2022-2023学年辽宁省鞍山市高三上学期第一次质量监测数学试题含答案

鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测

数学

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

4. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数的单调减区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（    ）

A  B.  C.  D.

7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）

A 16 B. 25 C. 36 D. 49

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设函数在处的导数存在，则（    ）.

A  B.

C.  D.

10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（     ）

附：

A.  B.  C.  D.

11. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（    ）

A. 的周长为

B. （不重合时）平分

C. 面积的最大值为6

D. 当时，直线与轨迹相切

12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是(    )

A. 当时，在单调递增

B. 当时，在处的切线方程为

C. 当时，在上至少有一个零点

D. 当时，在上不单调

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为__________.

14. 的值为_________.

15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.

16. 若实数，，，满足，则的最小值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列满足首项为的值，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求角B；

（2）若，的面积为，求的周长.

19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.

（1）求与平面AEF所成角正弦值；

（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：

①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；

②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.

20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.

（1）求乙闯关成功的概率；

（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP斜率之积等于.

（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

22. 已知函数（），.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测

数学

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

2. 已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

4. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

5. 函数的单调减区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）

A. 16 B. 25 C. 36 D. 49

【答案】B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设函数在处的导数存在，则（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（     ）

附：

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

11. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（    ）

A. 的周长为

B （不重合时）平分

C. 面积的最大值为6

D. 当时，直线与轨迹相切

【答案】ABD

12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是(    )

A. 当时，在单调递增

B. 当时，在处的切线方程为

C. 当时，在上至少有一个零点

D. 当时，在上不单调

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为__________.

【答案】

14. 的值为_________.

【答案】1

15. 根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.

【答案】

16. 若实数，，，满足，则的最小值为__________.

【答案】2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列满足首项为的值，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；

（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.

【小问1详解】

根据题意得， ，

因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.

【小问2详解】

由（1）可得，

所以.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求角B；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，

（2）根据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.

【小问1详解】

∵，

∴，∴.

由正弦定理得，

，∴，∵，∴.

【小问2详解】

∵的面积为，即，得，

∵，∴，∵，∴，∴，

由余弦定理可得，∵，∴，

∴三角形的周长为.

19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.

（1）求与平面AEF所成角的正弦值；

（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：

①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；

②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.

【答案】（1）   

（2）①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；②

【解析】

【分析】（1）取AC中点O连接OB，OF，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值；

（2）①由基本事实3可得，②延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求，确定点位置，由余弦定理求得的长．

【小问1详解】

取AC中点O连接OB，OF，因为正三棱柱，F为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

所以，，，，

所以，，，

设平面AEF的法向量，则，即，

令，则，，所以，

设与平面AEF所成角为，则，

所以与平面AEF所成角的正弦值为.

【小问2详解】

①基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

②如下图，延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求.

是中点，且，所以是的一条中位线，所以是中点，又是中点，所以是的重心，∴.

由余弦定理可得：，∴.

20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.

（1）求乙闯关成功的概率；

（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，，甲

【解析】

【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，

（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.

【小问1详解】

乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.

【小问2详解】

由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，

，，，，

故X的分布列为

所以.

所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.

21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，

（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相似转化为长度关系，即可列式子求解.

【小问1详解】

因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为

设点P的坐标为，由题意得，化简得

故动点P的轨迹方程为；

【小问2详解】

若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，

则

因为，所以，所以

即，解得，因为，所以，

故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.

22. 已知函数（），.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，（2）

【解析】

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；

（2）将不等式恒成立转化为对恒成立，构造函数，利用导数研究函数性质，求解的最值，即可得到的取值范围

【详解】解：（1）函数的定义域为，

由，得，

当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，

当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有极大值点，无极小值点，

综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，

（2）因为恒成立，即恒成立，

所以对恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，

所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，

即，

两边取对数可得，即，

因为函数在上单调递增，所以，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，

所以的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是恒成立，转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难