(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.5.2《直线与椭圆》(含解析)

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第2课时　直线与椭圆


直线与椭圆的位置关系
[题组练透]
1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．不确定
解析：选A.方法一：直线方程y＝2x－1过点(1，1)，而(1，1)在椭圆内部，故选A.
方法二：由得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1 404>0，所以直线y＝2x－1与椭圆＋＝1相交．
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有且只有一个公共点；
(2)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(2)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法

[注意]　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程．　

弦长问题
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．
若|AB|＝，求直线l的方程．
【解】　(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1，所以a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因为Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝×＝＝.
解得m＝±.
所求直线l的方程为y＝x±.

求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．　
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由题意知，离心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由条件可知F1(－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝
＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝.

中点弦问题
(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．
【解析】　(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，
通解：有＋y＝1， ＋y＝1.
两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－.即2＝－，所以x0＋4y0＝0.
优解：由kABkOP＝－得2·＝－，即x0＋4y0＝0.
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得＋＝1，解得x＝±，
又中点在椭圆内，所以－ (2)通解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
优解：设弦的中点为M，由kABkOM＝－，
得2×＝－，得a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】　(1)x＋4y＝0
(2)＋＝1

解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
　
　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为AB的中点为M，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.因为PF∥l，所以kPF＝kl＝－＝.
因为＋＝1，＋＝1.所以＋＝0，所以＋＝0，可得2bc＝a2，
所以4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，解得e2＝，又因为0
椭圆与向量的综合问题
已知点F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|＋|＝2，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为(　　)
A. B.
C．2 D．1
【解析】　|＋|＝2||＝2，
所以||＝＝c，所以MF1⊥MF2，
解得|MF1||MF2|＝2，
所以△MF1F2的面积S＝×|MF1|×|MF2|＝1.
【答案】　D

解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．　
已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为·≥2，
所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，
所以a2≥3c2，所以0<≤.

[A级　基础练]
1．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，7)
C．[1，7) D．(1，7]
解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m<7.综上，1≤m<7.
2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k＝(　　)
A．± B．± C．± D．±2
解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.
3．(2020·唐山模拟)直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是(　　)
A.－1 B. C．2－2 D.－1
解析：选A.记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0，1)，则F′(，0)．由＝2，可得A，则|AF|＝3.连接AF′，则|AF′|＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1，故选A.
4．(多选)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是(　　)
A．若a＝2b，则Ω的离心率为
B．若Ω的离心率为，则＝
C．若F1，F2分别为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4a
D．若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－
解析：选BCD.若a＝2b，则c＝b，e＝，选项A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，＝，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以PA1，PA2的斜率之积为·＝＝＝－，选项D正确．
5．斜率为的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两个不同的点．若∠AOB为钝角，则直线l在y轴上的截距m的取值范围为________．
解析：由题意知l的方程为y＝x＋m.由得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
又∠AOB为钝角等价于·<0，且m≠0，
则·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋
＝x1x2＋(x1＋x2)＋m2<0.
将x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4代入，
化简整理得m2<2，即－ 故m的取值范围为(－，0)∪(0，)．
答案：(－，0)∪(0，)
6．已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为，则k＝________．　
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ>0，x1＋x2＝，所以＝＝，即k2＝，所以k＝±.
答案：±
7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．
解析：由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得＝，
解得m＝±1.
答案：±1
8．(2020·湖北襄阳四中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为点M，直线QM交x轴于N(1，0)，椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为________．
解析：由题意知P，Q两点关于原点对称，则可设Q(m，n)，则P(－m，－n)．因为点A的坐标为(a，0)，所以点M的坐标为，又因为N(1，0)，Q(m，n)，所以＝(m－1，n)，＝.因为Q，N，M三点共线，所以－(m－1)＝n，整理得＝，所以a＝3.因为椭圆C的离心率e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝9－1＝8.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解：(1)由题意得得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝
＝＝.
又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝，由＝，得k＝±1，满足Δ>0.所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
10．(2020·开封市模拟考试)已知椭圆C：＋y2＝1，直线l交椭圆C于A，B两点．若点P(－1，1)满足＋＋＝0(O为坐标原点)，求AB的长．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由＋＋＝0，且点P(－1，1)，得x1＋x2＝1，y1＋y2＝－1.①
所以线段AB的中点坐标为，在椭圆内部．
由得＋y－y＝0，
整理得＝－，即＝－.
将①代入，得kAB＝＝.
所以直线AB的方程为y－＝，即2x－4y－3＝0.联立得消去x得24y2＋24y＋1＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－1，y1y2＝.
所以|AB|＝ ＝.
[B级　综合练]
11．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值为(　　)
A. B．2 C. D．3
解析：选C.由题意得椭圆的长半轴长a＝5，半焦距c＝3，所以A点为椭圆的右焦点，因为||＝1，所以点M在以A(3，0)为圆心，1为半径的圆上．因为·＝0，所以⊥，如图，连接PA，则△PMA为直角三角形，所以||＝＝，所以当||取得最小值时，||取得最小值．由图知||min＝a－c＝5－3＝2，所以||min＝＝，故选C.
12．(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是(　　)
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：选ACD.设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－x，y＝m－，k1k2＝·＝＝－.于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确．离心率为，B错误．焦点为(±，0)，曲线y＝log3x－经过焦点(，0)，C正确．又直线2x－y－2＝0过点(1，0)，且点(1，0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选ACD.
13．(2020·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0，2)，且|MF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程．
解：(1)由题意，可得解得a＝2，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，才有|AM|＝|BN|.
当l的斜率不存在时，|AM|＝2－，|BN|＝，|AM|≠|BN|，不合题意，故l的斜率必定存在．
设l的方程为y＝kx＋2，由
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，即k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设N(x0，y0)，则x0＝＝－.
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，所以|x1－x2|＝|x0－0|，
则＝|x0|，即＝，整理得k2＝>，故k＝±，l的方程为y＝±x＋2.
14．(2020·福州市适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线l：3x＋4y－5＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线y＝x＋m交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1>x2，已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，若P在直线MN的右下方，求m的值．
解：(1)依题意，b＝＝1，因为离心率e＝＝＝，所以＝，解得a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为直线y＝x＋m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN的右下方，所以NP∥x轴，如图，过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，所以Q(x1，y2)，故P(2x1－x2，y2)，
所以3(2x1－x2)＋4y2－5＝0，即3(2x1－x2)＋4(x2＋m)－5＝0，
整理得6x1＋x2＋4m－5＝0.　①
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
所以Δ＝36m2－48m2＋48>0，解得－2 x1x2＝(m2－1)，　③
①－②得，x1＝1－，　④
将④代入②得x2＝－1－m，　⑤
将④⑤代入③得(m＋1)＝(m－1)(m＋1)，解得m＝－1，所以m的值为－1.
[C级　创新练]
15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A. B. C. D．2
解析：选B.由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，所以S△OCD＝··＝，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，＋y＝1，即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝时等号成立，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
16．如图是数学家Germinal Pierre Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离O1O2＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率为________．
解析：如图，根据球外一点向球作的切线长相等知，PM＝PF，PE＝PN.根据椭圆的定义知MN＝2a.又O1O2＝8，球O1的半径R＝3，球O2的半径r＝1，所以MN＝2a＝＝，则a＝.又∠O1PF＋∠O2PE＝(邻补角的平分线相互垂直)，tan ∠O2PE＝＝＝，tan ∠O1PF＝＝＝，所以×＝1，则c＝2.所以离心率e＝＝＝.
答案：