2023届上海市同济大学第一附属中学高三上学期第二次测试数学试题含答案

2023届上海市同济大学第一附属中学高三上学期第二次测试数学试题

一、单选题

1．设a，b，c为正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不修要条件

【答案】B

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：，，为正数，

当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，

若，则，即，

即，即，成立，即必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．

2．设函数则下列结论错误的是

A．D（x）的值域为{0,1}

B．D（x）是偶函数

C．D（x）不是周期函数

D．D（x）不是单调函数

【答案】C

【详解】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C错误

3．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

4．关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是（    ）

A．②③ B．②④ C．①③ D．③④

【答案】B

【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶性判断④．

【详解】时，，时，是减函数，时，是增函数，无最值，①错；

的定义域是，，是偶函数，

时，，时，，

时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，

由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点，

所以方程一定有解，②正确；

是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，③错；

是偶函数，时，，时，是增函数，是最小值，所以在上，的最小值是，④正确．

故选：B．

【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论．

二、填空题

5．函数的定义域是________.

【答案】且

【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.

【详解】由题意，要使函数有意义，则，

解得，且；

故函数的定义域为：且.

故答案为：且.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．

【答案】

【解析】先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.

【详解】设扇形的半径为R,由题得.

所以扇形的面积为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】解不等式得到集合，根据交集结果得到，解得答案.

【详解】，

，

因为，则，解得.

故答案为：．

【点睛】本题考查了解不等式，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，本题属于基础题.

8．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是递减的，则________．

【答案】1

【解析】根据幂函数的性质可知是偶数且，计算求解即可得的值.

【详解】∵幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，

是偶数且，解得：.

故答案为：1

【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.

9．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最大值为___________.

【答案】0.125

【分析】由对数函数性质求定点坐标，再根据点在直线上有，应用基本不等式求的最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设恒过，又在直线上，

所以，则，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为.

故答案为：

10．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先利用三角不等式求出的最小值为3，然后解不等式可得答案

【详解】因为，当且仅当时取等号，

所以的最小值为3，

因为不等式对任意的恒成立，

所以，即，解得，

即实数的取值范围是，

故答案为：

11．设奇函数在上严格递增，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解

【详解】由题意得是奇函数，则等价于，即，

而在上严格递增，，故时，，时，，

由为奇函数，得时，，时，，

综上，的解集为

故答案为：

12．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则___________.

【答案】

【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期的定义，得到，得到函数是周期为4的周期函数，进而求得的值，结合周期性，即可求解.

【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，

所以，即且，

又由，可得，

所以，所以函数是周期为4的周期函数，

因为，所以，，，

所以，

则

.

故答案为：.

13．对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】参变分离，得到，变形后利用导函数求出的最小值，从而求出实数的取值范围.

【详解】变形为，只需要求出的最小值即可，

，

令，

，，

在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以在处取得最小值，，

所以，

实数的取值范围为.

故答案为：

14．已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．

【详解】时，，，

时，，，

于任意的都能找到，使得，则，

所以，解得．

故答案为：．

15．设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________.

【答案】

【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数x的取值范围.

【详解】，则函数为偶函数

当时， ，在上单调递增

，

，

即，即

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.

三、解答题

16．已知，求=_____

【答案】

【分析】由余弦的倍角公式化简，且得，再由同角三角函数的关系计算得结果.

【详解】，解得或（舍）

由.

故答案为

【点睛】本题考查了余弦的倍角公式和同角三角函数的关系，属于基础题.

17．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.

(1)求时的解析式；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用奇函数性质求的解析式；

（2）由（1）得，应用基本不等式、函数单调性求在对应区间上的值域，即可得答案.

【详解】(1)令，则，故，而，

所以，则.

(2)由（1）知：，

当，，当且仅当时等号成立，此时；

当，单调递增，则；

综上，函数值域为.

18．在中，角的对边分别为，且.

(1)求角A的值；

(2)若，且的面积为，求.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式，变形可求得，从而得角

（2）由三角形面积公式求得，由两角和余弦公式求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，从而再由正弦定理求得．

【详解】(1)，

，，，，，所以；

(2)由题意，，

由（1）， ，即，又，所以，

由（是外接圆半径），得，，

所以由，得．

19．已知是实常数，函数.

（1）若，求证：函数是减函数；

（2）讨论函数的奇偶性，井说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）当，偶函数；当，奇函数，当，非奇非偶函数.

【分析】（1）利用定义法，设，证明，即可得函数为减函数；

（2）分别讨论的值，观察或是否恒成立.

【详解】解：（1）当时，，，

设，

则，

又，

即 ，

即，

即，

故当时，函数是减函数；

（2）由（1）可得，函数的定义域为，

 因为，

所以，

则，

显然当时，，即，即函数为奇函数，

则，

显然当时，，即，即函数为偶函数，

当且时，且，即函数为非奇非偶函数.

故当时，即函数为奇函数，当时，函数为偶函数，当且时，函数为非奇非偶函数.

【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性，属中档题.

20．已知，不等式的解集为，不等式的解集.

(1)求集合：

(2)设函数的定义域为，若，求实数的取值范围；

(3)若函数在上严格单调递减，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据不等式的解集为，即可求解的值，不等式，利用移项，通分，转化不等式求解．

（2）问题转化为：不等式在，上有解，再用分离参数法求解即可；

（3）函数单调性问题转化为不等式恒成立处理即可.

【详解】(1)不等式的解集为，即．可得：，

不等式的解集为，显然，解得，，

不等式可写成，，解得，，，即，；

(2)函数的定义域为，

且，问题等价转化为：不等式在，上有解，

分离参数得，，其中，，所以，，

由于，，，所以，，

故实数的取值范围为：．

(3)若函数在上单调递减，

则在上恒成立，即，恒成立，

解得：

21．若函数在区间上有最大值4和最小值1，设

(1)求的值；

(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围；

(3)关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3)．

【分析】（1）由二次函数的性质得最大值和最小值，从而求得；

（2）化简不等式得，令，则，求得，求得在上的最大值即得；

（3）方程变形为，令，得，由函数的的性质得出方程的解的情况，然后由二次方程根的分布知识得结论．

【详解】(1)，对称轴，，在上单调递增，

所以，解得；

(2)由（1）知，化为，即，

令，则，因为，所以，

问题化为，

记，因为，所以，

所以；

(3)原方程化为，,

令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则，

所以时，有两个实数解，时，无实数解．

原问题转化为（）在上只有1个实根，

，或，

时，方程（）的解为满足题意

时，方程（）的解为，满足题意，

，即或时，方程（）有两个不等的实根，，不妨设，则，，

，即时，方程（）的解为，，满足题意．

即时，，满足题意．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛：本题考查二次函数的性质，考查不等式有解，方程根的分布问题，解题方法是换元法，利用换元法把指数不等式转化为二次不等式，再转化为求二次函数的最值，把指数型方程转化为二次方程，利用二次方程根的分布知识求解，本题属于难题，对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高．