2022-2023学年河南省焦作市高三上学期定位考试理科数学试题含答案

焦作市普通高中2022—2023学年高三年级定位考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则实数（    ）

A．11 B．1 C．－1 D．－11

4．若直线与双曲线：的一条渐近线平行；则的值为（    ）

A． B． C．4 D．16

5．已知数列为等差数列，若，则（    ）

A．4 B．6 C．12 D．16

6．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是（    ）

A．322 B．161 C．91 D．80

7．已知等比数列中，，，则（    ）

A．27 B．9 C． D．

8．在三棱锥中，，，，分别为，，的中点，为的中点，若且，则下列结论中不一定正确的是（    ）

A．平面 B．平面 C．平面 D．平面

9．袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字4，5，6．每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次．设事件为“三次记下的号码之和是15”，事件为“三次记下的号码不全相等”，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若，，，则（    ）

A． B．2 C． D．4

11．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，和分别是该圆柱上、下底面的一条直径，若四面体的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C．  D．

12．已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，且点在直线上，则的最小值为______．

14．若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______．

15．已知函数在上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为______．

16．已知函数及其导函数满足，若，且在上存在极值点，则实数的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，求．

18．（12分）

如图，在正三棱柱中，，，点，分别在棱和棱上，且，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）

在“校园安全”知识竞赛中有两道多选题，每道题给出的四个选项中有多个正确选项，全部选对的得10分，选对但不全的得5分，有选错或未作答的得0分．小明参加了这次竞赛，由于准备不充分，他对这两道多选题涉及的知识完全不了解．

（Ⅰ）若小明选择每个选项的概率均为且互不影响，求他这两道题得分之和为20分的概率；

（Ⅱ）若这两道题中一题有2个正确选项，一题有3个正确选项，小明每道题随机选择两个选项，求小明这两题得分之和的分布列和数学期望．

20．（12分）

已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值．

21．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与交于，两点．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）设，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）求直线与的图象围成的三角形的面积的最大值．

焦作市普通高中2022—2023学年高三年级定位考试

理科数学·答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1．B   2．D   3．C   4．A   5．C   6．B   7．A   8．C   9．A   10．B   11．D   12．C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．16   14．24   15．   16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析（Ⅰ）由，得，

由正弦定理得．

因为，所以，

所以．

因为，所以，得．

（Ⅱ）由及正弦定理得，所以．

由余弦定理得，

即，解得．

18．解析（Ⅰ）如图，取的中点，的中点，连接，，，

则，且，

所以且，所以四边形为平行四边形，所以．

因为是等边三角形，是的中点，所以．

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）设的中点为，连接，，易知，，三点共线．在正三棱柱中，可得，所以，，两两互相垂直．

分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，由得

令，得到平面的一个法向量．

设直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．解析（Ⅰ）由题意，这两道题小明全部选对．

小明一道题全部选对的概率为，

所以小明这两道题得分之和为20分的概率为．

（Ⅱ）设有2个正确选项的题为甲，有3个正确选项的题为乙．

小明每道题随机选择两个选项有种选择方法．对于甲题，只有1种选法得10分，其余5种选法均得0分，即甲题得10分的概率为，得0分的概率为．对于乙题，有3种选法得5分，其余3种选法得0分，即乙题得5分和得0分的概率均为．

所以，，

，．

所以的分布列为

所以．

20．解析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由条件可知

解得所以的方程为．

（Ⅱ）设，则．①

设过点与椭圆相切的直线方程为，

联立得，

则，

整理得．②

由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得．

又因为，所以，所以为定值－2．

21．解析（Ⅰ）若，则，

，

则切线的斜率为，又，

所以曲线在点处的切线方程是，即．

（Ⅱ），由条件知，是方程的两个根，

所以则．

所以．

设，分析可知的取值范围是，则，

不等式恒成立，等价于恒成立．

设，则恒成立，

．

（i）若，则，所以，在上单调递增，

所以恒成立，所以符合题意；

（ii）若，则在上单调递增，在上单调递减，

所以当的取值范围是时，，不满足恒成立．

综上，实数的取值范围是．

22．解析（Ⅰ）由得，得，

故的普通方程为．由，得，

因为所以，故的直角坐标方程为．

（Ⅱ）因为经过点，且斜率为－1，

所以的参数方程可写为（为参数），

代入的方程得．

设，对应的参数分别为，，则，，

所以．

23．解析（Ⅰ）

不等式等价于或或

得或或，综上可得不等式的解集为．

（Ⅱ）作出的大致图象如图所示，由已知可得当时，直线与的图象围成的的面积最大，计算可得，，，

所以的面积为．