江苏省连云港市赣榆智贤中学2022-2023学年高三上学期第一次学情调研数学试题（含答案）

2022～2023学年高三第一学期第一次学情调研

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2022．9

一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|∈A}，则A∩B＝(　　)

A. {1}    B. {1，2}    C. {1，4}    D. ∅

2.已知复数z满足=1+2i,则复数z对应的点位于(　　).

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限    D.第四象限

3. 已知θ为第一象限角，且sin θ(cos θ＋sin θ)＝，则tan (θ－)＝(　　)

A. 3    B. －    C. 2    D. －

4. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，对数是简化大数运算的有效工具．若一个35位整数a的31次方根仍是一个整数b，则根据下表数据，可知b＝(　　)

A. 13    B. 14    C. 15    D. 16

5. 函数y＝的部分图象大致为(　　)

6.口袋中有编号分别为1,2,3的3个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为(　　).

A.      B.       C.2      D.

7. 刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．

已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是(　　)

A. 24        B.  24＋24

C. 24＋24    D. 24＋16＋8

8.已知2a=3,5b=11,c=90.25,则下列不等式成立的是(　　).

A.a<b<c    B.b<a<c     C.a<c<b      D.c<b<a

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设集合M＝{x|x＝6k＋2，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋5，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 (　　)

A. M∩N≠∅    B. M∪N＝P    C. M＝P    D. ∁PM＝N

10. 已知关于x的ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，3)，则下列结论不正确的是(　　)

A. a<0

B. 9a＋6b＋4c<0

C. 关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(－，)

D. ＋c的最小值是－4

11. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，则(　　)

A. f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0    B. f(－x)＝f(x)

C. f(x＋4)＝－f(x)    D. f(x＋8)＝f(x)

12. 已知(其中n<15)的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列,则下列结论正确的是(　　).

A.展开式中奇数项的二项式系数和为213

B.展开式中常数项为第8项

C.展开式中有理项有3项

D.二项式系数最大的项是第7项

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数f(x)＝ln x＋ln (2π－x)的所有零点之和是________．

14. 已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx在区间[－，]上是单调递增的，写出满足条件的一个ω的值：________．

15. 已知x>1，且＋＝1，则＋的最小值为________．

16. 拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形ABP，BCQ，CAR，它们的中心依次为D，E，F.若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则RQ＝________，△DEF的面积为________．

四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数f(x)=log4(2x+3-x2).

(1)求f(x)的定义域及单调区间;

(2)求f(x)的最大值,并求出取得最大值时x的值;

(3)设函数g(x)=log4[(a+2)x+4],若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立,求实数a的取值范围.

18.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，D为△ABC外一点，且∠ADC＝90°，∠ACD＝α.

(1) 若sin α＋cos α＝，求△ACD与△ABC的面积之比；

(2) 若∠ADB＝30°，求BD的长．

19.已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象上的任意两点,函数f(x)的图象关于直线x=对称,且函数f(x)的图象经过点P(0,-),当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调递增区间;

(3)当x∈时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.

20.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,AA1=3,D,E分别为AB,BC的中点.

(1)求证:CD⊥平面AA1B1B.

(2)求二面角B-AE-B1的余弦值.

21.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m,n满足m=(2a,),n=(b,sinB),且m∥n.(1)求角A;   (2)若△ABC是锐角三角形,且a=2,求b+c的取值范围.

22.已知{an}是等差数列,a1=1,a4=10,且a1,ak(k∈N*),a6是等比数列{bn}的前3项.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列,求数列{cn}的前20项的和.

2022～2023学年高三第一学期第一次学情调研

数学参考答案及评分标准

1. C　2. D　3. B　4. A　5. C　6. D　7. B　8. D　9. BD　10. BCD　11. BCD　12. AC

13. 2π　14. 0<ω≤内的值均可　15. 2 　16. 　

17. 解：解析　(1)令2x+3-x2>0,

解得x∈(-1,3),即f(x)的定义域为(-1,3).

令t=2x+3-x2,则y=log4t,

因为y=log4t为增函数,

x∈(-1,1]时,t=2x+3-x2为增函数;

x∈[1,3)时,t=2x+3-x2为减函数,

故f(x)的单调增区间为(-1,1];f(x)的单调减区间为[1,3).

(2)由(1)知当x=1时,t=2x+3-x2取得最大值4,此时函数f(x)取最大值1.

(3)若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立,

则2x+3-x2≤(a+2)x+4在x∈(0,3)上恒成立,

即x2+ax+1≥0在x∈(0,3)上恒成立,即a≥-在x∈(0,3)上恒成立,

当x∈(0,3)时,x+≥2,则-≤-2,故a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞).

18. 解：(1) 在△ABC中，因为∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

所以AB＝2，BC＝4，

所以△ABC的面积为×2×2＝2.(2分)

在△ACD中，因为∠ADC＝90°，∠ACD＝α，AC＝2，

所以AD＝2sin α，CD＝2cos α，

所以△ACD的面积为×2sin α×2cos α＝2sin αcos α.(4分)

因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

所以sin αcos α＝，所以△ACD的面积为.

所以△ACD与△ABC的面积之比为.(6分)

(2) 因为∠ADB＝30°，所以∠CDB＝60°，∠DCB＝60°＋α，∠DBC＝60°－α.

在△BCD中，由正弦定理＝，

得CD＝＝sin (60°－α).(8分)

由(1)得CD＝2cos α，所以sin (60°－α)＝2cos α，所以tan α＝，

解得sin α＝，cos α＝，

所以CD＝2cos α＝，

cos ∠DCB＝cos (60°＋α)＝cos αcos 60°－sin αsin 60°＝－.(10分)

在△BCD中，由余弦定理BD2＝CB2＋CD2－2×CB×CD×cos ∠BCD，

得BD2＝42＋()2－2×4××(－)＝，

所以BD＝.(12分)

19. 解：解析　(1)由|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即=,所以ω=3,

所以f(x)=2sin(3x+φ).

又函数f(x)的图象关于直线x=对称,

所以3×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z).又-<φ<0,所以φ=-.

故f(x)=2sin.

(2)令-+2kπ≤3x-≤+2kπ(k∈Z),

即-+≤x≤+(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间为-+,+(k∈Z).

(3)当x∈时,-≤3x-≤.

所以-≤sin≤,即-≤f(x)≤1.

所以2+f(x)>0,于是mf(x)+2m≥f(x)等价于m≥=1-.

又-≤f(x)≤1,所以当f(x)=1时,1-取得最大值,最大值为,即的最大值为,

所以实数m的取值范围是.

20. 解：　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以AA1⊥CD.

又△ABC为等边三角形,D为AB的中点,

所以CD⊥AB.

因为AB∩AA1=A,所以CD⊥平面AA1B1B.

(2)取A1B1的中点为F,连接DF,

因为D,F分别为AB,A1B1的中点,

所以DF⊥AB.由(1)知CD⊥AB,CD⊥DF,

则建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

由题意得A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,),A1(1,3,0),B1(-1,3,0),E,=,=(-2,3,0).设平面AB1E的法向量n=(x,y,z),

则

令x=1,则y=,z=,所以n=.

由题意可知,平面BAE的一个法向量=(0,3,0).

因为cos<,n>==.

由已知可得二面角B-AE-B1为锐角,

所以二面角B-AE-B1的余弦值为.

21. 解：解析　(1)因为m=(2a,),n=(b,sinB),且m∥n,

所以2a·sinB=·b,即2asinB=b.

在△ABC中,由正弦定理得2sinAsinB=sinB,而sinB>0,

所以sinA=,又0<A<π,

所以A=或.

(2)因为△ABC是锐角三角形,所以A=,所以C=-B,

又0<B<,且0<-B<,所以<B<.

由a=2及正弦定理得====,则b=sinB,c=sinC=sin,

所以b+c=

=

=4sinB+cosB=4sin,

而<B+<,则<sin≤1,即2<b+c≤4,

所以b+c的取值范围是(2,4].

22. 解：　(1)数列{an}是等差数列,设公差为d,且a1=1,a4=10.

则解得d=3,

所以an=1+3(n-1)=3n-2.

又因为a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,

则=a1·a6,

由于ak=3k-2,代入上式解得k=2.

于是b1=1,b2=4,b3=16,因此等比数列{bn}的公比q=4,

故数列{bn}的通项公式为bn=4n-1.

(2)设数列{cn}的前20项的和为S20.

因为b4=43=64=a22,b5=44=256=a86,

所以S20=(a1+a2+…+a24)-(b1+b2+b3+b4)=24×1+×3-(1+4+16+64)=767.