2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考（二）数学试题含答案

2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可确定在上集合和集合的关系，然后结合角的周期性得结论．

【详解】在范围，集合含有，集合含有，

由角的周期性变化可知：，

故选：B.

2．是的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】解得或，

故选：.

3．若，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数、正切函数的性质借助0、1比较大小．

【详解】，又，，

故选：A.

4．已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性可排除A，根据时的函数值的正负可排除B，利用定义域可排除C，进而即得.

【详解】由题可得函数的图像关于原点对称，定义域为，

对于A，，函数关于轴对称，故A错误；

对于B，当时，，所以B错误；

对于C，因为的定义域为，故C错误.

故选：D.

5．如图，在平面直角坐标系中，已知，点在第一象限内，（为坐标原点），将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第23次旋转后，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】B点每转6次回到原来的位置，即6次为一个周期， ，即可计算出B点的坐标.

【详解】

如图所示，在等腰三角形中，，

可得，由题意，点B的坐标6次一个循环，即以6为周期，

与重合，有 ；

故选：C.

6．已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式可能为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】由最大值得，由求得，再由是最小值及周期求得，得函数解析式，再根据图像变换求得．

【详解】由图可知，，又，所以，

，，，

又最小正周期，所以，又，

所以，，

将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得解析式，再向右平移个单位，得，

故选：C.

7．今年8月，重庆市民踊跃报名参加抗旱､救火､防疫等三项救灾防疫协调工作.现从8名自愿者中，选派5人担任协调任务，要求抗旱､救火､防疫都有自愿者参加.不同的选法共有（    ）种.

A．2520 B．4200 C．5040 D．8400

【答案】D

【分析】第一步选5人，第二步把这5人分成三组，最后再安排到三个任务中，由乘法原理计算，其中第二步分组时注意分类．

【详解】8人中选5人，分三组的分组分配问题：，

故选：D.

8．已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围．

【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，

又切线过点切线斜率为，，即，

∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．

令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，

或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，

,即，解得，

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，则下列命题正确的有（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点中心对称

C．的表达式可改写为

D．若，则

【答案】BD

【分析】AB选项，代入检验即可，C选项，可利用诱导公式推导；D选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值.

【详解】当时，，，所以直线不是函数的对称轴，A错误；

当时，，所以，所以是函数的对称中心，B正确；

，C错误；

令，解得：，，即，，

所以两个零点的距离：，D正确.

故选：BD.

10．设定义在R上的连续函数满足，下列命题正确的有（    ）

A．是周期为10的周期函数

B．是的一条对称轴

C．方程在区间上至少有4个解

D．方程在区间上至少有405个解

【答案】ABD

【分析】先分析函数 周期性，根据条件，判断出在一个周期内零点的最小数量，再逐项分析可以求解.

【详解】对于 ，有： ， ，即 ，

是两条对称轴， ，

所以周期为 ，

，根据对称性，有 ，在一个周期内，至少有3个零点；

选项A： 周期为10，正确；

选项B：是的对称轴，正确；

选项C：至少有3个解，错误；

选项D：周期为10，[2，2022]有202个周期，，至少有个解，正确；

故选：ABD.

11．已知是的两个内角，满足，下列四个不等式中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，确定角的范围，结合三角函数性质、三角变换逐项分析、计算判断作答.

【详解】因的内角满足，则角C是钝角，且，

，函数在上递增，函数在上递减，

对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，取，则，，D错误.

故选：ABC

12．已知函数是的导函数，下列命题正确的有（    ）

A．成立

B．成立

C．在上有两个零点

D．“”是“成立”的充要条件

【答案】ABD

【分析】构造函数，借助导数判断单调性判断A；利用导数判断单调性判断B；分析函数在上的单调性判断C；利用充要条件的定义判断D作答.

【详解】依题意，，

对于A，，令，则，

令，当时，，即在上递增，

当时，，因此在上递减，，

即恒成立，A正确；

对于B，令，当时，，

即函数在上递增，当时，

，函数在上递增，，B正确；

对于C，由选项知，函数在上递增，当时，，无零点，

当时，，即函数在上递减，而，

即函数在上有唯一零点，因此函数在有1个零点，错误；

对于D，当时，，由选项知，不等式成立，反之，

若，，令，，

，由选项B知，在上单调递增，

当时，，则在上单调递增，，

当时，，则存在，使得，因此当时，，

则在上单调递减，当时，，不符合题意，综上得，

所以“”是“成立”的充要条件，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

三、填空题

13．函数的最小正周期是___________.

【答案】

【分析】根据给定函数，利用正切型函数的周期公式计算作答.

【详解】函数的最小正周期.

故答案为：

14．某个班级周一上午准备安排语文､数学､英语､物理､生物等5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为___________.

【答案】0.6

【分析】根据古典概型，运用插空法，先安排好语文，英语，生物，再插入数学和物理，即可求解.

【详解】古典概型，样本空间样本点总数为，先安排好语文，英语，生物，有 种排法，

再插入数学和物理，有 种排法，事件所占样本个数为， ；

故答案为： .

15．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令换元，化为的二次函数，求得的范围后，由二次函数性质得结论．

【详解】；

令，则

故答案为：．

16．已知，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】借助同角三角函数关系，转化原式可得，借助均值不等式，即得解

【详解】，

又

故

即

当且仅当，即时，有最大值.

故答案为：

四、解答题

17．已知在锐角中，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）化简题干条件得到，从而根据是锐角三角形，得到，得到；

（2）先根据锐角三角形得到，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到.

【详解】(1)证明：由知：

，

即，

所以，

因为是锐角三角形，

所以，

在上单调递增，

所以，即.

(2)由锐角知：，，，

解得：，

故.

18．已知函数的最大值为.

(1)求A的值；

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两角和与差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式变形化函数式为一个角的一个三角函数形式，由最大值求得；

（2）由（1）化简函数式，求出的范围，再由正弦函数性质得值域．

【详解】(1)

.

，其中，，

故，解得.

(2)由（1）知，

故，故，故的值域为.

19．如图所示，在四棱锥中，为的中点，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，证得，再利用面面垂直的性质推理作答.

（2）连OC，以点O为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

【详解】(1)在四棱锥中，，

则，中，由余弦定理得：

，有，则，

因平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

(2)因点O为的中点，，则，而平面平面，平面平面，

平面，因此平面，连OC，由知，，

则两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，设，

，因，则，而，解得，即，

设平面的法向量为，而，

则，令，得，

设平面的法向量为，而，

则，令，得，

记平面与平面的夹角为，则

所以平面与平面所成夹角的余弦值为.

20．为了让羽毛球运动在世界范围内更好的发展，世界羽联将每年的7月5日定为“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主办方打算一办有关羽毛球的知识竞答比赛.比赛规则如下；比赛一共进行4轮，每轮回答1道题.第1轮奖金为100元，第2轮奖金为200元，第3轮奖金为300元，第4轮奖金为400元.每一轮答对则可以拿走该轮奖金，答错则失去该轮奖金，奖金采用累计制，即参赛者最高可以拿到1000元奖金.若累计答错2题，则比赛结束且参赛者奖金清零.此外，参赛者在每一轮结束后都可主动选择停止作答､结束比赛并拿走已累计获得的所有奖金，小陈同学去参加比赛，每一轮答对题目的概率都是，并且小陈同学在没有损失奖金风险时会一直选择继续作答，在有损失奖金风险时选择继续作答的可能性为.

(1)求小陈同学前3轮比赛答对至少2题的概率；

(2)求小陈同学用参加比赛获得的奖金能够购买一只价值499元的羽毛球拍的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）前3轮比赛答对至少2题包含三题都答对，或三题中只答对两题，然后由互斥事件和独立事件的概率公式计算；

（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为（单位：元），由题意需要分别计算的概率，各个概率可独立事件的概率公式计算，然后相加后可得结论．

【详解】(1)记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件，

第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况：

前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对，

故.

(2)记小陈同学参加比赛获得的奖金为（单位：元），

在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为，选择继续作答且答错的可能性为，选择停止作答的可能性为，

，

，

，

，

故.

21．已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率得出关系，再由原点到直线的距离等圆半径求得得椭圆方程；

（2）先确定直线斜率为0或斜率不存在时的结论，然后在斜率存在且不为0时，设方程为（），代入椭圆方程应用韦达定理，，求得中点坐标，再由椭圆中弦长公式得弦长，计算，变形后求得其范围，综合后可得结论．

【详解】(1)由知，

原点到直线的距离为，故，

故椭圆的标准方程为.

(2)时：，或，故；

直线斜率不存在时，，或．故；

直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（），

由直线与圆相切，所以，即，

联立得，

设，

由韦达定理：，，，

所以中点的坐标为，

故

，

故，

，当且仅当，时等号成立，

综上：的取值范围是.

【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题中范围问题或最值问题的处理方法，设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得（或，），然后由弦长公式求弦长，由斜率公式求斜率，或者求面积，向量的数量积等等，代入韦达定理的结论转化为与参数有关的代数式，化简后求最值、范围，或得定值等等．

22．已知函数.

(1)求函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求出定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调性；

（2）求导后注意到，，从而分，，与四种情况讨论得到的零点情况，从而求出实数的取值范围.

【详解】(1)定义域为R，

，

令得，令得，

故在上单调递减，在上单调递增.

(2)

，又恒成立，

，

当时：，

故时，时，，

只有一个零点，不符合题意；

当时：在时单调递增，且，

由知必存在使得，

在时单调递减，在时单调递增；

结合知：

在和上各存在一个零点，共有两个零点；

当时：在时单调递增，且，

故，

只有一个零点，不符合题意；

当时：在时单调递增，且，

由知必存在使得，

在时单调递减，在时单调递增，

结合知：

在和上各存在一个零点，共有两个零点，

综上所述：.

【点睛】导函数研究函数的零点问题，通过导函数求解函数的单调性，注意到函数的特殊点，进行必要性探究，再进行充分性证明即可，本题中注意到，，从而分，，与四种情况进行讨论，求出答案.