江苏省连云港市赣榆智贤中学2022-2023学年高二上学期第一次学情检测数学试题（含答案）

赣榆智贤中学高二年级第一学期第一次学情检测

数学试题

考试范围：直线与圆；考试时间：120分钟；命题人：

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(每题5分，共40分)

1．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

3．若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知圆（、为正实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（    ）

A．平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

B．直线与轴的交点到原点的距离为

C．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D．不能表示经过点且斜率为的直线方程

6．与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题(每题5分，共20分)

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值为2．

C．直线与圆的位置关系不确定．

D．若直线与圆相交，则点在圆外．

10．设圆的圆心为，直线过，且与圆交于两点，若，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知圆，直线，则（    ）

A．圆心坐标为 B．圆的半径为3

C．直线与圆相交 D．圆上的点到直线的距离最大值为

12．已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）

A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1

C．四边形AMBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点

第II卷（非选择题）

三、填空题(每题5分，共20分)

13．与圆同时相切的直线有___________条.

14．若直线与直线相互垂直，则被圆截得的弦长为________．

15．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为______．

16．过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．

四、解答题

17．（本题10分）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．

(1)BC边上的高线的方程；

(2)BC边的垂直平分线的方程．

18．（本题12分）求满足条件的圆的标准方程：

(1)已知，，以为直径；

(2)圆心为点且与直线相切.

19．（本题12分）圆的圆心为，且过点．

(1)求圆的标准方程；

(2)直线：与圆交两点，且，求．

20．（本题12分）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．

21．（本题12分）在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．

已知圆M经过点且_____．

(1)求圆M的方程；

(2)求以为中点的弦所在的直线方程．

22．（本题12分）已知直线与圆.

(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；

(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.

【详解】由题意设所求方程为，

因为直线经过点，

所以，即，所以所求直线为.

故选：A.

2．B

【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.

【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.

故选：B

3．B

【分析】可设圆心为，由两切线可求，再由点到直线距离可求，进而求得圆C的方程.

【详解】因为圆心在直线上，可设圆心为，又因为圆C与直线和：都相切，两直线间距离为，则半径，

又由圆心到直线距离得，化简得，故，

则圆的标准方程为：.

故选：B

4．B

【分析】分析可知直线过圆心，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】圆的圆心坐标为，由题意可知，圆心在直线上，则，

可得，则，由已知可得，可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：B.

5．D

【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的方程判断各选项即可．

【详解】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；

对于B：直线与轴的交点到原点的距离为，故B错误；

对于C：在轴、轴上的截距分别为，且不为0的直线方程为，故C错误；

对于D：由方程可知，，即方程表示不过点且斜率为的直线方程，故D正确；

故选：D．

6．C

【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案

【详解】解：由可得，所以圆心为，

由可得，所以圆心为，

因为与圆关于直线对称的圆的方程为，

所以关于直线对称的点为，且半径相等，

所以与的中点在上，即解得，满足题意，

故选：C

7．B

【分析】计算出圆的圆心和半径，设，由几何性质得到当与圆的弦垂直时，弦最短，利用垂径定理求解出最短弦长.

【详解】整理为，故圆心为，半径为，

设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，

其中，

由垂径定理得：.

故选：B

8．B

【分析】求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析可得.

【详解】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上.

设圆心C关于直线的对称点的坐标为B，

则，解得.

如图，由对称性可知，

所以，当将军去往河边饮马的行走路线所在的直线经过，两点时，“将军饮马”的总路程最短，

因为，所以该直线方程为，即.

故选：B

9．BD

【分析】对于A，判断两直线的斜率的乘积是否为，对于B，过点的直线被圆截得的最短弦为当弦与圆心和点的连线垂直时即可，对于C，先求出直线过的定点，然后再判断即可，对于D，由题意可得，化简可得结论

【详解】对于A，因为直线与直线的斜率分别为，且，所以两直线不垂直，所以A错误，

对于B，圆可化为，圆心，半径为3，当弦与圆心和点的连线垂直时，弦最短，最短弦长为，所以B正确，

对于C，直线化为，所以直线恒过点，因为点在圆内，所以直线与圆必相交，所以C错误，

对于D，因为直线与圆相交，所以，所以，所以点在圆外，所以D正确，

故选：BD

10．AC

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为：，根据圆心到直线的距离，得到方程，解得即可；

【详解】解：圆，即的圆心为，半径为2，当直线垂直于轴时，直线方程为：，由得或，此时符合题意：当直线斜率存在时，设直线方程为：，即.由，得圆心到直线的距离.故，解得，直线方程为：，即.

故选：AC.

11．BCD

【分析】把圆方程化为标准方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离可判断直线与圆位置关系，由圆心到直线的距离加半径可得圆上的点到直线距离的最大值．

【详解】转化为标准方程为，故圆心，半径为，故直线与圆相交，圆上的点到直线距离的最大值为.

故选：BCD．

12．BD

【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.

【详解】由圆M：，可知圆心，半径，

∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；

由圆的性质可得切线长，

∴当最小时，有最小值，又，

∴，故B正确；

∵四边形AMBP面积为，

∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；

设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，

所以，即，

又圆M：，即，

∴直线AB的方程为：，即，

由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.

故选：BD.

13．

【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径为；

圆的圆心为，半径为；

圆心距，所以两圆相交，公切线有条.

故答案为：

14．

【分析】由两条直线垂直得，再结合几何法求弦长即可得答案.

【详解】解：因为直线与直线相互垂直，

所以，解得，

故，

所以圆心到的距离，

所以所求弦长为．

故答案为：

15．

【分析】由题设，根据圆的方程找到轴线点，应用两点式求与各轴线点连线的斜率，数形结合法判断满足题设情况下直线l的范围.

【详解】记，，，，．

当，即时，两个交点分别位于第一、三象限，满足题意；

当，即时，两个交点分别位于第三、四象限，满足题意；

当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第二象限，不满足题意；

当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第三象限，不满足题意．

综上，或．

故答案为：.

16．##

【分析】根据圆的性质，结合三角形面积公式、点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为，

因为，，

所以点O到直线l的距离为，所以，解得．

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；

（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.

（1）

因为，所以BC边上的高线的斜率 ，

故BC边上的高线的方程为：,

 即所求直线方程为：.

（2）

因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，

又BC的中点为，

故BC边的垂直平分线的方程为：，

即所求直线方程为：.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到圆心，半径为，即可得到答案.

（2）根据直线与圆的位置关系求解即可.

（1）

圆心为的中点，半径为，

所以圆的标准方程为.

（2）

点C到直线的距离为，

所以圆的标准方程为.

19．(1)

(2)或

【分析】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；

（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.

（1）

解：因为圆的圆心为，且过点,

所以半径，

所以，圆的标准方程为

（2）

解：设圆心到直线的距离为，因为

所以，解得

所以，由圆心到直线距离公式可得．

解得或．

20．(1)

(2)

【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再根据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可；

（2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.

（1）

解：设圆心的坐标为，

则半径，

又因动圆在y轴上截得的弦长为8，

所以，

化简得，

即动圆圆心的轨迹C的方程为；

（2）

解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，

由抛物线的定义，可知，

所以，

由图可知的最小值为F到直线的距离，

所以，

所以的最小值为．

21．(1)

(2)

【分析】（1）若选条件①，，将三个点的坐标代入圆的方程，计算即可. 选条件②，设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，将圆心坐标代入直线方程，计算即可. 选条件③．设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，再结合弦长公式，计算即可.

（2）由垂径定理知，过该中点的直径与弦垂直，从而得到其斜率即可.

（1）

选条件①．设圆的方程为，

由题意得解得

所以圆的方程为，即．

选条件②．设圆的方程为，

由题意得解得

所以圆的方程为，即．

选条件③．设圆的方程为，

由题意得（i）

因为圆截轴所得弦长为8，

所以方程有两个不等的实数根，，

且，

即，（ii）

由（i）（ii）可得，，或，，，

又因为圆心的坐标为整数，

所以，，．

故圆的方程为，即．

（2）

由（1）知圆心的坐标为，弦的中点为，

弦的斜率，

所以弦所在的直线方程为，即．

22．(1)证明见解析，定点

(2)是定值，定值为

【分析】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点

（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.

（1）

由直线得，

联立，解得，

直线l恒过定点.

（2）

圆的圆心为，半径为，直线过点，

直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，

联立，得，

设，，则，，

是定值，定值为