以Sn＝＝.
【答案】　

破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{an}的“优值”Hn＝2n的含义为＝2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式．　
(多选)若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D.
解析：选AD.令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1 ＝3，a2＝9，a3＝27，所以a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；
令an＝，则an＝＋＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”，故选AD.

数列与其他知识的交汇
角度一　数列与函数的交汇
(1)(2020·上海模拟)已知数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若函数f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝(　　)
A．2 020 B．4 040
C．2 021 D．4 042
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且∀n∈N*，2Sn＝(n＋1)an，bn＝Sn，则数列{bn}的前2 020项之和T2 020＝________．
【解析】　(1)因为数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，所以lg(a1·a2 021)＝0，即a1·a2 021＝1. 因为函数f(x)＝，所以f(x)＋f＝＋＝＝2，所以f(a1)＋f(a2 021)＝2. 令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)．则T＝f(a2 021)＋f(a2 020)＋…＋f(a1)．所以2T＝f(a1)＋f(a2 021)＋f(a2)＋f(a2 020)＋…＋f(a2 021)＋f(a1)＝2×2 021，所以T＝2 021.故选C.
(2)因为2Sn＝(n＋1)an①，
所以当n≥2时，2Sn－1＝nan－1②，
①－②得，2an＝(n＋1)an－nan－1，
即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，
两边同时除以n(n－1)，得＝(n≥2)，
即数列为常数列，
故＝＝1，an＝n，
于是Sn＝，
于是bn＝，
令cn＝b4n－3＋b4n－2＋b4n－1＋b4n(n∈N*)，
则cn＝×(0＋1)＋×(－1＋0)＋×(0－1)＋×(1＋0)＝2，
于是T2 020＝c1＋c2＋…＋c505＝2×505＝1 010.
【答案】　(1)C　(2)1 010

数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．　
角度二　数列与不等式的交汇
(1)(多选)已知数列{an}满足2an≤an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则(　　)
A．a5≥4a2－3a1 B．a2＋a7≤a3＋a6
C．3(a7－a6)≥a6－a3 D．a2＋a3≥a6＋a7
(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－1，记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)由2an≤an－1＋an＋1(n≥2)，可得an－an－1≤an＋1－an，所以有a2－a1≤a3－a2≤…≤an＋1－an，所以a5－a4＋a4－a3＋a3－a2≥3(a2－a1)，化简得a5≥4a2－3a1，故选项A正确；由a 7－a 6≥a3－a2可得a7＋a2≥a6＋a3，故选项B错误；由3(a7－a6)≥a6－a5＋a5－a4＋a4－a3＝a6－a3，故可知选项C正确；若an＝n，满足2an ≤an－1＋an＋1(n≥2)，但a2＋a3＝5＜a6＋a7＝13，所以选项D错误．故选AC.
(2)因为an＝2n－1，
所以＝＝，
所以Tn＝＝＜，
又4Tn＜a2－a，
所以2≤a2－a，解得a≤－1或a≥2，
即实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
【答案】　(1)AC　(2)(－∞，－1]∪[2，＋∞)

数列与不等式的综合问题
(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过构造函数进行证明．　

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝ 3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn＝2Tn　　　　　　　 B．Tn ＝2bn＋1
C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1
解析：选D.因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3适合上式，
所以an＝3×2n－1.
设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，
可得b1＝1，q＝2，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.
结合选项可知，只有D正确．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28，若Sn＋30＞nλ对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为________．
解析：由题意得a2＋a4＝a5＋a1＝48，因为a5＝28，
所以a1＝20，则d＝＝＝2，
所以Sn＝20n＋×2＝n(n＋19)，
由n(n＋19)＋30＞nλ得λ＜＝n＋＋19，
由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知，
当n＝5或n＝6时，n＋＋19取最小值30，故λ ＜30.
答案：(－∞，30)

思想方法系列12　解决数列问题的七大常用技巧
技巧一　巧用性质减少运算
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．
(1)在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SkSk＋10，
a7＝S7－S60，
则S11＝＝11a6>0，
S12＝＝>0，
S13＝＝13a7