2023届河南省九师联盟高三9月质量检测数学（文）试题含答案

2023届河南省九师联盟高三9月质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出该命题的否定命题即可．

【详解】命题“，”中含有全称量词，故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，所以该命题的否定为“，”.

故选：C.

2．已知集合，则的最大值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】由两集合的交集运算结果可得，从而可求出的最大值.

【详解】因为，且，

所以由交集定义知，则的最大值为3，

故选：B

3．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以A错误，

对于B，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以B错误，

对于C，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以C错误，

对于D，由于，所以，令，

因为，所以此函数为偶函数，所以D正确，

故选：D

4．已知幂函数的图像经过点与点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质待定系数得，再借助中间量比较大小即可.

【详解】解：设，因为幂函数的图像经过点与点，

所以，，解得，

所以，

所以.

故选:C.

5．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是（其中为生物体死亡时体内碳14含量）. 考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：）（    ）

A．1847年 B．2022年 C．2895年 D．3010年

【答案】A

【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.

【详解】由题意知，所以，

所以，所以.

故选：A.

6．“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用分段函数的单调性化简命题，即可求得答案

【详解】解：因为在单调递增，在单调递增，

且在上单调递增，

所以；

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件，

故选：B.

7．如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象，分析的函数值的正、负情况，即可判断.

【详解】解：由图象知在上先减后增，故在上函数值先负后正，

同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.

故选：A.

8．已知函数，则（    ）

A．的单调递减区间为

B．的极小值为1

C．的最小值为-1

D．的最大值为1

【答案】B

【分析】求出导函数，研究单调性，求出极值，对照四个选项，即可得到答案.

【详解】.

令，则，所以在上单调递增.

又，则当时，，即，当时，，即.

所以的单调递减区间为；单调递增区间为，

所以，所以不存在最大值.

故选：B.

9．设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最大时，切线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用导数求得切线的斜率关于的关系式，进而求得切点，再求得切线方程即可.

【详解】依题意得，，

故切线的斜率，

所以当时，取得最大值12，

此时，即切点为，

所以切线的方程为，即.

故选：C.

10．已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】引入函数，由导数确定其单调性，题设不等式转化为关于函数的不等式，然后由单调性求解．

【详解】设，则，所以在R上单调递减；由，得，即，所以，解得.

故选：A.

11．设函数若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设换元，分段求解可得，然后再次分段求解可得a.

【详解】设，由，则.

（1）当时，，则，无实数解；

（2）当时，，即，解得或（舍去），所以，

①当时，，解得，或（舍）；

②当时，，无解，

综上所述，.

故选：D

12．设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（    ）

A．0 B．1 C． D．e

【答案】C

【分析】根据不等式恒成立的等价形式，求的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.

【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，

对于，当时，，，，

当时，，，，

当且仅当时，，

当时，，即，

令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

，

，的最小值为.

故选：C.

二、填空题

13．计算：___________.（可保留根式）

【答案】

【分析】利用指数运算性质和对数的运算性质求解即可

【详解】.

故答案为：

14．若函数为奇函数，则__________.（填写一个符合条件的解析式即可）

【答案】x，，（答案不唯一）.

【分析】由奇函数定义结合三角函数诱导公式可得，即为奇函数.

【详解】由为奇函数，则，即恒成立，

考虑到的任意性，可得，则为奇函数即可，

故答案为：（答案不唯一）.

15．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.

【答案】

【分析】由题知函数是周期为2的周期函数，进而根据周期性求解即可.

【详解】解：因为是定义在上的奇函数，且，

所以，，

所以，即是周期为2的周期函数.

所以.

故答案为：

16．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意得方程有且只有一个解，令，进而转化为直线与的图像有且只有一个公共点，再利用导数研究函数，数形结合求解即可.

【详解】解：问题等价于关于的方程有且只有一个解，

当时，方程显然不成立，所以，

所以，问题等价于关于的方程有且只有一个解，

令，

所以问题转化为直线与的图像有且只有一个公共点.，

因为，

所以，当或时，；当时，，

所以在和上单调递增；在上单调递减，

所以的极小值为.

所以，图像大致如图所示：

所以,当时，直线与函数的图像仅有一个公共点，即有且只有一个零点，

所以，的取值范围为

故答案为：

三、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把集合A求出，再利用集合的并和补运算，求出答案即可；

（2）先将转化为，再分类讨论，从而求出的范围.

【详解】(1)由可得：，故，则，

故.

(2)由，得，

①当，即时，，满足题意；

②当，即时，，因为，所以解得.

综上，实数的取值范围是.

18．已知（且），且.

(1)求a的值及的定义域；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据求出参数的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；

（2）由（1）可得，设，，根据二次函数的性质求出的取值范围，从而求出的值域.

【详解】(1)解：由得，即，所以，解得，

所以，

由，解得，故的定义域为；

(2)解：由（1）及条件知，

设，，则当时，，

当时，；当时，，

所以当时，，即，

所以，，

所以在的值域为.

19．已知函数.

(1)若是偶函数，求的值；

(2)若在上单调递减，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用偶函数的性质即可求得的值；

（2）利用导数的单调性得到恒成立问题，再利用最值解决之，从而求得的取值范围.

【详解】(1)因为函数为偶函数，

所以，即恒成立，

所以恒成立，故.

(2)依题意得，，

因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为函数在上单调递增，所以，

所以，即的取值范围为.

20．设：函数在上单调递减；：关于的方程无实根.

(1)若为真，求实数的取值范围；

(2)若为真且为假，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，由为真，则为真且为真，取交集即可得解；

（2）依题意与一真一假，分类讨论，分别计算可得.

【详解】(1)解：函数在上单调递减，则，解得；

由方程无实根，得，即，解得，

所以为真时，为真时.

因为为真，所以为真且为真，所以，

即为真时，实数的取值范围为.

(2)解：由为真且为假，得与一真一假.

当真假时，有或，解得；

当假真时，有，解得，

故所求实数的取值范围是（.

21．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导分析函数的单调性与极值即可；

（2）将题意转化为在上恒成立，再构造函数，求导分析函数的单调性与最小值即可.

【详解】(1)的定义域为，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值.

(2)对任意恒成立，即恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，所以，即，故的取值范围为.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，对任意，恒有.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；

（2）根据题意，即证，再根据将问题转化为证明，进而构造函数，求救函数最小值即可.

【详解】(1)解：函数的定义域为，

①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；

②当，即时，由得；由得；

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)证明：要证，即证，

即证，

因为，所以，

所以只需证：.

法一：令，则，显然在上单调递增，

又，所以存在唯一实数，使得，即，

所以.

所以在上，，在上，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

故当时，对任意，恒有.

法二：.

令，则.

所以，所以在上为增函数.

所以当时，，即.①

令，则.

当时，；当时，.

所以在上为减函数，在上为增函数.

所以当时，，即.②

①②两式相加，得.所以，

故当时，对任意，恒有.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想等，是难题.本题第二问解题的关键在于借助将不等式转化为证明，再构造函数求解即可.