皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期阶段性测试(一)数学试题（含答案）

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2022―2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A．-7 B．-5 C．-2 D．2

2．已知菱形的对角线与轴平行，，则点的坐标为（    ）

A．（-1，2） B．（-2，1） C．（-1，1） D．（2，2）

3．已知向量分别为平面的法向量，则平面与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．若直线能围成一个三角形，则须满足（    ）

A．且  B．且

C．  D．且

5．若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．如图所示，在平行六面体中，分别为的中点．若，则向量可用表示为（    ）

A．  B．

C．  D．

7．在三棱锥中，，则（    ）

A． B．2 C． D．1

8．已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（    ）

A．4 B． C． D．8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在空间直角坐标系中，已知点则与垂直的向量的坐标可以为（    ）

A． B． C． D．

10．关于直线，下列说法正确的是（    ）

A．当的值变化时，总过定点 B．存在，使得与轴平行

C．存在，使得经过原点 D．存在，使得原点到的距离为3

11．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，点与点在同一平面内，则点到点的距离可能为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．

阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ）

A．平面与垂直  B．平面与所成角的余弦值为

C．直线与平面平行 D．直线与是异面直线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与直线互相平行，则实数_____．

14．已知直线，直线经过点，若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线的方程为_____．

15．已知四点在平面内，且任意三点都不其线，点为平面外的一点，满足，则_____．

16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的棱形，．，则_____．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

分别求出满足下列条件的直线的方程：

（Ⅰ）经过直线和的交点，且与直线垂直；

（Ⅱ）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．

18．（12分）

如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且平面，分别为棱的中点．

（Ⅰ）用向量表示；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．

19．（12分）

已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．

（Ⅰ）若与关于直线对称，求和的倾斜角

（Ⅱ）若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．

20．（12分）

在中，已知的平分线所在的直线方程为．

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求的面积．

21．（12分）

如图所示，在三棱锥中，平面，点分别在棱上，满足，且．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

22．（12分）

如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面且，棱与的中点分别为．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线到平面的距离；

（Ⅲ）求平面与平面的夹角的余弦值．

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2022—2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．A  2．A  3．C  4．D  5．C  6．B  7．C  8．B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BD  10．AC  11．CD  12．AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．  15．2  16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析：（Ⅰ）由解得∴和的交点为．（2分）

∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，（3分）

∴直线l的方程为，即．（5分）

（Ⅱ）当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；（7分）

当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．

综上可得l的方程为或．（10分）

18．解析：（Ⅰ）

．（5分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

（6分）

由已知得，，，，

∴，，（7分）

∴，．（9分）

设异面直线BF与CE所成的角为，则

．（12分）

19．解析：（Ⅰ）直线的倾斜角为60°．（1分）

∵，关于直线对称，且，

∴，与直线的夹角均为，（3分）

∴，的倾斜角分别为和．（5分）

（Ⅱ）∵，，，∴四边形为矩形．（6分）

设，，则，（7分）

，当且仅当时取等号．（9分）

易知此时的斜率存在，设，则点到的距离为，

令，得（负值舍去）．（11分）

∴当的面积最大时，的方程为．（12分）

20．解析：（Ⅰ）设关于的平分线的对称点为，则直线为线段的中垂线，（1分）

∴解得即，（3分）

再由，B在直线BC上，可得，

所以直线BC的方程为，即．（4分）

由解得可得点C的坐标为．（6分）

（Ⅱ）∵，，∴，

∴直线AB的方程为，即，（8分）

则点C到直线AB的距离为，（10分）

而，（11分）

∴的面积为．（12分）

21．解析：（Ⅰ）∵平面ABC，∴，

又∵，，∴平面PCD，∴．（1分）

由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．

（2分）

∵，，∴．（3分）

∵，，

∴．（4分）

∴．

由，（5分）

解得．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）及条件可得，，，，．

设平面PDE的法向量为，

则令，得．（9分）

又，

∴，（11分）

∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．（12分）

22．解析：由题意得上底面面积为，下底面面积为，

设三棱台的高为h，则，得．（1分）

设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

（2分）

（Ⅰ）由已知可得，，，∴，，

设平面FGH的法向量为，

则令，可得．（4分）

由，可得，（5分）

∴，

又平面FGH，∴平面FGH．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．

∵，∴．（8分）

（Ⅲ）设平面BCF的法向量为，

由，，可得，，

∴令，得．（10分）

∴，

∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．（12分）