高考数学100个热点题型秒解技巧（选择、填空题篇）

这是一份高考数学100个热点题型秒解技巧（选择、填空题篇），共140页。

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2019年4月版


秒解高考数学100招
—— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期
均为,则的周期为,选.

四大特色助快速解题
◎ 100个秒解技巧
◎ 80个精妙二级结论
◎ 10年高考真题为例
◎ 700个例题深入剖析















目录 CONTENTS

1、集合 Þ 利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2
2、集合 Þ 利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………
3、集合 Þ 运用补集运算公式简化集合计算………………………………………
4、简易逻辑 Þ 利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………
5、简易逻辑 Þ 借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………
6、复数 Þ 利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………
7、复数 Þ 利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………
8、复数 Þ 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………
9、复数 Þ 利用公式快速解决一类复数问题………………………………………
10、三视图 Þ 柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………
11、三视图 Þ 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………
12、不等式 Þ 利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………
13、不等式 Þ 利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………
14、不等式 Þ 利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………
15、不等式 Þ 用代入法速解f型不等式选择题…………………………………
16、不等式 Þ 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………
17、不等式 Þ 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………
18、不等式 Þ 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………
19、不等式 Þ 利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………
20、不等式 Þ 利用柯西不等式速解最值问题……………………………………
21、线性规划 Þ 利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………
22、线性规划 Þ 高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………
23、程序框图 Þ 程序框图高效格式化解题模式…………………………………
24、排列组合 Þ 排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………
25、排列组合 Þ 利用公式法速解相间涂色问题…………………………………
26、排列组合 Þ 速解排列组合之最短路径技巧…………………………………
27、二项式定理 Þ 二项式定理常见题型大汇总…………………………………
28、二项式定理 Þ 利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………
29、平面向量 Þ 特殊化法速解平面向量问题……………………………………
30、平面向量 Þ 利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………
31、平面向量 Þ 三点共线定理及其推论的妙用…………………………………
32、平面向量 Þ 平面向量等和线定理的妙用……………………………………
33、平面向量 Þ 向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………
34、平面向量 Þ 三角形四心的向量表示及妙用…………………………………
35、平面向量 Þ 利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………
36、空间几何 Þ 利用折叠角公式速求线线角……………………………………
37、空间几何 Þ 求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………
38、空间几何 Þ 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…
39、空间几何 Þ 利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………
40、空间几何 Þ 利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………
41、函数 Þ 用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………
42、函数 Þ 数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………
43、函数 Þ 数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………
44、函数 Þ 函数的周期性的重要结论的运用……………………………………
45、函数 Þ 利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………
46、函数 Þ 通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………
47、函数 Þ利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………
48、函数 Þ 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………
49、函数 Þ 巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………
50、函数 Þ 利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………
51、函数 Þ 巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………
52、函数 Þ 构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………
53、导数 Þ 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………
54、导数 Þ 极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………
55、导数 Þ 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………
56、导数 Þ 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………
57、三角函数 Þ 利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………
58、三角函数 Þ 利用结论速求三角函数周期问题………………………………
59、三角函数 Þ 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………
60、三角函数 Þ 海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………
61、三角函数 Þ 借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………
62、三角函数 Þ 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………
63、三角函数 Þ 齐次式中弦切互化技巧…………………………………………
64、三角函数 Þ 利用射影定理秒解解三角形问题………………………………
65、三角函数 Þ 三角形角平分线定理的妙用……………………………………
66、三角函数 Þ 三角形角平分线长公式的妙用…………………………………
67、三角函数 Þ 三角形中线定理及其推论的妙用………………………………
68、三角函数 Þ 利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………
69、三角函数 Þ 利用公式法速解三角函数平移问题……………………………
70、数列 Þ 利用公式法速解等差数列与……………………………………
71、数列 Þ 利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………
72、数列 Þ 用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………
73、数列 Þ 等差数列性质及其推论的妙用………………………………………
74、数列 Þ 观察法速解一类数列求和选择题……………………………………
75、数列 Þ 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………
76、数列 Þ 代入法速解数列选项含型选择题…………………………………
77、数列 Þ 一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………
78、统计与概率 Þ 估算法速解几何概型选择题…………………………………
79、直线与圆 Þ 利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………
80、直线与圆 Þ 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………
81、直线与圆 Þ 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………
82、圆锥曲线 Þ 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………
83、圆锥曲线 Þ 用点差法速解有关中点弦问题…………………………………
84、圆锥曲线 Þ 用垂径定理速解中点弦问题……………………………………
85、圆锥曲线 Þ 用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………
86、圆锥曲线 Þ 焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………
87、圆锥曲线 Þ利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……
88、圆锥曲线 Þ 用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………
89、圆锥曲线 Þ 巧用通径公式速解离心率等问题………………………………
90、圆锥曲线 Þ 巧用三角形关系速求离心率……………………………………
91、圆锥曲线 Þ 构造相似三角形速解离心率……………………………………
92、圆锥曲线 Þ 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………
93、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………
94、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………
95、圆锥曲线 Þ 椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………
96、圆锥曲线 Þ 双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………
97、圆锥曲线 Þ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………
98、圆锥曲线 Þ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………
99、圆锥曲线 Þ 用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………
100、圆锥曲线 Þ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………
1、集合 Þ 利用特值逆代法速解集合运算题
◆ 例1已知集合,集合,则( )
A. B.
C. D.Æ
【秒解】表示属于集合且不属于集体的元素的集合,代入特值满足条件,选.

◆ 例2 （2013辽宁理2）已知集合
（ ）
A. B. C. D.
【秒解】观察项取不到,项可以取,令代入集合中满足,排除;比较,项可以取,项取不到,令代入集合中不满足,则排除,选.

◆ 例3（2017北京理1）若集合,
,则AB=（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】观察四个选项元素差别,取代入可排除B、C;取代入可排除,选A.

◆ 例4 （2017浙江1）已知,
,则( )
A. B. C. D.
【秒解】 观察四个选项元素差别,取
,,排除A、B、C,选.

◆ 例5（2015全国II理1）已知集合,
,,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】取代入集合B,不符合,则中不包含1,排除B、C、D,选A.

◆ 例6（2006年福建卷）已知全集且
则
等于( )
A. 　B. C.　　D.
【秒解】表示属于集合B且不属于集体A的元素的集合.取代入,不满足条件,排除A、D;取代入满足条件,排除B选C.

◆ 例7（2009全国Ⅱ文）已知全集U={1,2,3,4,5,6,
7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7})则( )
A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7}
【秒解】表示既不属于集合A也不属于集合B,但属于全集U的元素的集合.本题可以直接求出,也可以从选项出发排除,选C.

◆ 例8（2005年上海卷）已知集合,,则等于（ ）
A． B．
C． D．
【秒解】观察四个选项元素差别,取,且
,排除A、D;取,且,排除C选B.

◆ 练习 （2005年天津卷）设集合
,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.


2、集合 Þ 利用对条件具体化巧解集合运算题
◆ 例1 已知全集,集合,
,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】将抽象问题具体化,用列举法取,,
∴,选C.

◆ 例2（2005全国卷Ⅰ）设为全集, 是的三个非空子集且,则下面论断正确的( ) 
A. B.
C. D. 
【秒解】构造,,,
,验算知选C.命题对一般情况成立,对特殊情况也成立;对特殊情况不成立,对一般情况必不成立.选取集合时也要注意,本题若,,
,,选项B、C、D都成立,不能得出结论,需进一步检验.

◆ 例3（2015全国I文1）已知集合,
则集合中元素的个数为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【秒解】当,得.由,
当时,;当时,;
当时,;当时,;
当时,.所以,
则集合中含元素个数为.故选.
◆ 例4已知集合,
,则集合的关系为（ ）
A. B.⫋ C. D.⫋
【秒解】在集合中取,则;在集合中取,则
结合四个选项,只可能⫋,选B.


















3、集合 Þ 运用补集运算公式简化集合计算
,选补后并＝选交后补;
,选补后交＝选交后并;
;.
◆ 例1（2007湖北文）若,
,,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】,,
,选D.

◆ 例2（2009江西卷理）已知全集中有个元素,中有个元素．若非空,则的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】因为,所以共有个元素,故选D.

◆ 例3(2011江西文2)若全集
,则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】,,
,选D.

◆ 例4 已知全集,集合,
, .
【秒解】画数轴如图

,
.
4、简易逻辑 Þ 利用韦恩图巧解集合与数量关系题
用韦恩图解题,就是把集合之间的关系,用图形来表示,实际上就是数形结合思想在集合中的应用
◆ 例6 已知全集,集合,
,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】根据题意,易得,画出韦恩图（如图）,显然,选 C.




◆ 例7 设全集,若,,,则= , = .
【秒解】本题关系较为复杂,用韦恩图更简捷：由,根据题意画韦恩图（如图）,易得,.



◆ 例9（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
【秒解】由条件知,每名同学
至多参加两个小组,故不可能
出现一名同学同时参加数学、
物理、化学课外探究小组,设
同时参加数学和化学小组的
有人作出如图韦恩图： 则,解得.
◆ 例10 (2009湖南卷理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
【秒解】设两者都喜欢的人数为人,则只喜爱篮球的有人,只喜爱乒乓球的有人,
作出韦恩图：




由此可得,解得,所以,即所求人数为12人.

◆ 例11 某班50名学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既会讲英语又会讲日语的有14人,问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人?
【秒解】设全集U={某班50名学生},A={会讲英语的学生},B={会讲日语的学生},A∩B={既会讲英语又会讲日语的学生},则由韦恩图知,既不会英语又不会日语的学生有:50-22-14-6=8(人)



◆ 例12 某地对农户抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%,洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的为63%,三种电器齐全的为25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( ).
 A.10% B.12% C.15% D.27%
【秒解】如果把各种人群看作集合,本题就是已知全集元素个数,求某个子集元素个数的问题,因此可构
造韦恩图解决 :不妨设调查了100户,U={被调查的100户农户},A={100户中拥有电冰箱的农户},B={100户中拥有电视机的农户},C={100户中拥有洗衣机的农户},由图可知, 的元素个数为49+85+44-63-25=90.∴的元素个数为100-90=10.选A.




*5、简易逻辑 Þ 借助数轴法巧解充要条件问题
运用集合的观点理解充要条件,将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来,把较难理解的问题转化成熟 悉的集合问题来解决.
为了说明集合与充要条件的关系,先举个例子,,易知 ,而且大于3的数必然大于2,所以可以得出,所以我们容易得出下面重要结论：
如果那么;
如果且,那么⫋.
继而得到如下结论
充要条件
对应集合关系
韦恩图
数轴图
A是B的充分条件

或

A是B的充分不必要条件
⫋


A是B的必要条件

或

A是B的必要不充分条件
⫋


A是B的充要条件



A 是 B 的既不充分也不必要条件
A∩B=Æ或A、B既有公共元素也有非公共元素 

或


◆ 例1（2015天津文4）设,则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【秒解】画数轴图：


是的充分不必要条件,选A.


◆ 例2（2007浙江文） 是的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 　 D.既不充分也不必要条件
【秒解】由可得,可得到,但得不到.故选A.也可以通过画数轴图来判断：


◆ 例3（2008湖南卷2）“成立”是“成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
【秒解】;
.画数轴图：


“”是“”的必要不充分条件,选B.

◆ 例4（2015天津理4）设 ,则“ ”是“”的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【秒解】,
或,故“”
是“”的充分不必要条件,选A.




6、复数 Þ 利用逆代法、特值法速解含参型复数题
◆ 例1（2017北京理2）若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的范围是( )
A. B.
C. D.
【秒解】复数范围问题考虑用逆代法：观察选项差别,取,复数为,排除A,D; 取,复数为,排除C,选B.

◆ 例2（2006年全国卷I）如果复数是实数,则实数( )
A. B. C. D.
【秒解】用逆代法从选项逐一代入,时=2,选B.

◆ 例3（2007山东卷理）若（i为虚数单位）,则使的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【秒解】,把代入验证即得,选D.

◆ 例4（2008福建卷1)若复数是纯虚数,则实数的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
【秒解】逆代,取排除AC,取排除D,选B.

◆ 例5 (2005年全国卷II) 设、、、
,若为实数,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】特值法,取,为实数,排
除A,B;取,为实数,排除D;选C.

7、复数 Þ 利用公式速解有关复数的模的问题
【公式】(1) ; (2) ;
(3) (4);
(5)

◆ 例1 若算数满足,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】利用,


◆ 例2 若算数,则
【秒解】


◆ 例3 (2017新课标III理科2）设复数满足,则（ ）
A． B． C． D．2
【秒解】利用,
,选C.
也可以利用两边直接求模.

◆ 例4（2014课标I文3）设,则（ ）
A. B. C. D.2
【秒解】=,

◆ 练1（2011辽宁理2）为正实数,为虚数单位,,则（ ）
A.2 B. C. D.1
【答案】B.

◆ 练2（2013辽宁理1）复数的模为( )
A. B. C. D.
【答案】B.

◆ 练3(2013广东文3）若
则复数的模是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.












8、复数 Þ 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数
【结论】复数与的除法运算律：,当为实数时;为纯虚数时.
实数口诀：交叉相乘再减为0 ;
纯虚数口诀：竖直相乘再加为0.

◆ 例1 (2005年全国卷II) 设、、、
,若为实数,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】实数口诀：交叉相乘再减为0,,选C.

◆ 例2 （2005年天津卷2）若复数（
,为虚数单位位）是纯虚数,则实数的值为（ ）
A.－2 B.4 C.－6 D.6
【秒解】纯虚数口诀：竖直相乘再加为0,,选 C.

◆ 例3 （2008浙江卷1）已知是实数,是纯虚数,则=（ ）
A.1 B.-1 C. D.-
【秒解】纯虚数口诀：竖直相乘再加为0,选A.









9、复数 Þ 利用公式快速解决一类复数问题
【结论】（1） （2）
两个公式中满足：,
记忆技巧：分子与分母的实部乘积+虚部乘积＝0,结果中的符号与分子虚部符号相同
◆ 例1（2015天津文9）是虚数单位,计算 的结果为 ．
【秒解】

◆ 例2（2008陕西卷1）复数等于（ ）
A. B. C.1 D.
【秒解】.

◆ 例3（2009宁夏理）复数( )
A.0 B.2 C. D. .
【秒解】及
,选D.
◆ 例4（2015湖南文1）已知（为虚数单位）,则复数（ ）.
A. B. C. D.
【秒解】
.故选D.
◆ 例5（2008浙江卷1）已知是实数,是纯虚数,则=（ ）
A.1 B.-1 C. D.-
【秒解】,是纯虚数,选A.

◆ 例6 (2013广东文3）若
则复数的模是( )
A. B. C. D.
【秒解】,又,选D.

◆ 例7 （2005北京卷）若, ,且为纯虚数,则实数的值为 ．
【秒解】为纯虚数,又.















*10、三视图 Þ 柱体和锥体的三视图快速还原技巧
（1）【结论】三视图中如果其中两个视图是三角形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为三角形)那么该空间几何体为锥体,当第三个视图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥.对于普通椎体特点就是有至少两个视图是三角形.把不是三角形的看成底,另外两个视图相同的部分就是高.
几何体
直观图
正视图
侧视图
俯视图
正三
棱锥





正四
棱锥





正六
棱锥





圆锥






◆ 例1（2012新课标文7）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )



A.6 B.9 C.12 D.18
【秒解】无需还原直观图,由于三个视图外廓均为三角形,易知原几何体为三棱锥,俯视图中无虚线,所以俯视图即为几何体的底面,正视图或侧视图的高即为几何体的高,,选B.

◆ 例2（2014课标I文8）如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是（ ）



A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
【秒解】三个视图中有两个是矩形,一个是三角形,显然几何体是三棱柱.

◆ 例3（2009辽宁15）设某几何体的三视图如下
（长度单位为）.则该几何体的体积为




【秒解】无需还原直观图,由于三个视图外廓均为三角形,易知原几何体为三棱锥,又俯视图中无虚线,所以俯视图即为几何体的底面,侧视图的底边长为俯视图的高,,正视图或侧视图的高即为几何体的高,.

◆ 例4（2017浙江卷3）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )





A. B. C. D.
【秒解】无需还原直观图,由于有两个视图外廓为三角形,俯视图中无虚线,易知原几何体为锥体, ,选A.

◆ 例4（2017北京文6改编）某几何体的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）



A.60 B.30 C.20 D.10

【注意】“第三视图”内部如果有虚线,则锥体的底面需要结合上顶点在底面投影的位置来判断形状.从而判断锥体是几棱锥.
【秒解1】本题俯视图中有虚线,不能直接用上面的方法,把俯视图作为几何体底面,但由于有两个视图是三角形,说明几何体是三棱锥,而且椎体已经倾斜了,顶点在底面的射影落在了底面的外面,画出原直观图：


图中三棱锥A－BCD为所求几何体,
该几何体的体积是,选D.
【秒解2】先计算以俯视图中的矩形为底面,高为4的四棱锥的体积,,而题目中明确了该几何体为三棱锥,所以该几何体积应该比小,选D.
◆ 例5 某几何体的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )




A. B. C. D.1
【秒解】本题不能把俯视图作为几何体底面,有两个视图是三角形,说明几何体是倾斜的三棱锥,顶点在底面的射影落在了底面的外面,几何体底面应为图中阴影部分:


该几何体的体积是,选A.

◆ 练1（2014北京文11）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .





【答案】

（2） 【结论】三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体.当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆柱,否则为棱柱.
注意：两外轮廓矩形视图内部不可以有顶点到顶点
的贯穿线！
几何体
直观图
正视图
侧视图
俯视图
正三
棱柱






正四
棱柱






正六
棱柱







圆柱







◆ 例1（2012江西文7）若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为（ ）




A. B.5 C.4 D.
【秒解】三视图有两个视图是矩形, 该空间几何体为六棱柱,底面面积,体积,选C.

◆ 例2（2017山东理13）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .




【秒解】三视图有两个视图是矩形, 该空间几何体为柱体,底面为俯视图,几何体的体积为
．

（3）【结论】三视图中如果其中两个视图是矩形,两外轮廓矩形视图内部有顶点到顶点的贯穿线时,
则该几何体不是柱体,而是切割体.
◆ 例1（2015全国文II卷6） 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）




【秒解】由三视图得,在正方体中,截去四面体,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,选D.



◆ 例2（2014安徽文8）一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是（ ）




A. B. C. D.7
【秒解】由三视图可知,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体,如图, 




正方体棱长为2,正三棱锥侧棱互相垂直,侧棱长为1,故几何体的体积为：
选A.

◆ 例3下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）




A.6 B.9 C.12 D.18
【秒解】两个视图外框是长方形或长方形部分,一个视图为三角形,易知原几何体为直三棱柱切割所得,先画直三棱柱,再根据三个视图得出原几何体如图,易求该几何体的体积为9.




◆ 例4（2017北京文6）某三棱锥几何体的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）




A.60 B.30 C.20 D.10
【秒解】本题俯视图中有虚线,说明椎体已经倾斜了,顶点在底面的射影落在了底面的外面,先画出底面为矩形、有一侧棱垂直于底面的四棱锥E－ABCD的直观图：



结合三个视图可知原几何体应为四棱锥E－ABCD的一部分,即三棱锥E－BCD,如图




该几何体的体积是,选D.

（4）【结论】三视图中如果其中两个视图是梯形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为梯形就称该视图为梯形)那么该空间几何体为台体.当第三个试图两个同心圆时,该空间几何体为圆台,否则为棱台.
几何体
直观图
正视图
侧视图
俯视图
正三
棱台





正四
棱台





正六
棱台





圆台






◆【例1】某几何体的三视图如图所示,主视图和侧视图为全等的直角梯形,俯视图为直角三角形.则该
几何体的表面积为(  ) 





A.     B.
C.      D.
【秒解】三视图中如果其中两个视图是梯形,那么该空间几何体为台体.此几何体直观图如图所示.上下底面均为等腰直角三角形,直角边长分别为2和4.




侧棱,且.棱台3个侧面均为直角梯形,且,,
,所以此几何体表面积为:

,选B.
*11、三视图 Þ 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图
直线型三视图,即三个视图均为三角形、四边形等所有棱均为线段的三视图,这类几何体往往可以看成是长方体切割而来,所以在还原过程中,先画出长方体,再使用“三线交点”把多余部分切除掉,下面通过一个例子来介绍该方法：
◆ 例1 某几何体的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )



A. B. C. D.1
【秒解】（1）根据三视图画出对应长方体


（2）由正视图三个顶点在长方体上对应位置画三根线



（3）由侧视图三个顶点在长方体上对应位置画三根线



（3）由俯视图三个顶点在长方体上对应位置画三根线



（4）找到所有三根线的交点并连接,得所求直观图



（5）根据所得直观图,检验是否符合三视图,修正后,再求解.所求体积是,选A.
【另解】本题俯视图中有虚线,说明椎体已经倾斜了,顶点在底面的射影落在了底面的外面,先画出底面为直角三角形ABC、侧棱EA垂直于底面的三棱锥E－ABC的直观图：
结合三个视图可知原几何体应为三棱锥E－ABC的一部分,即三棱锥E－BCD,如图




该几何体的体积是,选A.

◆ 例2 (2017全国I理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为（ ）



A.10 B.12 C.14 D.16
【秒解】
（1） 根据三视图画出对应
长方体

（2） 由正视图五个顶点在
长方体上对应位置画五根线

（3） 由侧视图、俯视图的顶
点在长方体上对应位置画线

（4）找到所有三根线的交
点并连接,得所求直观图
（5）根据所得直观图,检验
是否符合三视图,修正后,再解.
选B.

◆ 例3 (2013浙江5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )





A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm D.84 cm3
【秒解1】
（1）利用“三线交点”法


（2） 如果此时,直接连接所
有的三线交点,会发现所得
几何体依然是原来的长方体,
所以此时要结合三视图,应
去除点A,再连接交点.

（3） 所得几何体为长方体
一部分选A.

在使用“三线交点”法过程中,切不可生搬硬套,有些三线交点其实是多余的,最后一定要再返回到三视图中检验.
【秒解2】其实本题如果采用上述“三线交点法”,反而显然繁琐,对空间感比较强的同学可直接切割长方体：三个视图外框都是长方形,易知原几何体为长方体切割所得,先画长方体,再根据三个视图得出原
几何体如图,易求该几何体的体积为100 cm3





12、 不等式 Þ 利用逆代法巧解不等式解集

◆ 例1 (2005湖南理)不等式的解是（）
A. B.
C. D.
【秒解】观察四个选项元素差别,取代入不
满足,排除A、C;取代入不满足,排除B;选D.

◆ 例2（2007江西卷文）函数的定义域为（　）
A. B.
C. D.
【秒解】观察四个选项元素差别,取代入不
满足,排除B、D;取代入满足,排除C;选A.

◆ 例3（2013江西文6）下列选项中,使不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】观察四个选项元素差别,取代入
满足条件,排除B、C、D,选A.
◆ 例4（2011大纲3）不等式组的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】观察四个选项元素差别,取代入
满足条件,排除A、B、C,选D.
◆ 例5（2010江西理数3）不等式 高☆考♂资♀源*网的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】观察四个选项差别,取代入满足条件,
排除B、C;取代入不满足条件,排除D;选A.
13、不等式 Þ 利用特值法速解比较大小问题

◆ 例1（2014四川文5）若,,
则一定有（ ）
A. B. C. D.
【秒解】取,则可排除A、C、D,选B.

◆ 例2（2007年江西卷理）若,则下列命题中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【秒解】用特殊值法,取=可排除B、C;取=可排除A,选D.

◆ 例3（2016浙江理8）已知实数（ ）.
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【秒解】 举反例排除法:
①对于选项A,可以令,如令,则,但是,所以选项A不正确;
②对于选项B,可以令,例如令,则,
但是,所以选项B不正确;
③对于选项C,可以令,
例如令,则,但是,所以选项C不正确,故选D.

◆ 例4（2017山东理7）若,且,则下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【秒解】采用特殊值法,取,易选B.

◆ 例5 若则,,,
的大小关系是 .
【秒解】采用特殊值法,取,则,,,,可知：.



14、不等式 Þ 利用数轴标根法速解高次不等式
【结论】数轴标根法（高次不等式的简单解法）：
◆ 例1 解不等式
【秒解】第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.（注意：一定要保证前的 系数为正数）
将化为
第二步：将不等号换成等号解出所有根.
的根为：
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根.
如：－1 ,1, 2


第四步：画穿根线：以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根.

第五步：观察 不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围.
例如：的根


【注意】“奇过偶不过”就是当不等式中含有单独的偶数幂项时,如或时,穿根线是不穿过0点的.但是对于奇数幂项,就要穿过0点了.
还有一种情况例如：.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的.但是对于如的式子,穿根线要过1点.也是奇过偶不过.可以简单记为“奇穿过,偶弹回”,一称“奇穿偶切”.


◆ 例2求不等式的解,画图:


易知不等式的解集为

◆ 例3（2015安徽文10）函数
x
y
O
的图像如图所示,则下列结论成立的是( )




A. B.
C. D.
【秒解】图像符合“数轴标根法”特征,根据图像,不妨假设与轴的三个交点依次为 －1,4,8,根据数轴标根法的原理逆推
=,
∴,选A.

x
y





注：在取交点时要注意比例,假如取三个交点依次为 －1,1,2,则
=,则得出错误结果！

◆ 例4 已知函数的图像如图所示,则（ ）
x



A. B.
C. D.
【秒解】设
,选A.
◆ 例5 （改编）已知函数的图像如图所示,则（ ）
x





A. B.
C. D.
【秒解】设
,由图可知, ,选D.

◆ 例6（2016四川文6）已知函数=,的极小值点,则（ ）
A.－4 B.－2 C.4 D.2
【秒解】==,
根据数轴标根法画出草图：




易知极小值点介于,排除A、B、C,选D.

















15、不等式 Þ 用代入法速解f型不等式选择题

◆ 例1（2015全国文II卷12） 设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】取特值,,>
,与矛盾,排除B、C.
取特值,,排除D,选A.

◆ 例2 设函数,则满足的的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+） D.[0,+）
【秒解】观察选项A、B与C、D的显著区别在于C、D可以取到正无穷大,假设特别大,此时,代入可知满足题意,所以A、B错误;C、D中C选项不能取到0,将代入题中解析式验证,可以取到,所以C选项错误,正确答案为D.

◆ 例3 (2013新课标Ⅱ卷文12)若存在正数使成立,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【提醒】选择题中求取值范围的直接观察答案,从毎个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的,那这个就是答案.
【秒解】特值法：观察四个选项,
①取,不等式为,当取正数时符合题意,∴可取,排除C;
②取,不等式为,当时,且,∴∴时不符合题意,排除AB.选D.

◆ 例4（2017天津文8）已知设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】特值法,观察各选项,选定特值,
①取,则,当时,,与矛盾,排除含有的C、D;
②取,则,当时,,与矛盾,排除含有的B;选













16、不等式 Þ 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式
(1) 数形结合法（几何意义）
利用绝对值的几何意义、数形结合,画出数轴,把绝对值问题化为数轴上两点间距离问题来求解数形结合直观、形象,化繁为简,多数适用于或
型不等式.数形结合的方法又可以分为两种,结合数轴和结合函数图像,有的同一道题两种方法都可用,根据问题的特点和学生的喜好选择最适当的方法.

◆ 例1（2014 广东理 9）不等式
的解集为 .
【秒解】绝对值的几何意义是距离,
的几何意义为在数轴上到1的距离,

的几何意义为在数轴上到-2的距离,

那么的几何意义为在数轴上到1
与到-2的距离和大于等于5 .
①当在-2和1之间时,到1与到-2之间的
距离为3,即;



②当在1的右边时,取,到1与到-2
之间的距离为5,即.
所以当时,原不等式成立.




③同理当在-2的左边,取时,到1与
到-2之间的距离为5,即,
所以当时原不等式成立.




综上可得原不等式成立.




◆ 例2不等式的解集为 .
【秒解】表示数轴上到－1和2的距离之和,则的解集为数轴上到－1和2的距离之和小于7的点的集合.
结合图像：




取和时,到－1与到4之间的距离为7,则的解集为.

◆ 例3 对任意实数,若不等式恒成立,则的取值范围为 .
【秒解】由绝对值的几何意义,令实数对应在实数上的点分别是,结合图像：



原不等式恒成立等价于求恒成立
小于的最小值
又因为,点在点的左边时的值最小,最小值为-3,如图：



,当时原不等式成立.

◆ 例4（2011江西文15）对于,不等式的解集为______.
【秒解】用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合,画出数轴线,找到0到-10的距离为10,到2的距离为2,,并当往右移动,距离差会大于8,所以满足条件的的范围是,原不等式的解集为.


◆ 练习 (2011广东理9)不等式的解集是______.
【答案】

(2) 三角不等式

【结论】三角不等式（绝对值不等式）
对于,有
其等号成立当且仅当：
①对于,第一个等号有且,第二个等号有
②对于,第一个等号有且,第二个等号有.

◆ 例6 若不等式的解集,则的取值范围为______.
【秒解】如果按照一般的方法去绝对值讨论计算量庞大,且容易出错.观察不等式左面结构不难想到不等式的性质,使不等式的求解过程更具简单化.,

当
从而当时,解为空集.
所以的取值范围为

◆ 例7（2014全国II理24）设函数,证明.
【秒解】此函数可以看成是关于两个含有绝对值符号的函数相加的问题,解决此类问题可以利用分段函数判断单调性能够求出来,但这样计算量大还含有未知数很容易出错.观察且有两个绝对值相加那么我们可以用三角不等式来解,简单容易准确率高.
解：由于,所以由绝对值性质,所以.

◆ 练习(2011山东理4)不等式的解集为( )
A.[-5.7] B.[-4,6]
C. D.【答案】D.




















17、不等式 Þ 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题
形如最值问题是高考热点,利用本文技巧可以快速解决。注：本文中系数,如果解题中遇到,可转化为系数为正的函数再解,如:
.

（一）【探究】函数的图象如图,该函数在处取得最小值,为图象的一个转折点,满足.





【结论】形如的函数只有最小值,无最大值,求最小值的步骤为：
（1）与大小不相等时,找出与中较大的那一个绝对值,并令该绝对值内部为0,解得的值.
（2）把解得的值代入函数解析式即得最值

◆ 例1 函数的最小值为 .
【秒解】中,系数6大于5,则在即时取,.

◆ 例2 函数的最大值为 .
【秒解】,
而的最小值,所以.

◆ 例3 （2014安徽理9）若函数
的最小值为3,则实数的值为（ ）
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【秒解】中,系数2大于1,则在即时取得,
,选D.

◆ 例4 函数的最小值为 .
【秒解】中,令,则,系数2大于1,则在即时取得,.

(二)【探究】函数的图象如图,该函数在处取得最小值,区间端点为图象转折点,分别满足
,则






【结论】形如的函数只有最小值,无最大值,求最小值的步骤为：
（1）与大小相等时,则令任一个绝对值内部为0,均可得函数的最小值.
（2）把解得的值代入函数解析式即得最值.

◆ 例5 函数的最小值为 .
【秒解】中,两系数相等,则.

（三）【结论】形如,若,令可知有最小值,无最大值,求最小值的步骤为：
（1）令,得
（2）
◆ 例6函数的最小值为,则实数的值为 .
【秒解】中,系数2大于1,则在即时取得,.

◆ 例7 函数的最小值为,则实数的值为 .
【秒解】有最小值,则系数2大于,则在即时取得,.

（四）【结论】形如,若,令可知有最大值,无最小值,求最大值的步骤为：
（1）令,得
（2）
◆ 例8 函数的最大值为,则实数的值为 .
【秒解】有最大值,则系数2小于,则在即时取得,或（与矛盾,舍去）

（五）【探究】函数的图象
如图该函数在处取得最大值,在处取得最小值,区间端点为图象转折点,分别满足,,






【结论】形如,若,则有最大值和最小值,求最值的步骤为：
（1）分别取、得、.
（2）则与中易得最大值和最小值,且两者互为相反数.

◆ 例9 函数的最小值为 ,最大值为 .
【秒解】中,两系数相等,则,,则








18、不等式 Þ 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题
【解法】在求最值中如果式子具有以下两个特点:
（1）两个变量是正实数（使用基本不等式的前提）
（2）有一个代数式的值已知,求另一个代数式‚的最小值,其中两个代数式一个是整式,一个是分式,当然会在此基础上进行变形.
此类题型解法：凑出可以使用基本不等式的形式：的形式,多数情况下是让两个代数式相乘.

◆ 例1
（1）已知,,求的最小值;
（2）已知,,求的最小值;
（3）已知,,求的最小值;
（4）已知,,求的最小值.
【解析】这四个题目中,
(1)是“1的替换”的最基础题目,已知整式的值为1,求分式的最小值,
(2)是将已知值变成了3,需要调节系数,
(3) 是已知分式的值求整式的最值,
(4)对分式进行等价变换.
【秒解】
（1）
当且仅当即时取等号
（2）
当且仅当即时取等号
（3）
,当且仅当即时取等号
（4）因为,所以,然后
当且仅当即时取等号

◆ 例2
(1)已知,,求的最小值;
(2)已知,,求的最小值;
(3)已知,,求的最小值;
(4)已知,,求的最小值.
【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数,为了能够使用基本不等式,我们需要对整式也进行相应的变形;（2）在上一题的基础上,是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项,需要分离出一个代数式,变成熟悉的形式;（3）在（1）的情况下分母进一步变化,不是加一个常数,而是混搭的形式;（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果,而是需要配凑一个系数.
【秒解】
（1）整式变形成,


当且仅当取等号
（2）

然后求当时,代数式的最小值
（3）整式变形成,求代数式最小值.
（4）假设分式变形为的形式,保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比,
即,,
分式变形为 ,然后求的最小值.

◆ 例3（1）已知,,求的最小值;
（2）已知,求的最小值;
【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式,（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数,而是的形式,因为比较接近我们使用基本不等式的形式,所以对另一个分子替换;
（2）中好像是缺了整式,但仔细观察不难发现,其实分母之和为定值.
【秒解】（1）
当且仅当时取等号
（2）因为,然后求的最小值

◆ 例4 若正数,满足,则的最小值是（　　）
A. B. C. D．
【秒解】正数,满足,
,
,
当且仅当时取等号,即的最小值是
◆ 例5 已知均为正实数,且,则的最小值为 ．
【秒解】
,当且仅当即时等号成立,即的最小值是．

◆ 例6 设,若是与的等比中项,则的最小值为（ ）
A. B． C． D．
【秒解】是与的等比中项,，，选B．

◆ 例7 已知
.
【秒解】令
解得

当即取等号.
◆
例8 已知实数,满足,则的最大值为 ．
【秒解】实数,满足,
,
,
解关于的不等式可得,
故答案为：．

◆ 例9 已知,,,则取到最小值为 ．
【秒解】令∴, ∴


,
当且仅当时,等号成立,
即的最小值是．

◆ 例10 已知正数满足则的最小值为 .
【秒解】
则,令,即, 恒成立,
由得,


◆ 例11 若正数满足,则的最小值为 .
【秒解】=

令,则,即,原式=

◆ 例12 已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是 ,
当取到最大值时 .
【秒解】恒成立问题,求的最小值,即为“1的替换”答案为：,;

◆ 例13 在边长为1的正三角形中,且,则的最小值等于 .
【秒解】这是结合向量来解的一个题目,的最小值为.




19、不等式 Þ 利用“对称思想”速解不等式最值问题
在高考的选择题、填空题中,常会遇到不等式最值问题,用对称思想解决最值问题.这种方法简单有
效,可以解决绝大数不等式最值问题.
※ 什么叫做对称式？
如果把一个代数式中的任意字母对调,所得的代数式与原来的代数式恒相等,那么就说原来的代数式关于这些字母成对称,问题 (条件和结论 )中的地位相同,作用一样 .原来的代数式就是关于这些字母的对称式. 例如：(1) (2) 在 中,对于 来说,和是相互对称的,所以在结论中和 也是相互对称的 .
※ 解题方法
两个 (多个 ) 元素在问题中相互对称时,就 没有充分理由认为这些元素中的某个元素比其他的元素的作用 大或小,地位高或低,它们对结论的贡献应是相等的,地位应 是相同的,谁也无特权,故诸元素均相等时,问题达到最优化 .
这种“ 一视同仁 ”地 、“ 公正 ” 地看待某些对象的“ 非充分 理由 ”原理,用来监控对称问题的结论是很有效的,即条件和研究对象的形式是对称的,结论也应该符合对称的要求,否则可判断结论或者不完整,或者就是根本错误的 . 对称思想告诉我们:没有充分理由区别的,可能是不必区别的 .
对称的原因必然导致对称的结果,对称的条件必能得出对 称的结论 . 利用诸对称元素相等时,问题达到最优化(取某个最值 ),是速解高考客观题中的最值问题的一种极为有效的策略和 方法,是对称思想用于指导解题的具体体现 . 发现或构造对称, 并利用对称原理解题,是解题者对称思想成熟的标志!
最后,需要说明的是,在问题中具有相互对称性的诸元素相等是问题取得最值的充分不必要条件 . 例如,若,,则当 时, 取得最大值;当,或 时,取得最小值0. 但即便如此,它仍然是解决高考客观题中的最值问题的一种极为简便的方法, 也是猜测、估计解答题中最值问题的结论,并变求解题为证明 题的有效措施和手段 .

※应用举例
（1）诸元素均相互对称
◆ 例1 (2009天津理6) 设 ,若是与的等比中项,则的最小值为 ( )
A.8 B.4 C.1 D.
【秒解】由题设得,所以 将 看成是此问题的两个元素,它们对换时问题不变,说明它们在此问题中是相互对称的.即本题中 的地位相同,所以 对于取得最小值的作用和地位应当相同,谁也无权比另一个大. 因此,当时, 取得最小值4,选 B.

◆ 例2(2007重庆理7) 若是与的等比中项,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【秒解】因为是与的等比中项,所以 ,即. 以下虽然可以利用三角代换或基本不等式求解,但均需用配凑等技巧,是对大多数考生思维的挑战,是大多数考生所想不到的,更何况接下来,不是求导,就是放缩. 显然,这样解一道选择题是不经济的,这促使我们想有没有更好的、更经济的解法呢?如果我们能把 和分别看成是和 ,那么条件式和求解式中的和 具有对称性,即元素和在此问题中是相互对称的,当取得最大值时,就没有充分理由认为 比大或小,它们对取最 (极 )值的贡献是相等 的,地位是相同的,故当,即当 时,取得最大值,选 B .
◆ 例3(2009重庆文7 ) 已知 ,则 的最小值是 ( ) .
A.2 B. C. 4 D. 5
【秒解】与对称,则时取最值,此时
,选C.
◆ 例4（2015福建文5）若直线
过点,则的最小值等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【秒解】易知,,上式中与对称,则时取最值,此时,选C.

◆ 例5(2009天津文9 ) 设 若 ,,则的最大值为 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
【秒解】在,中与对称,则当时,取最值,此时,取最大值,选C.

◆ 例6(2011浙江文16 ) 若实数满足 ,则的最大值是 .
【秒解】中与对称,答案：.

（2）只有部分元素相互对称
这类问题的解决,只需对这些具有对称性的元素,使用对称原理,即会使问题化难为易,化繁为简,思维量、运算量大为减小,用时少,速度快 .
◆ 例1(2006重庆文12 ) 若,且,则的最小值是 ( )
A. B.3 C.2 D.
【秒解】在本题中,无论是在题设中还是结论中,虽然不是相互对称的,但是 却是相互对称的,即地位完全相同,所以 对于 取得最小值的作用应当相同,也无权比另一个大.因此,当时,取得最小值.此 时,题设式变为,待求式恰为,此时,选 A .

◆例2(2006重庆理10) 若,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【秒解】在本题中,无论是在题设还是结论中,虽然 不是相互对称的,但是 却是相互对称的,即地位完全相同,所以对于取得最小值的作用应当相同,谁也无权比另一个大. 因此,当 时,取得最小.此时,题设式变为,待求式恰为,此时,选 D .

（3）元素不对称
有些元素不对称问题,可以根据问题的特点,通过配凑、恒等变形等手段,使 “ 新元素 ” 具有对称性,进而再利用对称 思想求解 . 这是掌握了对称思想的标志和表现之一 .
◆ 例1(2010山东文14 ) 已知, 且满足,则的最大值为( ) .
【秒解】如果能把和综合起来看成是和,那么条件式和求解式中的和具有对称性,即元素和在此问题中是相互对称的,当,即取得最大值时,就没有充分理由认为比大或小,它们对,即取最(极 )值的贡献相等,故当时,=3 ,即取得最大值3.
◆ 例2(2008江苏11 )设,满足 则的最小值是 .
【秒解】题中,无论是在题设中还是结论中,虽然不是相互对称的,但是如果我们能把 和综合起来看成是 和,则条件式和求解式中的和是相互对称的,当,即当时,取最小值3.

◆ 例3(2007山东理16) 函数
的图象恒过定点,若点在直线上,其中则的最小值为 .
【秒解】易知定点A 为,所以 又因为,所以.若用对称思想,则由和 知,元素 与在此问题中是相互对称的,地位相同,所以当且仅当时,取最小值8.

◆ 例4(2010浙江文) 若正实数满足 ,则的最小值是 .
【秒解】在本题中,虽然不相互对称,但是如果我们能把和综合起来看成是和,那么条件式和求解式中的和是相互对称的,故当,即当时,取得最小值18.

◆ 例5(2011浙江理16) 设为实数,若,则的最大值是 .
【秒解】本题中,虽然不相互对称,但是如果我们能把和综合起来看成是 和,那么条件式和求解式中的和是相互对称的,当即当 时,取得最大值.
◆例6(2010重庆理7) 已知, ,则的最小值是 ( ) .
A. 3 B. 4 C. D.
【秒解】,
与中与对称,则当时,取最值,此时
,取最大值,选B.

◆ 例7(2011浙江理16 )设为实数,若则的最大值是 .
【秒解】
与中,对称,答案.
◆ 例8（2015天津文12）已知 则当的值为 时取得最大值.
【秒解】,在与中,对称,则时取最值4.

◆ 例9（2017天津卷文13）若,,
则的最小值为 .
【秒解】,
可知上式中对称,则当时,
.

◆ 例10（2015重庆文14）设,则的最大值为 .
【秒解】,
在式子与中,对称,则当时,取最值,此时,
最大值为.






19、不等式 Þ 拉格朗日数乘法巧解二次型条件最值问题
设为实数,满足
,求
（其中、、、、、、、、、、为常数）的取值范围.这类二次型条件最值问题,常出现在各类数学考试和竞赛中,都可以利用拉格朗日乘数法加以解决.

【解法】拉格朗日数乘法要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先构造辅助函数：
其中为某一常数求其对与的一阶偏导数,并使之为0,然后与方程联立：

由这方程解出、、,则其中、就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标.

换一种简便说法：
作拉格朗日函数
(称其中实数为拉格朗日乘数）,从方程组

解出、、,则其中、就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标.

◆ 例1（2010重庆理数7）已知
,则的最小值是 ( )
A.3 B.4 C. D.
【秒解】令
由
得,所以的最小值是4,选C.

◆ 例2（2012浙江文9）若正数满足,则的最小值是 .
A. B. C.5 D.6
【秒解】令
由
得,所以的最小值是5,选C.

◆ 例3（2011浙江理16）设为实数,若则的最大值是 .
【秒解】令
由
得,的最小值是.

◆ 例4 （2006安徽竞赛题）已知为实数,且,则的最大值为 ,最小值为 .
【秒解】令
由
得,或,或
,所以的最大值9,最小值是1.

20、不等式 Þ 利用柯西不等式速解最值问题
柯西不等式：
※ 二维形式：
公式变形：,
等号成立条件：当且仅当时.

※ 一般形式：
等号成立条件：,
或中有一为零.

※ 柯西不等式的三角形式
设都是实数,则.
从题型上来分,柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类.其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题;最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题.
（1）求多元变量代数式的最值
求多元变量代数式的最小值时,可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边;当求多元变量代数式的最大值时,可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边.

◆ 例1（2012浙江文9）若正数满足,则的最小值是（ ）
A. B. C.5 D.6
【秒解】由,得 （*）
由柯西不等式,得（**）
即,所以,且

所以的最小值是5,故选C.
◆ 例2（2014陕西理15）设且,则的最小值为 .
【秒解】由柯西不等式,，
即.所以,当且仅当
时等号成立.所以的最小值是.

◆ 例3（2013湖南理10）已知
,则的最小值为 .
【秒解】由柯西不等式得,
即,当且仅当时等号成立,即,即时取最小值12.

◆ 例4 （2011浙江理16）设为实数,若,则的最大值是 .
【秒解】由,得,即
由柯西不等式,得,当且仅当时,取等号.
即,所以.
经验证,当时,,所以的最大值是.

◆ 例5（2011重庆）已知,则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【秒解】由式子知,,故选C.

◆例6（2013陕西）已知均为正数,且,则的最小值为 .
【秒解】由柯西不等式可得 答案：2

◆ 例7（2013湖南理）已知 ,则 的最小值为 .
【秒解】

且当时,取最小值为12.

◆ 例8(2015成都月考)对于,当非零实数满足且使最大时,
的最小值为 .
【秒解】由题可知：,
即
当且仅当,即（同号）时,
取得最大值,此时,,
当且仅当时,取最小值.

（2）求一个变量的最值
◆ 例9（2014浙江文16）已知实数满足,,则的最大值是 .
【秒解】由,得（ * ）
由柯西不等式得.（**）
将（*）式带入（**）式得,
解得.经验证,当时,.
所以的最大值是.

◆ 例10 函数的最大值 .
【秒解】由柯西不等式得

◆ 例11(2015江苏易大联考)求函数：最大值.
【秒解】易求得原函数的定义域为
因为,
当且仅当,即时等号成立,
所以.故函数最大值为.

◆ 例12 求函数的最小值.
【秒解】由,
得,
点评：在应用三角形式求最小值时,我们要注意两点：①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能的使定值最大.比如本题若变成虽然产生结论,但“2”并不是最小值.

◆ 例13 求函数的最大值;
【秒解】由三角形式稍作变化,即得.

点评：在应用三角形式求最大值时,我们也要注意两点：①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能使定值最小.比如本题若变成虽然产生结论,但并不是最大值.

◆ 例14（2015陕西文24）已知关于的不等式的解集为
（I） 求实数的值;
（II） 求的最大值
【秒解】（I）由,得
则,解得
（II）方法一（柯西不等式）：

当且仅当即时等号成立,
故

（3）不等式证明问题
◆ 例15（2008全国理科）若直线过点,则（ ）


【秒解】由柯西不等式,得.又点在直线上,即,代入上式,得,因此选.
◆ 例16（2013文科24）设均为正数,且.证明：.
【秒解】证明 由柯西不等式,得
代入,得

◆ 例17（2009浙江）已知正数.
证明：.
【秒解】证明 由柯西不等式,得
即.
评注 对于分式和不等式的证明,可以考虑给该分和配上一个由各个分式的分母的和构成的因式.

◆ 例18（2008年南开大学自主招生）设均为正数,且.求证：.
【秒解】证明 由柯西不等式,得,
即（*）
再次利用柯西不等式,得,
即,结合（*）式,得

即.
评注 一次柯西不等式无法得到结果时,可再次使用
◆ 例19（2013浙江）设正数满足,求证,并给出等号成立的条件.
【秒解】由,得.
由柯西不等式,得
即,当且仅当时,
即时,等号成立.代入,得.即等号成立的条件是.

（4）在其他题型中的运用
◆ 例20（湖北理9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A. B.. C.3. D.2.
【秒解】设椭圆方程为 ,其离心率为,双曲线方程为,其离心率为,两曲线的公共点在第一象限,,
,,则
可得,即由柯西不等式得,当且仅当时等号成立,故的最大值为,从而选A.
◆ 例21 设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点.求四边形面积最大值.
【秒解】依题意知：椭圆方程为,,如图所示,由椭圆的对称性易知四边形的面积等于四边形的面积的两倍.




设点,所以四边形面积.
由柯西不等式的变式公式,得,,当且仅当,注意到且,即时上式取等号.
故四边形面积最大值为.
点评： 观察目标函数的结构特征,将变形为以便于利用柯西不等式的变形公式.利用柯西不等式的变形公式是求解问题的关键,敬请读者细细品味和充分领悟.












21、线性规划 Þ 利用特殊法巧解线性规划问题
◆ 例1 (2011安徽理4)设变量满足则的最大值和最小值分别为( )
A.1,-1　　B.2,-2 　C.1,-2　 D.2,-1
【秒解】由可知：①求最大值时,与取正数,且尽量取大的值,所以可取,此时;②求最小值时,与取非正数,且尽量取小的负值,所以可取,此时.选B.

◆ 例2(2011湖北理8)已知向量
,且,若满足不等式,则的取值范围为( )
A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3]
【秒解】因为,故,即,可得,由可知：
①求最大值时,与取正数,且尽量取大的值,所以可取,此时;
②求最小值时,与取非正数,且尽量取小的负值,所以可取,此时.选B.

◆ 例3 若变量满足约束条件,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如果无法理解代表的几何意义,那么可以采用取特值代入法,如下图在可行域中,取,则,排除AC取极端情况,则,而,∴无限接近1,可排除D,选B.






◆ 例4(2009湖南卷理)已知D是由不等式组,所确定的平面区域,则圆在区域D内的弧长为( )
A. B. C. D.
【秒解】画图估算法：如图示,




图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求,圆周长为,易知图中区域D的弧长约为圆周长的,即,而四个选项中ACD与相差比较大,故选B.



22、线性规划 Þ 高考中常见的线性规划题型完整汇总

（1）利用“小左大右”快速判断二次一次不等式对应区域：
把约束条件中的不等式化为一般式,常数在左边,0在右边,且确保的系数为正,如是一般式,而对应一般式为.
①若一般式中不等式为“”或“”则表示对应直线的左侧;
②若一般式中不等式为“”或“”则表示对应直线的左侧.
即：小左大右

（2） 线性目标函数取最值处的判断方法：
①当中时,直线：=0越往上平移的值越大,越往下平移的值越小;
②当中时,直线：=0越往上平移的值越小,越往下平移的值越大.

（3）几种常见的目标函数：
① 线性目标函数：;
② 目标函数含参：
③ 两点距离型：
④ 斜率型
⑤ 向量内积型⑥ 点线距离型： 等
（4）关于交点代入法：对于线性目标函数,最值往往是在直线交点处取得,但也有特殊情况,所以很多同学采用联立方程求交点代入法,不一定是百分百正确的.

◆ 例1线性目标函数型 (2017新课标II理5）：设,满足约束条件,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【秒解】根据“小左大右”原则,
表示直线左侧,
表示直线右侧,
表示直线上方,
在画图过程中,可以用箭头“”做出标记,最好确定可行域.
对于目标函数,的系数为正,则越往下越小,在
x
y
O
处取得最小值－15,选A.







◆ 例2线性目标函数型（2012年大纲理）若满足约束条件,则的最小值为 .
【秒解】做出不等式所表示的区域如图,
得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,
x
y
此时最小,最小值为.








◆ 例3目标函数含参型（2017浙江4）若满足约束条件,则的取值范围是( )
A.[0,6] B.[0,4] C. D.
【秒解】对于线性目标函数,最值往往是在直线交点处取得,但也有特殊情况,所以很多同学采用联立方程求交点代入法,不一定是百分百正确的.
如图,可行域为一开放区域,所以直线过点时取最小值4,无最大值,选D．







◆ 例4 目标函数含参型（2014课标I文11）设,满足约束条件且的最小值为7,则( )
A.－5 B.3 C.－5或3 D.5或－3
【秒解】本题线性约束条件和目标函数都含有参数,需通分类讨论且画图来判断取最小值点：






① 当时,由解得
当直线经过点时取得最小值为7.
,化为,
解得舍去.
② 当时,不符合条件.选B.

◆ 例5 两点距离型（2016山东文4）若变量满足则的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值.

【秒解】画出可行域如图所示,







表示点与原点之间的距离的平方,
看图知点到原点距离最大,所以
=10.选C.
◆ 例6两点距离型：已知实数满足,则的最大值是 .
【秒解】这相当于一个线性规划问题,我们只要作出可行域,如下图内部（含边界）区域,问题是求这个区域上点到点的距离的最大值的平方,从图形可知所求点应该为点,故所求最大值为90．






◆ 例7 斜率型（2015全国1理15）若满足约束条件,则的最大值为 .
【秒解】当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值.作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.







◆ 例8 斜率型：若实数、满足,
则的取值范围是 .
【秒解】,令,如图画出可行域,的取值范围为可行域上任一点,与连线的斜率的取值范围,,故．






◆ 例9内积型:若变量满足约束条件,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】根据公式,向量=表示向量与的夹角的余弦值的倍,即,如上图可知,∴<1,又观察的最大值为钝角,即可以取负值(无需算出最后结果),排除ACD,选B.








◆ 例10 距离型:已知满足约束条件,求的最大值和最小值．
【秒解】,而表示区域中的点)到直线的距离(图略),则.


◆ 例11 约束条件有圆型:已知满足约束条件,则目标函数的最大值是___.
【秒解】作可行域区域图,目标函数化为,先作出直线,在可行域范围内平移直线,考虑到直线的截距为,所以当直线与可行域弧相切时截距取得最大值,此时圆心（原点）到直线的距离等于半径2,得,即.








◆ 例11 目标函数为抛物线型:不等式组表示的平面区域面积为81,则的最小值为___.
【秒解】令,则此式变形为,
可看作是动抛物线在轴上的截距,当此抛物线与相切时,最小,故答案为.





◆ 例12 （2015四川文9）设实数满足,则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【秒解】画出可行域,如图中所示的阴影部分.易得:.由图可知,若取得最大值,则动点一定在线段或的第一象限部分.




若点在上,则,当时有最大值,此时,即点在上.若点在上,则在是关于的增函数,当取到最大值.当且仅当,
时对应点落在线段上,取最大值.选A.

◆ 例13 目标函数为向量投影型：已知点的坐标满足：及,则的最大值是 .
【秒解】=||·即为在
上的投影长,由
∴·的最大值为5.
◆ 例14（2016浙江文4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】画出可行域如图,联立方程可得交点坐标、,由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和B时,两直线的距离最小,即,选B.






23、程序框图 Þ 程序框图高效格式化解题模式
◆ 例1（2014课标I文9）执行右面的程序框图,若输入的分别为1,2,3,学科网则输出的( )









开始
否
输出
结束
输入
是
A. B. C. D.








【秒解】按下表的方式,列出各个变量及变化过程.




第一行按变化的顺序列出各个变量
第二行为各变量初始值
第三行为第一次运行后各变量值
以此类推……
这些数字表示第几次运行







选D.

◆ 例2 (2017新课标II理8）执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5


























（例2图） （例3图）

【秒解】按下表的方式,列出各个变量及变化过程




选B.

◆ 例3（2013辽宁理8）执行如图所示的程序框图,若输入( )
A. B. C. D.
【秒解】利用 “算法简化”思想：定性分析代替定量计算,根据题型结构简化计算过程,在一定程度上帮助我们加快了解题速度：
不断反复代入计算了后得(过程略),观察各项数字的大小变化规律发现后三项之和,∴,选 A.

24、排列组合 Þ 排列组合21种常见题型解题技巧汇总

※ 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
（1）认真审题弄清要做什么事.
（2）怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是
分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多
少类.
（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
（4）解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略.

※ 常见题型及解题技巧
（1）特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置.若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

◆ 例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
【秒解】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.



先排末位共有,然后排首位共有,最后排其它位置共有,由分步计数原理得

◆ 练1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？

(2)相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

◆ 例2 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
【秒解】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有种不同的排法



◆ 练2 某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

(3)不相邻问题插空策略
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

◆ 例3 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
【秒解】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱
共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个
元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,
由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种

◆ 练3 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30

(4)定序问题倍缩空位插入策略
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理
◆ 例4 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
【秒解】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,
然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则
共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有种方法.
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

◆ 练4 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法？



(5)重排问题求幂策略
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种

◆ 例5 把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
【秒解】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到
车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法?

◆ 练5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42

◆ 练6 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

(6)环排问题线排策略
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

◆ 例6 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
【秒解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！




◆ 练7 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈
120

(7)多排问题直排策略
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

◆ 例7 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
【秒解】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种

◆ 练8 有两排座位,前排11个座位,后排12个
座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不
能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种
数是 346

（8）排列组合混合问题先选后排策略
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

◆ 例8 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
【秒解】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法,根据分步计数原理装球的方法共有

◆ 练9 一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种.

（9）小集团问题先整体后局部策略
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理.

◆ 例9 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其
中恰有两个偶数夹在1,5两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
【秒解】把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有种排法,再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法.

◆ 练10 计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,
4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一种画
的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有
陈列方式的种数为

◆ 练11 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种

（10）元素相同问题隔板策略
将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为

◆ 例10 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案？
【秒解】因为10个名额没有差别,把它们排成一
排.相邻名额之间形成９个空隙.在９个空档中选
６个位置插个隔板,可把名额分成７份,对应地分
给７个班级,每一种插板方法对应一种分法共有
种分法.




◆ 练12 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球有多少装法？

◆ 练14 求这个方程组的自然数解的组数 ？

（11）正难则反总体淘汰策略
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

◆ 例11 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
【秒解】这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有.再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有

◆ 练14 班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

（12）平均分组问题除法策略
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数.

◆ 例12 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
【秒解】分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),
(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法.

◆ 练15 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）

◆ 练16 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）

◆ 练17 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为___（）
（13）合理分类与分步策略
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.

◆ 例13 在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞
的节目,有多少选派方法？
【秒解】10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种,由分类计数原理共有 种.

◆ 练18 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有34

◆ 练19 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,
2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只
船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有
多少乘船方法. （27）

（14）构造模型策略
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决

◆ 例14 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
【秒解】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种

◆ 练20 某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种？（120）

（15）实际操作穷举策略
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

◆ 例15 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
【秒解】从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
3号盒
4号盒
5号盒




◆ 练21 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

◆ 练22 给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种




（16）分解与合成策略
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

◆ 例16 30030能被多少个不同的偶数整除？
【秒解】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,
所有的偶因数为：

◆ 练23 正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线

（17）化归策略
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题

◆ 例17 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
【秒解】将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种.再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法.




◆ 练24某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种？()



（18）数字排序问题查字典策略
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数.

◆ 例18 由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
【秒解】

◆ 练25 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

（19）树图策略
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果

◆ 例19 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

◆ 练26 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中号人不坐号椅（）的不同坐法有多少种？
（20）复杂分类问题表格策略
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

◆ 例20 有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法?
【秒解】
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法







（21）住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.

◆ 例21 七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .
【秒解】因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得7种.




25、排列组合 Þ 利用公式法速解相间涂色问题
【结论】:
（1）中心为点的环状涂色问题涂法总数公式:
(n≥2,m≥3) (其中为不同区域数,为不同颜色数)
（2）中心为块的环状涂色问题涂法总数公式:
(n≥3,m>4) （为除中心外的区域数,为不同颜色数,）
（3）用种不同颜色涂棱锥的顶点涂法总数公式:
(n≥3,m>4)

◆ 例1 结论1中时证明:如图,把一个圆分成个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法？
⑤




【解析】设分成个扇形时染色方法为种
（1）当时、有=12种,即=12
（2）当分成个扇形,如图,与不同色,与 不同色,,与不同色,共有种染色方法, 但由于与邻,所以应排除与同色的情形;与同色时,可把、看成一个扇形,与前个扇形加在一起为个扇形,此时有种染色法,故有如下递推关系：



1
2
3
4
◆ 例1 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法？


【秒解】根据结论公式,又
可得
【通解】可把问题分为三类：
（1）四格涂不同的颜色,方法种数为;
（2）有且仅两个区域相同的颜色,即只有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为;
（3）两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为,
因此,所求的涂法种数为

A
B
C
D
E
F

◆ 例3 如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可供选择,则共有 种涂色方法.



【秒解】根据结论公式,又
可得
【通解】（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时,有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法故有种方法.
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,有种着色方法,此时B、D、F有种着色方法,故共有种着色方法.
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法,此时B、D、F各有2种着色方法.此时共有种方法.
故总计有108＋432＋192=732种方法.

◆ 例4 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法？
【秒解】该问题相当于用四种颜色给图中四个扇形位置涂色问题,



根据结论公式,
又,可得.

②
①
③
④
◆ 例5 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种？



【秒解】题目中图形等价于下图情形：


选给图中①、②、③三个位置涂色,根据结论公式：,,,又4号位置只需与3号位置颜色不同,故有种方法.
【通解】先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色有4种方法,接着给③号涂色方法有3种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有

①
②2

③
④
⑤
⑥

◆ 例6 四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色.



【秒解】中心为块的环状涂色问题涂法总数公式:
（为除中心外的区域数,为不同颜色数）
120
【通解】依题意只能选用4种颜色,要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色,则有;
（2）③与⑤同色、④与⑥同色,则有;
（3）②与⑤同色、③与⑥同色,则有;
（4）③与⑤同色、②与④同色,则有;
（5）②与④同色、③与⑥同色,则有;
所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120

2
4
3
1
5
◆ 例7 如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种？



【秒解】中心为块的环状涂色问题涂法总数公式:
（为除中心外的区域数,为不同颜色数）
72

◆ 例8 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少？
S
C
D
A
B
【秒解】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图,



对这五个区域用5种颜色涂色,
根据中心为块的环状涂色问题涂法总数公式： （为除中心外的区域数,为不同颜色数）
420　　　

5
3
2
1
4
◆ 例9 四棱锥,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法？




【秒解】这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域1、2、3、4相当于四个侧面,区域5相当于底面;根据中心为块的环状涂色问题涂法总数公式:

（为除中心外的区域数,为不同颜色数,）
420






26、排列组合 Þ 速解排列组合之最短路径技巧
◆ 例1 某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,则由小区A前往H最短路径的走法有 种.



【秒解】因为要求从A点到H点的最短路径,则只能往右或上走.则
①到A、B、C、D、F均只有1种
途径,分别标上“1”如：

②到有从来的种
途径,给标上“2”如：


③到有从来的种
途径,给标上“3”;到有从
来的种途径,给
标上“3”如：
④到有从来的种
途径,给标上“6”,如：
故共有6种走法.
本题解题原理等价于：



◆ 例2 如图所示是一个由边长为1个单位的12个正方形组成的棋盘,规定每次只能沿正方形的边运动,且只能走一个单位,则从走到的最短路径的走法有 种.


【秒解1】参考例1,因为要求从A点到B点的最短路径,则只能往右或上走.则





故共有35种走法.
【秒解2】要想从走到的路径最短,只需走7个单位,并且这7个单位中,有3个横单位和4个竖单位；在这7各单位中,只要3个横单位确定,走法就确定；所以的最短路径的走法有种

◆ 例3 从点到点的路径如图所示,则不同的最短路径共有　　 　　条．


【秒解】不同的最短路径共有22条




◆ 例4 A、B、C三地的地图如下图所示,其中A在C正北,B在C正东,连线处为道路。如要从A地到达B地,且途中只能向南、东和东南方向行进,有多少种不同的走法（ ）
A.9 B.11 C.13 D.15


【秒解】选D.





◆ 练1 从A地到B地的道路如图所示,所有转弯均为直角,问如果要以最短距离从A地到达B地,有多少种不同的走法可以选择？


A.14 B.15 C.18 D.21










27、二项式定理 Þ 二项式定理常见题型大汇总
※ 概念与性质
（1）二项式定理：

（2）基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共n＋1项,是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项.用表示.
（3）性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的
两个二项式系数相等,即.
②二项式系数和：令,可得二项式系数的
和为,
变形式.
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中,令,则,
从而得到：

④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值.
如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.
⑤系数的最大项：求展开式中最大的项,
一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为
,设第项系数最大,应有
,从而解出来.



※ 常见题型举例

（1）二项式定理的逆用
◆ 例1
【秒解】



◆ 练1
【答案】

（2）利用通项公式求的系数
◆ 例2 在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数？
【秒解】由条件知,即,
,解得
由,
由题意,
则含有的项是第项,系数为.

◆ 例3 求展开式中的系数？
【秒解】,
,令,则
故的系数为.

（3）利用通项公式求常数项
◆ 例4 求二项式的展开式中的常数项.
【秒解】,
令,得,所
◆ 例5 求二项式的展开式中的常数项.
【秒解】,
令,得,所以

◆ 例6 若的二项展开式中第项为常数项,则
【秒解】,令,得.

（4）利用通项公式,再讨论而确定有理数项
◆ 例7 求二项式展开式中的有理项？
【秒解】,
令,()得,
所以当时,,,
当时,,.

（5）奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和
◆ 例8 若展开式中偶数项系数和为
,求.
【秒解】设展开式中各项系数依次设
为,则有①,
,则有②
将①－②得：

由题意得,,.

◆ 例9 若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项.
【秒解】
,
,解得
所以中间两个项分别为,
,

（6）最大系数,最大项
◆ 例10 已知,若展开式中第项,第
项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中
二项式系数最大项的系数是多少？
【秒解】解出
,当时,展开式中二项式系数
最大的项是

当时,展开式
中二项式系数最大的项是,
.

◆ 例11 在的展开式中,二项式系数最大
的项是多少？
【秒解】二项式的幂指数是偶数,则中间一项的
二项式系数最大,即,也就是第项.

◆ 例12 在的展开式中,只有第项
的二项式最大,则展开式中的常数项是多少？
【秒解】只有第项的二项式最大,则,
即,故展开式中常数项为第七项等于
◆ 例13写出在的展开式中,系数最大的
项？系数最小的项？
【秒解】因为二项式的幂指数是奇数,所以中间
两项()的二项式系数相等,且同时取得最
大值,从而有的系数最小,
系数最大.

◆ 例14 若展开式前三项的二项式系数和等于,
求的展开式中系数最大的项？
【秒解】由解出,
假设项最大,
,
化简得到,又,
,展开式中系数最大的项为,有

◆ 例15 在的展开式中系数最大的项是
多少？
【秒解】假设项最大,

,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为

（7）含有三项变两项
◆ 例16 求当的展开式中的一次
项的系数？
【秒解】,
,当且仅当时,
的展开式中才有x的一次项,
此时,所以得一次项为
,它的系数为.
◆ 例17 求式子的常数项？
【秒解】,
设第项为常数项,
则,
得,, .

（8）两个二项式相乘;
◆ 例18
【秒解】

.

◆ 例19
【秒解】


.

◆ 例20

【秒解】




（9）奇数项的系数和与偶数项的系数和
◆ 例21

【秒解】 ①
故展开式中含的项为,
故展开式中的系数为240.
②







（10）赋值法
◆ 例22 设二项式的展开式的各项系数
的和为,所有二项式系数的和为,若,
则等于多少？
【秒解】若,
有,,
令得,又,
即
解得,.


◆ 例23 若的展开式中各项系数之
和为,则展开式的常数项为多少？
【秒解】令,则的展开式中各
项系数之和为,所以,则展开式的常
数项为.

◆ 例23
.
【秒解】


◆ 例24

【秒解】


（11）整除性
◆ 例25 证明：能被64整除
【秒解】证：



由于各项均能被64整除




28、二项式定理 Þ 利用公式速解三项型二项式指定项问题
【结论】的展开式中,含（其中
）的项为
◆ 例1 （2015全国1理10）的展开
式中,的系数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.60
【秒解】根据结论,设的系数为,为使
,观察后
取,则
,选C.

◆ 例2 求当的展开式中的一次项
的系数为 .
【秒解】根据结论,设的系数为,为使
,观察后
取,则
,所以展开式中
的一次项的系数为240.

◆ 例3 式子的展开式中的系
数为 .
【秒解】根据结论,设项系数为,
为使
,观察后取,则

,则的系数为－7.

◆ 例4 的展开式中常数项为 .
【秒解】根据结论,设常数项为,为使
,
观察后取或,
则
.
◆ 例5 的展开式中常数项为 .
【秒解】根据结论,设常数项为,为使
,观察后取
或或
则
.









29、平面向量 Þ 特殊化法速解平面向量问题
特殊情况分析法方法思想：当题中没有限定情况时,我们考虑问题可以从最特殊的情况开始分析,特殊情况往往可以帮助我们排除部分选项,然后分析从特殊情况到一般情况的[过度](变大、变小)等选出正确答案.

◆ 例1 (2010辽字理8)平面上三点不共线,设,则的面积等于（ ）
A. B.
C. D.【秒解】特殊化条件：设为单位向量且夹角为,则为边长为1的等边三角形,,将,,
代入四个选项,得,选C.

◆ 例2 在平行四边形ABCD中
,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】把平行四边形ABCD特殊化为正方形,






由条件可知M、N分别为线段BC、AB的四等分点和三等分点,把向量平移到以A为始点如图,则由向量的平行四边形法则可知,要用表示,则需反向、系数为负,保持原方向、系数为正,选A.

◆ 例3（2014课标I文6）设分别为的三边的中点,则( )
A. B. C. D.
【秒解】特殊化条件

① 取DABC为正三角形,作出图像

② 作EH//FC,与直线BC交于H,
则EH=EB,

③ 作EGBC,交BC于G,则
,选A


◆ 例4(2014福建文10)设为平行四边形对角线的交点,为平行四边形所在平面内任意一点,则等于（ ）

【秒解】如图把平行四边形ABCD特殊化为正方形,且取O点与A点重合,则
,选D.





◆ 例5 已知为的重心,点分别在边上,且存在实数,使得.若,,则 .
A
B
C
P
Q
D
G
【秒解】特殊化法.如图:




三点共线、取为等边三角形且,作,则为与的交点,则,
,

◆ 例6 如图,已知平行四边形ABCD中,点E为CD中点,,,若//,则（ ）




A. 1 B. 2 C. D. －2
【秒解】如图:把平行四边形ABCD特殊化为矩形,则
D、 N两点重合,M为AB中点,易知











◆ 例7 已知向量,且,则 .
【秒解】取特殊情况,,易得16.





◆ 例8 如图,四边形中,,,
是的中点,且,则( )










A. B. C. D.

y





【秒解】如图,取特殊情况AB=AD,建立直角坐标系:






易知,,设,
∵,
∴, ∴


30、平面向量 Þ 利用三个法则作图法速求平面向量问题
◆ 例1 (2017新课标I理科）已知向量、的夹角为,=2,=1则= .
【秒解】根据条件,作出向量,用平面几何方法可得=




◆ 例2 (2017新课标II文4）设非零向量,满足,则( )
A.⊥ B. C.∥ D.
【秒解】根据平行四边形加法法则与三角形减法法则作图,根据矩形对角线相等, ⊥,选A.



◆ 例3（2015上海文13）已知平面向量、、满足,且,则的最大值是 .
【秒解】在条件中、两个向量是可以互换的、对称的,=1,=2,=3与=2,=1,=3是同一种情形,∴可分三种情形进行分析,结合图像可知三种情形均在与同向时取最大值：
①=1,=2,=3;


②=1,=3,=2;

③=2,=3,=1


;
,
∴最大值为.

◆ 例3（2015重庆文7）已知非零向量满足则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】图像法
① 作向量与垂直

②作向量,则根据平行
四边形,向量如图所示

③令=1,则=2,,
∴与夹角为,
夹角为,选C.

◆ 例4（2015湖南文9）已知点在圆上运动,且,若点的坐标为,则 的最大值为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
【结论】



x
y
O
如图,在平行四边形中,是对角线和的交点,则有,又,∴即.
【秒解】
①∵ABBC,∴AC是
圆的直径

x
y
O

②

x
y
O

③当B点在轴上时,
B=(-1,0),
取最大值为4＋3=7.

31、平面向量 Þ 三点共线定理及其推论的妙用
【结论】
（1）向量三点共线定理：在平面中三点共线的充要条件是：（为平面内任意一点）,其中.(证明略)


特别地,当,即时,点为的中点.
（2）向量三点共线定理拓展：如果为平面内直线外任意一点,则
①当时
与点在直线同侧,
②当时, 与
点在直线的异侧.

◆ 例1 （2014全国I理15）已知是圆上的三点,若,则与的夹角为 .
【秒解】为中点,为圆的直径与的夹角为.

◆ 例2 (2006江西理7) 已知等差数列的前项和为,若且三点共线（该直线不过原点）,则（ ）
A.100 B.101 C.200 D.201
【秒解】由平面三点共线的向量式定理可知：∴,选A.

◆ 例3 已知是的边上的任一点,且满足 则的最小值是  .
【秒解】由平面三点共线的向量式定理,
∴,
当时取“=”,又,
∴符合题意.∴最小值为9.







◆ 例4 (2007江西理15)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为 ．






【秒解1】∵是的中点,连接,由向量加法的平行四边形法则可知
∵
∴,
又M,O,N三点共线,∴,
【秒解2】由的任意性可用特殊位置法：当与重合时知,故

◆ 例5（2006湖南文10） 如图：,点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且,则实数对可以是( )
A
B
O
M

A.　　B. C. D.





【秒解】根据向量三点共线定理拓展结论,点P点与点Ｏ在直线AB同侧,则 ,又根据平行四边形法则,要使即用
来表示,需反向延长OA,∴,选C.
A
B
O
M






◆ 例6(2006湖南理15) 如图, ,点在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是 .当时,的取值范围是 .
A
B
O
M






【秒解】根据向量加法平行四边形法则及扩展定理,则有：,且当,有：,即,答案：,（,）

◆ 练1（2007全国II理5）在中,是边上一点,=2,=,则=( )
A. B. C.－ D.－
【答案】A

◆ 练2（2015全国I理7）设为所在平面内一点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A

◆ 练3（2008广东理8）在平行四边形中,与交于,是的中点,的延长线与交于点,若则( )
A. B. C. D.
【答案】B
32、平面向量 Þ 平面向量等和线定理的妙用
平面内一组基底及任一向量,
,若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则（定值）,反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
如图




（1）当等和线恰为直线时,;
（2）当等和线在点和直线之间时,;
（3）当直线在点和等和线之间时,;
（4）当等和线过点时,;=
（5）若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
（6）定值的变化与等和线到点的距离成正比,即

①当点与点位于
直线异侧时,有,
且比值越大,越大.

②当点与点位于
直线同侧时,有,
且比值越小,越小.

◆ 例1（2017全国III理12）在矩形中,
,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若=＋,则＋的最大值为( )
A．3 B．2 C． D．2






【秒解】如图当点在上时＋=1,
根据等和线定理结论：当点与点位于直线异侧时,有,且比值越大,越大, ∴如图,作圆的另一条平行于的切线,且与交于点,结合图像,可知当点在上时最大,此时=,
,选

◆ 例2 如图,正六边形中,是内（包括边界）的动点,设,
则的取值范围是 .




【秒解】为的等和线,在内时,是最近的等和线,过点的等和线是最远的,∴=





◆ 例3（2009安徽理14）给定两个长度为的平面向量和,它们的夹角为.如图示,点在以为圆心的圆弧上变动.若,
其中,则的最大值是 .



【秒解】所有与平行的直线中,切线离圆心最远,即此时取得最大,结合角度,不难验证得.



◆ 例4（2013江苏理10）设分别是的边上的点,,,
若（为实数）,则的值为 .
【秒解】过点作,设与的延长线交于点,易知,即为的中位线,共线,
,
又.



◆ 练1 如图,在扇形OAB中,,C为弧上的一个动点,若,则的取值范围是 .



【答案】

◆ 练2 (2009安徽文14)在平行四边形中,
和分别是边和的中点,若,则
【答案】

◆ 练3 已知点是的外心,
,,若,则最小值为 .
【答案】2
◆ 例 已知点是的外心,且,,若存在非零实数,使得,且,则 .
【答案】
33、平面向量 Þ 向量中的“奔驰定理”的妙用
【结论】“奔驰定理”是平面向量中一个优美的结论,由于这个定理和奔驰的logo很相似,我们把它称为奔驰定理.内容如下（证明过程略）：

已知为内一点,则有
◆ 例1 已知O是内部一点,满足,,则实数( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
【秒解】由奔驰定理可知：,
又,
∴,
∴,∴,选 C.


◆ 例2 已知是内部一点,满足,则的面积与的面积之比为 .
【秒解】由奔驰定理可知：
,
∴
◆ 例3（2016清华领军计划自主招生27题）已知是内一点,若,
设,则实数的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】
,
又,根据奔驰定理得：
,选A.




◆ 例4 已和为内一点,且满足,
,,且,则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由条件可知：,
又由奔驰定理可知：

,,选A.







◆ 例5 若内接于以为圆心,以1为半径的圆,且,则该的面积为 .【秒解】

又由奔驰定理可知：
又

,.



◆例6 已知是内部一点,满足,则 . 【秒解】

又由奔驰定理可知：


34、平面向量 Þ 三角形四心的向量表示及妙用
（一）三角形各心的概念介绍
①重心——三角形的三条中线的交点；
②垂心——三角形的三条垂线的交点；
③内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；
④外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念,可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
（二）三角形各心的向量表示
①是的重心；
②是的垂心；P是△ABC所在平面内任一点,③是的外心
(或)；
④是的内心
；
或
注意：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)

◆ 例1（内心）(03新课标)是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【秒解】因为是向量的单位向量,设与方向上的单位向量分别为和,又,则原式可化为,由菱形基本性质可知平分,那么在中,平分,故选B．





◆ 例2（内心）已知为所在平面上一点,且点满足,则点为的（  ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【秒解】则,所以,因为分别为,方向上的单位向量,所以向量平分,因为与共线,所以平分,同理平分,平分,所以是的内心,故选B．

◆ 例3（垂心）(2005湖南文)是所在平面上一点,若,则是的（ 　）
A.外心　 B.内心　 C.重心 　D.垂心
【秒解】由得. 即即,则
,故为的垂心,选D．

◆ 例4（垂心）在同一个平面上有及一点满足关系式：,则为的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【秒解】D．提示：由得, 即 ,
,, 同理,, 故选D．

◆ 例5（重心）是△ABC所在平面内任一点.是的重心.
【秒解】
,
∵G是△ABC的重心,∴=
=,即,由此得.（反之亦然（证略））

◆ 例6（重心）（2009陕西文）在中,是的中点,,点在上且满足,则等于（ ）
A. B. C. D.
【秒解】提示：由知, 为的重心,根据向量的加法, ,则
．选D．

◆ 例7（重心）已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的（  ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【秒解】设边中点为,则有
,即, ∴过的重心,选C．

◆ 例8（外心）为内一点,,则是的（  ）
A.内心   B.外心   C．垂心   D．重心
【秒解】由向量模的定义知到的三顶点距离相等．故是的外心,故选B．

◆ 例9（外心）在中,动点P满足
,则点轨迹一定通过的（ ）
A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心
【秒解】
,即,
∴,
∴以,为邻边的平行四边形的对角线互相垂直,∴点在线段的中垂线上,故选A．

◆ 例10 （2009宁夏海南理）已知在
所在平面内,且,,且
,点依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【秒解】由知,为的外心；由知,为的重心；
同理为的垂心,故选C．

◆ 例11(2005全国理)外接圆的圆心为,两条边上高的交点为,,则实数 = ．
【秒解】特殊法,设为,则为斜边中点,与重合,∴,∴．










35、平面向量 Þ 利用极化恒等式速解向量内积范围问题






（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1：如果将上面（1）（2）两式相减,能得到什么结论呢？
＝
———极化恒等式
对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明.那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：
(1)平行四边形模式:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.



（2）三角形模式:在图中的三角形中（为的中点）,因为,所以




◆ 例1(2012年浙江文15)在中,是的中点,,则 .


【秒解】因为是的中点,由极化恒等式得：
=9－= －16
在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再出极化恒等式.


◆ 例2(2012北京文13改)已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为 .

【秒解】如图,取中点,设,则,由极化恒等式得：





◆ 例3 已知正三角形内接于半径为2的圆,点是圆上的一个动点,则的取值范围是 .






【秒解】取的中点,连结,因为三角形为正三角形,所以为三角形的重心,在上,且,所以,
（也可用正弦定理求）又由极化恒等式得：
,因在圆上,所以当在点处时,,当在的延长线与圆的交点处时,,所以
涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可.

◆ 例4 已和为圆的一条直径,点P为直线上任一点,则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.







【秒解】由极化恒等式得：
而,又的最小值为点到直线的距离,
,选A.


◆ 例5 在锐角中,已知,,则的取值范围是 ．
【秒解】,如图,作出两个临界的直角三角形,,,且为的中点,







则图1中,=
;
图2中,

则易知的取值范围是.

◆ 例6 （2010福建文11）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上点的
任意一点,则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
【秒解】如图设椭圆的右顶点为,中点为,
易知,,
,
,




5
3
1
F
x
y
O
A
B
3




◆ 练1（2013浙江理7）在中,是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则( )



A. B.
C. D.
【答案】D
◆ 练2 （2008浙江理9）已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】C

◆ 练3在中,若M是AB中点,,,在线段上运动,
的最小值为 .
【答案】

◆ 练4 已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

◆ 练5 在中,,,
,若是所在平面内一点,且,则的最大值为 .
【答案】

◆ 练6 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .
【答案】

◆ 练7 在,,已知点是内一点,则的最小值是 .
【答案】－1

◆ 练8 已知是单位圆上的两点,为圆心,且是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的取值范围是（ ）
A. B． C. D．
【答案】C

◆ 练9 正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B



















36、空间几何 Þ 利用折叠角公式速求线线角
折叠角公式(又名三余弦定理)：设为面上一
点,过的直线在面上的射影为,为面
上的一条直线,那么

【结论1】,,三角的余弦关
系为：
(,只能是锐角）





【证明】如图,可知⊥平面,取上一点
使得,即
根据三垂线定理可得
在中=   ①
在中=  ②
在中=   ③
比较①、②、③三式可知 
即得证

【结论2】设直线与的夹角为,则






◆ 例1 (2017新课标II理10）已知直三棱柱
中,,,
,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如图所示,补成四棱柱,
则所求角为,,

,选C.





◆ 例2 (2010四川理15)如图,二面角的
大小是,线段.,与所成的
角为.则与平面所成的角的正弦值是 .




【秒解】过点作平面的垂线,垂足为,在内过作的垂线,垂足为,连接,则为与平面所成的角,且,
,,
由
.





◆ 例3 (1996全国19)如图,正方形所在平
面与正方形所在平面成的二面角,则异
面直线与所成角的余弦值是 .




【秒解】由三余弦公式（结论2）可得：


◆ 例4 在三棱锥,,∠,,,则异面直线与所成的角为 .
【秒解】∵ ,,,,不妨设.
则可求得,从而 .   又∵∴  设与成45°角,设与所成的角为, 由三余弦公式（结论2）可得：cos















37、空间几何 Þ 求体积的万能公式：拟柱体公式
圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台、球球冠、球缺等各有自己求体积的公式有趣的是,有一个公式,它能代替这些形形色色的公式这个公式常被叫做拟柱体公式.
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.
拟柱体体积公式：
(1)如果拟柱体的上、下底面的面积为、,中截面的面积为,高为,那么它的体积：
=（+4+）
(2)当拟柱体的上、下底面是对应边平行的全等多边形时,它就是棱柱,这时==,公式变成：
=
(3)当拟柱体的上底面缩成一个点时,它就是棱锥,这时,,公式变成：
=
(4)当拟柱体的上下底面是对应边平行的相似多边形,它就是棱台,这时2=+公式变成：
=（++）

◆ 例1 如图,在多面体中,已知是边长为1的正方形,且均为正三角形,,,则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.



【秒解】 ,
=（+4+）
=,选A.

◆ 例2 如图所示,在多面体中,已和是边长为的正方形,,,与面的距离为,则该多面体的体积为（ ）
A. B.5 C.6 D.



【秒解】,
=（+4+）=,选D.













38、空间几何 Þ 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用
就像平面直角坐标系xOy中的直线有方程一样,对于空间直角坐标系Oxyz中,平面也有其方程.平面方程的一般形式是：
.
怎样求平面的方程呢？一般有两种方法.

第一种当然就是找到该平面中不共线的三点,设出平面的一般方程,列解方程来求.这种方法可行,但有时比较繁琐.

第二种就是「点法法」.
设平面内一点M的坐标为,一个法向量的坐标为,那么平面的方程可表示为
.

这叫做平面的点法式方程.可以将其化为一般形式.

点到平面的距离公式,则完全类比点到直线的距离公式：
给定平面,求平面外一点到平面的距离d.




【解析】任取平面内一点连接,可知到平面的距离恰是在法向量上的投影长.





（Q在平面内,所以有）

（为保证结果为正,在等式上加绝对值）
我们平常用的是第三个等号处的向量法.其实有时候,用最后一步推导出来的公式可能更加快捷有效.

◆ 例1 如图所示,所示的正方体 棱长为2,则点到平面的距离为 .





【秒解】如图建系,





则、、、、
设平面在该空间直角坐标系下的方程为,则有

平面方程为
＝

◆ 例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,GC=2,则点B到平面EFG的距离为 .






【秒解】以点C为坐标原点,以CB为轴,以CD为轴,以CG为轴,建立空间直角坐标系。
∵正方形ABCD的边长为4,且GC=2
∴B（4,0,0）,G（0,0,2),E（4,2,0）,F（2,4,0）
设E,F,G所在面的方程为；
点B到面EFG的距离为,

解之得： ,
令,则
即点E,F,G所在面的方程为：
∴== ==





















39、 空间几何 Þ 利用空间余弦定理速求异面直线所成角
对于求空间异面直线的夹角,文科生往往将这两条直线平移到一起,而理科生则用空间直角坐标系处理,当直线不好平移,坐标系又很难运算时,这种方法的优点就非常明显了.



如图在四面体中,对边与的夹角的余弦值为:

怎么记这个公式比较快?
公式右边分母为所求角对应两边的乘积2倍,分子为第二组边长的平方和与第三组边长的平方和的差的绝对值.选列出三组异面直线:
① ;②; ③




◆ 例1 如图,在直三棱柱中,
,,,则异面直线与所成角的余弦值是( )



A. B. C. D.
【秒解】空间余弦定理:

,选D.

◆ 例2 已知三棱锥的各棱长都相等,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )



A. B. C. D.
【秒解】设三棱锥的各棱长为2,

,选B.
◆ 例3 如图,正四面体中,分别是棱和的中点,则直线和所成的角的余弦值为( )


A. B. C. D.
【秒解】连接,设正四面体的边长为2,如图



则在四面体中,
.

◆ 练1 在四面体中,若,
,,则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. 【答案】D
40、空间几何 Þ 利用公式速解空间几何体的外接球半径
基础知识:三角形、矩形的外接圆半径为,则
①
②
③
④外接圆半径万能公式（正弦定理）

外接圆模型及方法
（1）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）





【探究】如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置,是的外心,则平面；
第二步：算出小圆的半径,
（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：
,解出
【结论】各顶点都在球面上,且有条棱垂直于底面,且垂点是顶点.
秒杀公式1：(表示垂直于底面的棱长,表示底面外接圆半径)




◆ 例1 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于 。
【秒解】,,,,.

◆ 例2 点均在同一球面上,其中是正三角形,,则该球的体积为 .




【秒解】,,
,

◆ 例3 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直,,则多面体的外接球的表面积为 .
【秒解】如图,可知为正三角形,
,,,外接球的表面积.




(2)墙角模型（三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径）
【探究】长方体的外接球直径,




【结论】秒杀公式2：如以下四种情形的几何体,均可看成对应长方体的一部分,找三条两两垂直的线段,直接用公式,即,求出.









◆ 例4 若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .
【秒解】,.

◆ 例5 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,面积分别为、、,那么它的外接球的表面积是 .
【秒解】三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为（）,则,,
,,,,.

◆ 例6 已知某几何体的三视图如图所示,三视图是
腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形,则
该几何体外接球的体积为 .



【秒解】,,,
,





（3）对棱相等模型（补形为长方体）
【探究】三棱锥（即四面体）中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径（,,）





第一步：画一长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第二步：设出长方体的长宽高分别为,
,,,列方程组,
,
补充：
第三步：根据墙角模型,,
,,求出,
【结论】秒杀公式3：对棱相等的棱锥的外接球半径：

◆ 例7 如图所示三棱锥,其中则该三棱锥外接球的表面积为 .





【秒解】由条件可知,属于对棱相等的棱锥外接球
问题,,,
外接球的表面积.

◆ 例8 正四面体的各条棱长都为,则该正面体
外接球的体积为 .
【秒解】这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,
,,外接球的表
面积.

(4)正棱锥模型
【结论】 棱锥各个顶点在球面上,顶点到底面的距离为,且顶点到底面的垂点为底面外接圆圆心,典型例子为：正三棱锥,正四棱锥.

秒杀公式4：

◆ 例9 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为,则球的体积为 .
【秒解】,




◆ 例10 已知正三棱锥及其正视图如图所示,则其外接球的半径为 .



【秒解】边长为,
,,

◆ 例11 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则其外接球的半径为 .
【秒解】高,底面外接圆的半径为,
.

















41、函数 Þ 用特值法速解分段函数求范围问题
◆ 例 1（2009天津理8）已知函数,若则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】特值代入法：观察四个选项：（1）取,,而,矛盾,排除含有3的AD;（2）取,显然不成立,排除含有1的B,选C.

◆ 例 2（2010天津理8）若函数,若,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】特值代入法：观察四个选项：（1）取,,而
满足题意,排除不含有2的AD;（2）取,显然不成立,排除含有－2的B,选C.

◆ 例 3（2008天津理8）已知函数,则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】特值代入法：观察四个选项：分别取代入可排除ABD,选 C .

◆ 练 1（2013新课标I理11）已知函数,若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D














42、函数 Þ 数形结合法速解函数的零点与交点问题
【结论1】函数图像的四种变换
（1）平移变换：左加右减,上加下减
沿轴左移个单位;
沿轴右移个单位;
沿轴上移个单位;
沿轴下移个单位.
（2）对称变换
对称变换：
①与的图像关于直线(轴)对称.
②与的图像关于直线(轴)对称.
③与的图像关于直线对称.
中心对称：
①与的图像关于坐标原点对称.
②与的图像关于点对称.
（3）伸缩变换
①的图像,可以将的图像纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍,横坐标不变.
②（）的图像,可以将的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍,纵坐标不变.
（4）翻折变换
①形如,将函数的图像在轴下方的部分翻到轴上方,去掉原来轴下方的部分,保留原来在轴上方的部分.
②形如,将函数在轴右边的部分沿轴翻到轴左边并替代原来y轴左边部分,并保留y轴左边部分,为的图像.
【结论2】函数的零点与交点
（1）函数的零点：方程有实数根Û函数的图象与轴有交点函数有零点方程的实数根=函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标=函数的零点.   
注：零点是数不是点 
（2）函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点.即存在,使得,这个也就方程的根.

◆ 例1（2015湖南文14）若函数
有两个零点,则实数的取值范围是 .
x
y
O
【秒解】函数有两个零点与有两个交点.下面画出 的图像：

①画函数的图像,
x
y
O

②把函数的图像往下
移2个单位,为渐近线
得的图像,
为渐近线
x
y
O

③把函数的图像
在下方部分往上翻,
得的图像,
为渐近线
易知时,与有两个交点.

◆ 例2（2015安徽文14）在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为 .
x
y
O
【秒解】（1）当时,函数与图像如下：

①画函数的图像,

x
y
O

②把函数的图像往右移
个单位得的图像

x
y
O

③把函数的图像下
移一个单位得的
图像,易知与有两交点.

x
y
O
x
y
O
x
y
O
（2）当时,函数与图像如下：



易知若直线与函数的图像只有一个交点,则

◆ 例3 （2015天津文8）已知函数,函数,则函数的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5

◆ 例5（2015湖北文13)函数的零点个数为 .
y
O
x
【秒解】函数的零点个数等价于方程的根的个数,即函数与的图像交点个数.于是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数与的图像有2个交点.















43、函数 Þ 数型结合法巧解带f的函数型不等式
◆ 例1 若函数是奇函数,且在上的增函数,又,则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】因为是奇函数,可做出在上的图像,又,异号,由图象可知不等式解集为,选 A.





◆ 例2（2017江苏11）已知函数,
其中e是自然对数的底数. 若,
则实数的取值范围是 .
【妙论】（1）一般地,解类似于、
的不等式,
①往往根据函数的单调性去掉“”,
若单调递增,,
若单调递减.
x
x








②如果是偶函数,先增后减

如果是偶函数,先减后增








（2） 一般地,解类似于、
的不等式,往往是奇函数,
利用奇函数的性质
,再利用去掉“”,若单调递增
,若单调递减
.
【秒解】由带有的不等式联
想是奇函数（易证）,∴
,再判断的单调性,观察可知为单调递增,
∴


◆ 例3（2016天津文6）已知是定义在上
的偶函数,且在区间上单调递增,若实数
满足,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【通解】由题意得:
,故选C
【秒解】由条件特殊化,并画出的草图：
由图可知的值越靠近0（或者说||的值越小）,
的值越大.
取,
不成立,排除AB,
取,,
y
O
不成立,排除C,选D.





◆ 例4（2015福建文15）若函数满足,且在单调递增,则实数的最小值等于 .
【秒解】关于对称,∴,,利用数形结合法
x


① 画函数的图像



x
②去除在轴左侧的
图像,把右侧图象左翻折,
得的图像
x

③把函数的图像右
移一个单位得的图
像点,易知
【答案】

◆ 例5 定义在R上的函数的图像关于直线对称,且在上单调递减,若,则实数的取舍范围是 .
【秒解】根据题意画出草图,由图可知自变量的值越接近,对应函数值越大,表示到2的距离,表示到2的距离,
∴

◆ 例6（2014课标I文15）设函数
则使得成立的的取值范围是________.
x
y
O
【秒解】


①作出的图像
x
y
O


②作出的图像



x
y
O

③去掉多余部分,合并
得的图像,∵,
∴时,

◆ 例7（2013年江苏卷11）已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为 .


O
4
【秒解】数形结合

①时的图像



O
4
-4


②奇函数关于原点中心
对称,作时的图像



O
4
-4



③作的图像


x
y
O
4
-4
(5,5)
(-5,-5)

④由易得交点
（5,5）,（-5,-5）
结合上图可知：不等
式的解集为
.

◆ 练1 若定义在上的函数是奇函数,且在上单调递增,又,则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.

◆ 练2 若定义在上的函数是奇函数,且在上单调递增,则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.














44、函数 Þ 函数的周期性的重要结论的运用
函数周期性的几个重要结论：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)有两条对称轴

(14)偶函数满足

(15)有两个对称中心

(16)奇函数满足

(17)函数有一条对称轴和一个对称中心

◆ 例1 （2009山东文12）已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】因为满足,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,
,,又因为在R上是奇函数,,得,
,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.

◆ 例2 (2009山东理10) 定义在R上的函数满足,则的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D.2
【秒解】
,由结论
,可知时的周期为,
,,选C.

◆ 例3 函数对于任意实数满足条件,若,则＝ .
【秒解】
,,,又,则,.

◆ 例4 奇函数对于任意实数满足条件,当时,若,则＝ .
【秒解】
,.

45、函数 Þ 利用特值法巧解函数图像与性质问题
◆ 例1（2011江西理3）若,则的定义域为 ( )
A.(,0) B.(,0]
C.(,) D.(0,)
【秒解】特值代入排除法:取,无意义,排除BC;取,无意义,排除D,选A.

◆ 例2（2015湖北文6）函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【秒解】特值代入排除法:取,无意义,排除B;取,无意义,排除D,
取,符合,排除A,选C.

◆ 例3（2017北京文5）已知函数,则( )
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是增函数
【秒解】特值法：取 是奇函数,且在R上是增函数,选B.

◆ 例4（2017山东理1）设函数的定义域,函数的定义域为,则( )
A.（1,2） B. C.（-2,1） D.[-2,1)
【秒解】逆代法：表示即在A中又在B中的元素的集合,取符合,排除ABC,选D.
◆ 例5（2011辽宁理6）若函数=为奇函数,则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【秒解】奇函数定义域为R,则
,选 C.

◆ 例6（2011辽宁文6）若函数=为奇函数,则( )
A. B. C. D.1
【秒解】特值法：奇函数满足,,,选 A.

◆ 例7 (2015全国II理5) 设函数,( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【秒解】,
,选C.

◆ 例8（2015山东理10）设函数,则满足的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】特值逆代法：分析四个选项,取,,,排除B.
取,成立,排除D,
取排除A,选 C.

◆ 例9（2016山东理10）若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A. B. C. D.
【秒解】排除法:与是两个形状一样的函数,不可能同时满足T性质,排除BC.
又结合的图像,可知不存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,排除D,选A.

◆ 例10 对于函数和,设
,若所有的,都有,则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】观察易知对,,
∴是的零点, 对于,观察四选项取代入可得,
∴的两个零点分别是和,而当时与的零点违背条件“若所有的,都有”,∴不可取,∴排除A,C,D,选B.

◆ 例11 （2014课标I文12）已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【秒解】特值法：取时,
,∴排除D.取时,,
∴有零点,排除AB,选C.



46、函数 Þ 通过解析式判断图像常用解题技巧
◆ 例1 (2012四川理5)函数
的图象可能是（ ）



A. B.


C. D.

【秒解】特值法：取时, 函数过,选D.

◆ 例2（2015浙江文5）函数（且）的图象可能为（ ）
x
y
x
y


A. B.

y
x
x
y


B. D.


【通解】由,
知函数是奇函数,所以排除AB;
取,则,故选D.

◆ 例3（2017浙江理7）函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )



【秒解】由原图可知,在略大于0处取得极大值,根据ABCD选项,可直接选D.

◆ 例3 (2017新课标I文科8）函数的部分图像大致为( )
A． B．
C． D．
【秒解】特值排除法：易知为奇函数,排除B;当时,,排除D; 当时,排除A,选C.

y
x
O
y
O
x
◆ 例4 函数的图象大致是（ ）


A. B.

y
O
x
O
y
x



C. D.


【秒解】先从奇偶性判断:为奇函数,
为偶函数为奇函数,排除C;
再利用特值法:令,排除D.
利用极限思想：在左侧小范围区域,当增大时,增大,而,故增大,排除B.

◆ 例5（2015全国文II卷11） 如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（ ）





A． B． C． D．
【秒解1】由题意可得,
,排除C,D.
当时,,可知时图像不是线段,排除A,选B.
【秒解2】如图取时,以A、B为焦点,PA+PB为长轴长画椭圆,则椭圆外线段PC、CN、PD、DM上任意点到A、B两点和均比大;
椭圆内线段MA、NB上任意点到A、B两点和均比小,只有A、B的图像符合,而显然P到A,B两点距离之和与x不是线性关系,排除A,选B






47、函数 Þ利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题

【结论】若为奇函数,为常数,,则有
（1）
（2）

◆ 例1(全国新课标) 函数的最大值与最小值的和分别是,则 .
【秒解】
,而,易知为奇函数,,
,.

◆ 例2 已知函数,求,的值,则下列答案不可能是 （ ）
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
【秒解】,则为奇函数,
,为偶数,选D.
◆ 例3 已知函数的最大值与最小值的和分别是,则 .
【秒解】
,而,易知为奇函数,,
,.

◆ 例4 已知函数,则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【秒解】取,则

为奇函数,,
,选D.

◆ 例5 已知函数
,则 （ ）
A.-5 B.-1 C.3 D.4
【秒解】根据换底公式,
可得,
,,
又在中令,且易知为奇函数,
,,,选 C.




48、函数 Þ 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题

◆ 例1（2016浙江文4）已知,且,若,则（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】取特值：,排除A、B、C,选D.

◆ 例2（2016全国I文8）若,则（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】取特值：,
,排除A;,排除C;
,排除D,选 B.

◆ 例3（2016全国I理8）若,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】特值法:取代入,排除ABC,选C.

◆ 例4（2017全国I理11）设为正数,且,则( )
A. B.
C. D.
【秒解】假设,则
,选D.

◆ 例5（2017山东理7）若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【秒解】特值法,取分别代入,排除ACD,选B.

◆ 例6 设,则,,的大小关系是 .
【秒解】特值法：令,则,
,,∴













49、函数 Þ 巧用耐克函数求解函数与不等式问题
耐克函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的耐克函数,是形如的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意和学习.耐克函数图像形似两个中心对称的对勾,故名对号函数、（对）勾函数,也叫均值函数.

x
y
O
A
B
（1）【基本】耐克函数的一般形式是：







定义域:
值 域：
最 值：时;
时.
奇偶性：奇函数,图像关于原点中心对称;
单调性：①在区间上单调递增;
②在区间上单调递减.

（2）【拓展1】（）
x
y
O
A
B








定义域:
值 域：
最 值：时;
时.
奇偶性：奇函数,图像关于原点中心对称;
单调性:①在区间上单调递增.;
②在区间上单调递减.

（3）【拓展2】（）







定义域:
值 域：
最 值：无
奇偶性：奇函数,图像关于原点中心对称;
单调性：在区间上单调递增.

◆ 例1 已知函数,则的值域为 .
【秒解】为耐克函数,如图所示：
x
y
O
A
B







在上单调递减,在上单调递增.,
的值域为.

◆ 例2 已知函数,则的值域为 .
【秒解】定义域为,.
t
y
O
A
B
令,则,由耐克函数图像可知：的值域为







◆ 例3 已知函数,则的值域为 .
【秒解】

令
x
y
O
A
B






由图可知
则
则的值域为.

◆ 例4 函数的最大值为 ,最大值为 .
【秒解】
令


x
y
O
A
B





由图可知,


◆ 例5 在上的值域为 .
【秒解】由已知得
令其分母为,它在上是减函数,且在上是减函数,而则,因此,则,则,综合得：.

◆ 练1 函数的最小值为 .
【答案】,答案.

◆ 练2 函数的最小值为 .
【答案】.

◆ 练3 若关于的方程在区间上有实数根,则实数的取值范围是 .
【答案】提示：
◆ 练4 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】提示：

◆ 练5 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】提示：

◆ 练6 已知不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】

















50、函数 Þ 利用对数函数绝对值性质速解范围问题

【结论】已知,若且,则.
x
y
O
证明：x
y
O
当时,如图易
知,,
,

x
y
O
,
同理当时成立.
x
y
O
x
y
O

◆ 例1 已知函数,若且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由结论易知,,x
y
O
,
,令
为双勾函数,图像如下：在
上单调递减,,选D.


O
A
B







◆ 例2 已知函数,若互不相等,且,则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.

【秒解】如图,由结论
可知,
,
,选C.
51、函数 Þ 巧用原型函数解决抽象函数问题

抽象函数问题是学习中的一个难点,也是考试的热点.所谓抽象函数,是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质,并用一种符号表示的函数.有的抽象函数可以联想到已学过的具有相同或相似结构的基本原型函数,并由原型函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的性质而使问题获解,下面给出高中阶段常用的原型函数：
抽象函数性质
初等函数模型





或



或



或



或





◆ 例1 若奇函数,满足,
,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由联想到原型函数,又,,
,则,选D.
◆ 例 2 若奇函数对于任意的实数都有,且当时,,
,则在区间上的值域为 .
【秒解】由联想到原型函数,又,当时,,
,满足题目条件,则在区间上的值域为.

◆ 例 3 若奇函数对于任意的实数都有,,且当时,
,则时,取值范围为 .
【秒解】由联想到原型函数,当时满足当时,则在时,有,取值范围为

◆ 例 4 若函数是定义在上的增函数,且对于任意的实数都有,且,则的解集为 .
【秒解】由联想到原型函数,又,,,则
,原不等式解集为.

◆ 例 5 若函数满足且,,则函数的周期为 .
【秒解】由联想到原型函数,且满足 ,则猜测的周期为,证明如下：取分别代入中的,则有.

例 6 若函数满足且,
则函数 .
【秒解】由的原型函数为,得联想到原型函数
,则猜测的周期为（证明略）,
则有
.








52、函数 Þ 构造特殊函数巧解函数问题

◆ 例1 (2017新课标I理科5）函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【秒解】特殊函数法：由题意取且满足条件,则,选D.

◆ 例2 如果函数对任意实数t都有,那么的大小关系是 .
【秒解】由于,故知的对称轴是,可取特殊函数,即可求得,

◆ 例3（2014课标I文5）设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
【秒解】令,=
为奇;=为偶;=为奇;=为偶,选C.

◆ 例4 如果函数对任意实数都有,则的大小关系是 .
【秒解】特殊函数法:对称轴是,可取特殊函数,即可得.∴.

◆ 例5（2016全国II文12）已知函数,满足,若函数与图像的交点为则（ ）
A.0 B. C. D.
【秒解】关于直线对称,
不妨令,画出与的图像,则,两函数的交点为、,
＋=2=,选B.
x
y

y
















53、导数 Þ 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题

常见几种构造函数类型
（1）关系为“+”型
①
②
③
④

（2）关系为“-”型
①
②
③

（注意对的符合讨论）
④
（3）抽象函数特殊化常见模型
① 若函数满足且,那么可设抽象函数为;
② 若函数满足且,那么可设抽象函数为;
③ 若函数满足且,那么可设抽象函数为;
④ 若函数满足,那么可设抽象函数为;
⑤若函数满足,那么可设抽象函数为;
⑥若函数为奇函数,那么可设抽象函数为均可;
⑦若函数为偶函数,那么可设抽象函数为均可;

◆ 例1 定义在R上的函数满足:,
,则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】由条件联想到特殊化函数,取满足条件,则
,选A.

◆ 例2 定义在上的函数满足：
,且,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由条件联想到特殊化函数,取满足条件,则,又定义域为,选A.

◆ 例3 定义在R上的函数满足：
对于任意,,则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】由条件联想到特殊化函数满足题目中所有条件,则
,选A.

◆ 例4 定义在R上的函数满足
对于任意,,则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由条件联想到特殊函数满足题目中所有条件,则
,选A.

◆ 例5 定义在R上的函数满足,对于任意,,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由条件联想到特殊化函数则与矛盾,所以可构
又满足题目中所有条件,,
选A.

◆ 例6 定义域为,为
的导函数,且满足,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【秒解1】
在上单调递减,不妨令,则满足条件要求,
,选D.
【秒解2】如果由条件联想到特殊化函数满足题目中所有条件,则,选D.

◆ 例7 定义在上的可导函数的导函数为,且恒有,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】构造,选D.

◆ 例8 为定义在R上的可导函数,且对任意均有,则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】构造,选C.

◆ 例9 已知函数是偶函数,且当时满足,则（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】,
构造函数
时单调递增,又是偶函数,所以关于对称,结合图像,选A.
◆ 例10 已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【秒解】
,
令,则是“双勾函数”,根据双勾函数图像可知在上取,.

◆ 例11 若函数是的导函数,且,当时,下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】令,且满足,
,选C.

◆ 例12 定义在上的可导函数的导函数为,且,则（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】构造,

,
所以在上单调递增,所以
,选B.

◆ 练1 定义域为R的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.







54、导数 Þ 极端估算法速解与导数有关选择题

◆ 例1（2011全国新课标理9）由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4 C. D.6
【通解】用定积分求解,选C
【秒解】精准作图估算法：曲线过点,精准画图,与的交点为,则,由图可知所求面积比略大,比小,选 C.






◆ 例2（2016四川文10）设直线分别是函数,图象上点处的切线,
垂直相交于点,且分别与轴相交于点则则的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,＋∞) D.(1,＋∞)
【秒解】
在处切线斜率为;
在处切线斜率为,此时两切线垂直,
=,但并不在定义范围内,属于极端情形,不能取1,但无限接近1;
又易知不可能,选A.
x
y
O





【通解】设（不妨设）,则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为,切线的方程为,即
.分别令得又与的交点为
,故选A.

◆ 例3 (2010辽宁理10)已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是( )
A.[0,) B. C. D.
【秒解】极端情况假设法：当趋向于时,趋向于,此时的分母无限大,无限趋向于0.而且单调递减,此时切线的倾斜角趋向于,选 D.

◆ 例4 （2015福建文12）“对任意,”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【结论】函数在处的切线
y
O
x
方程为,且,且时,理由如下：,.如图所示：



【秒解】,
,,,参考上面的结论易知, 时的图象始终在的下方,恒成立,即对任意,,而,选B.
55、导数 Þ 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题

◆ 例1 (2017新课标III理11) 已知函数
有唯一零点,则
A. B. C. D.1
【秒解】题目条件为零点问题,则研究对象为原函数而不是导函数,对相对应方程参变分离：（称为母函数）,观察四个选项中没有出现,所以为使母函数在取后取值不出现的值,则只有时（否则取其他值时,都无法使中的消掉）,选C.

◆ 例2 已知函数有且只有一个零点,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】题目条件为零点问题,则研究对象为原函数而不是导函数,对相对应方程参变分离：
（称为母函数）,观察四个选项中没有出现而出现,所以为使母函数在取后取值没有出现而出现,则有两种可能：
①时②时（结果中无,但是与四个选项均不符）,选D.

◆ 例3 已知,若满足的有四个,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】题目条件相当零点问题,则研究对象为原函数而不是导函数,对相对应方程参变分离：（称为母函数）,观察四个选项中出现,而母函数在取后取值恰为,又（均值不等式）,选C.

◆ 例4 已知函数与的图像有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】题目条件相当零点问题,则研究对象为原函数而不是导函数,对相对应方程参变分离：（称为母函数）,为使计算结果出现四个选项中的、或1、－3而无,则取：
①时,母函数分母为0,无意义.
②时,,可知选项中应试有1,排除AC.
③时,,综上可推测无法取到,选B.

◆ 例5 若函数其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】题目条件相当零点问题,则研究对象为原函数,对相对应方程参变分离：（称为母函数）,为使计算结果出现四个选项中的和,则取：①时,,无意义.
②时,,可知选项中应试有,排除AB.
②因为选项中区间另一端不带,则取,
,可知选项中应试有,选D.

◆ 例6(2016全国卷I) 若函数
单调递增,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】题目条件“单调递增”说明研究对象为导函数,,对相对应方程参变分离：（称为母函数）,考虑到选项中出现的都是有理数,对取特殊值：
①时,;
②时,分母为0,无意义;
②时,;由①②可知,选C.

◆ 例7 若函数若存在两个极值点,且极小值点大于极大值点,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】题目条件“两个极值点”说明研究对象为导函数,,对相对应方程参变分离：（称为母函数）：
①考虑选项中出现,取时,,排除BD;
②法一：为使结果出现常数,取时,,选A;法二：AC差别在于C含0,令,,只有一个解,只存在一个极值点,与题目条件矛盾
排除C,选A.

◆ 练1 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A







56、导数 Þ 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用

（1）隐函数概念
我们知道,用解析法表示函数可以有不同的形式,如果函数y用含自变量x的算式表示,例如 等,这样的函数叫显函数
一般地,如果方程中,当令x在某一区间内任取一值时,总有满足此方程的y值存在,我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫隐函数的显化,如从方程中可解出显函数;从方程中可解出2个显函数：① (表示单位圆的上半圆周),② (表示单位圆的下半圆周).有些隐函数不能表示为显函数的形式,如方程就解不出的形式.
（2）隐函数求导法则
当是由方程所确定的隐函数,并且对可导(即存在),在不解出的情况下, 求导数的方法是把看成的函数,方程看成关于的恒等式,在等式两端同时对求导(左端要用到复合函数的求导法则),然后解出即可.

◆ 例1 求曲线在点（1,1）处的切线方程.
【秒解】是隐函数,把看成的函数,则表示为,利用复合函数求导法则,对式子两边求导得：

,
又曲线过点（1,1）,所以
切线斜率切线方程为.
熟练后可如下表达：

切线斜率
切线方程为.

◆ 例2 求在点（1,1）处的切线方程.
【秒解】本题可以按常规方法用型导数来求解,也可以用隐函数法来解：

切线斜率
切线方程为.

◆ 例3 设是椭圆上一点,求过点P的椭圆C的切线方程.
【秒解】利用隐函数求导的方法：


切线方程为
切线方程为
用此法还可以快速求过圆、双曲线、抛物线上一点的切线方程.

◆ 例4 已知抛物线,是其图像上一点,则过点且与抛物线相切的切线方程为 .
【秒解】利用隐函数求导的方法：对隐函数两边同时求导,得,代入得切线的斜率,从而切线方程为即：

◆ 例5 已知中心在坐标原点,对称轴与坐标轴平行的椭圆方程为,是椭圆上的一点,则经过且与椭圆相切的直线与坐标轴所围成的三角形面积为 .
【秒解】在两边对直接求导得代入得切线斜率,从而得切线议程
令,,从而所求三角形的面积为.





57、三角函数 Þ 利用口诀巧记诱导公式及其运用

常用的诱导公式有以下几组：
(1)
以上
(2)

(3)

(4)

(5)

(6)
　 　
(7)

诱导公式记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限。
上面这些诱导公式可以概括为：
对于的三角函数值,
(1)奇变偶不变
　①当是偶数时,得到的同名函数值,即函数名不改变;
　②当是奇数时,得到相应的余函数值,即

(2)符号看象限:然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。　
◆ 例1 .
【秒解】





◆ 例2 .
【秒解】===
=
◆ 例3（2013广东文4）已知,那么（ ）
A. B. C. D.
【秒解】利用诱导公式化简已知条件即可.奇变偶不变,符号看象限.
,故,故选C.







58、三角函数 Þ 利用结论速求三角函数周期

【结论】口诀：和差不变,积商减半
（1）形如:,;
（2）形如:或,
.
◆ 例1（2014山东文12)函数的最小正周期为　 　.
【秒解】观察可以变形为形式（不必计算具体结果）;根据结论“和差不变,积商减半” ,用此法优势在于不必化简,直接得出结果.

◆ 例2（2015上海文1）函数的最小正周期为 .
【秒解】根据结论：和差不变,积商减半,可快速得出的周期为,而中的1和－3不会影响函数的周期,的周期为.

◆ 例3（2016山东理7）函数
的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,
的周期均为,则的周期为.

◆ 例4（2015浙江理11）函数的最小正周期是 .
【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,、周期都是,则
周期为（1不影响函数的周期）.

◆ 例5 函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【秒解】根据口诀,选B.
59、三角函数 Þ 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题
◆ 例1 函数的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】验证法： 本题中把选项逐一代入即可,当时,,可见是对称轴,又答案唯一,选A.
◆ 例2（2015全国文II8）函数的部分图像如图,则的单调递减区间为（ ）
x
y
O




A. B.
C. D.
【秒解】如图易知,在附近的单调递减区间为,又的周期,
x
y
O
∴的单调递减区间.





◆ 例3（2015天津文14)已知函数 若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 .
【秒解】,
在的右侧附近区域单调递增的大致图像如下：
画出对称轴与,满足在区间单调递增,∴,∴.
x
y
O






◆ 例4（2014安徽文7）将函数的图像向右平移个单位,所得图像关于轴对称,则的最小正值是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由辅助角公式

①;②周期为;
③在的右侧附近区域单调递增的大致图像如下向右平移=个单位后图像关于轴对称
x
y
O
AO
B
,选C.





◆ 例5（2016全国II文11)函数的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【秒解】,
在同一个坐标第中画出与的图像,
y
O
x
易知在处取得最大值为5,选B.








◆ 例6 函数的部分图像如图所示,则有( )
A. B.
y
x
C. D.






y
x
【秒解】由图可知,函数的周期比略大,所以比略小,排除CD;取,当时,,当时,与图像不符,排除A,选B.






◆ 例7（2014天津文8）已知函数,,在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为（　　）
A.　　B.　　C.　　 D.
【秒解】由辅助角公式
xx
的最大值为=2如图画出的大致图像(不必画出轴位置)、直线的图像的最小正周期为比大,比小,选C.





◆例8 设函数,若,且,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
x
y
O
A
B
【秒解】由可知,又易知在右侧小范围区域,当增大时,增大,可快速判断的大致图像如下：取与轴交点和,满足,此时满足取最小值为,而条件要求,采用极限思想令且无限逼近0,则.





◆ 例9 若曲线:上一点处的切线与轴,轴分别交于两点,则当（为原点）取得最小值时,的值为（ ）
x
y
B
A(P)
O
A. B. C. D.







【秒解】本题本意是用导数的几何意义与均值不等式知识来解决最值问题,但是解题过程比较复杂.如图：结合图像,采用观察法易知,当点在处时,OA取最小值,OB取最大值,取得最小值,=

◆10（2015湖南文15）已知,在函数与的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则 = .
y
O
x
【秒解】类比与的图像,分析与的图像,




y
O
x
A、B的纵坐标分别为,易知CD =




A、B的纵坐标分别为,AC=,又AB=
由勾股定理CB=2,而CB =,,∴

◆ 例11(2014年福建文7)将函数的图象向左平移个单位,得到函数的函数图象,则下列说法正确的是 （ ）
A.是奇函数 B.的周期为
x
y
O
C.的图象关于对称 D.的图象关于对称
【秒解】
①先画
x
y
O
②的图象向左平移
个单位,相当于把轴右移

x
y
O
③得出平移后图像,排除ABC,
选D


◆ 例12（2015上海文14）已知函数.若存在,,,满足,且
,则的最小值为 .
【秒解】结合图像易知欲使取得最小值,尽可能多的让取得最高点,
考虑,
,按下图取值满足条件,所以的最小值为8.
x
y
O









60、三角函数 Þ 海伦公式及其推论在求面积中的妙用

（1）海伦公式：在中,三边长分别为,且,则

◆ 例1 求三边分别为2、3、4的三角形的面积
【秒解】利用海伦公式:,



◆ 例2 求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值
【秒解】设三角形三边长分别为,,
内切圆半径为,由海伦公式和知
,
所以三角形面积的最小值是其中等号成立当且仅当时成立.

（2）海伦公式推论一：在中,三边长分别为,令,则

◆ 例3 三角形的三边分别为,求三角形的面积.
【秒解】海伦公式适用于边长为整数的三角形,而推论一适用于三边长中带有根号的三角形,

=

（3）海伦公式推论二（圆的内接四边形的面积公式）：
在任意内接于圆的四边形ABCD中,设四条边长分别为,且,
则

◆ 例4 已知圆内接四边形的边长分别为,,,求四边形的面积.
【秒解】利用海伦公式:,

.
























61、三角函数 Þ 借助直角三角形巧妙转换弦与切

【结论】对于、、,知道其中一个值及所在象限,可以用以下方法求其他两个值：
如：,为第二象限角,求、.
作直角三角形如图,设对边为1,邻直角边为3,则斜边为

∵为第二象限角,∴、.
◆ 例1（2015福建文6）若,且为第四象限角,则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【秒解】∵且由勾股定
理,作出三角长分别为5,12,13的直
角三角形如图：∵为第四象限角,
∴.选D.
◆ 例2 (2012辽宁文7)已知
则=( )
 A.-1 B. C. D.1
【秒解】由 可猜测,,,选A.
◆ 例3（2016全国III文6）若,则
（ ）
A. B. C. D.
【秒解】作直角三角形如图:
虽然由于所在象限未知,
但不影响计算结果:
,选D.

◆ 例4（2016全国III理5）若 ,则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【秒解】由,联想到边长为3、4、5的直角三角形,取其中一种情况,可得,选A.

◆ 例5(2017新课标I文科15）已知,
,则=__________．
【通解】由得,又,所以,因为
所以,因为,
所以
【秒解】作直角三角形如图,
∵,∴,

∴=
62、三角函数 Þ 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用

◆ 例1（2014课标I文2）若,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】特值法取,则,但,排除AB;排除D,选C.

◆ 例2 设,且,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】直接运算计算量偏大,可以观察数字用特殊方法去做,比如角α在第一,二象限,可确定正弦值一定为正,通过其正弦与余弦之和的值,可以猜到正弦为,余弦为,再根据同角三角函数关系式正切值就为,代入表达式即可算出值为C选项.

◆ 例3 如图,在边长为2的正三角形中,为的中点,点分别在边上,若,,则DDEF面积的最小值为 .
A
B
D
C
E
F





【结论】如图正三角的边长为,则三角形高,.



【秒解】三角形ABC为正三角形, 因为是求面积最值问题,而三角形条件有对称性且,故猜测当F,E分别为AB,AC中点时, DDEF面积的最小值为.

◆ 例4 的内角的对边分别为,若,则 .
【秒解】 如图,过点作于点 ,不妨设,
由题意得  则即,所以









63、三角函数 Þ 齐次式中弦切互化技巧

三角函数式的齐次式是指一个式子的分子和分
母的次数相同,
如：、
（1）式子为分式时,看分子和分母的次数是否相同；
（2）在三角函数式中,、
、均可看
作是关于的2次齐次式。

◆ 例1 若为锐角,且,则（ ).
【秒解】


◆ 例2 （2016新课标III理5）若 ,
则( )
A. B. C.1 D.
【秒解】
,选A.

◆ 例3 （2004湖北理17）已知
则 .
【秒解】由已知条件可知
所以原式可化为
（分子分母同除以）

















64、三角函数 Þ 利用射影定理秒解解三角形问题

三角形射影定理：在中,内角A、B、C所对的边长分别为,则有：



这个定理可以利用向量、余弦定理与正弦定理分别证明,下面用余弦定理证明：
由余弦定理,得

从而有,
同理可得,

◆ 例1（2014年广东理12）在中,角所对应的边分别为,已知,则 .
【秒解】由射影定理及条件.

◆ 例2（2013辽宁理6）在中,角所对的边长分别为,
且,则( )
A. B. C. D.
【秒解】

由射影定理
.根据大边对大角原理不能是钝角,

◆ 例3（2013陕西理7）设的内角所对的边分别为,若, 则的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【秒解】由射影定理及条件,选B.

◆ 例4（2008山东理15）已知为的三个角的对边,向量,.若,且,则角B＝ .
【秒解】
由射影定理及条件,.

◆ 例5（2008湖北理12）在中,三个角的对边边长分别为,则的值为 .
【秒解】
.

◆ 练1（2008浙江理13）在中,角
所对的边分别为,,
则 .
【答案】
65、三角函数 Þ 三角形角平分线定理的妙用

【结论】在中,
(或).


证明：用正弦定理证明（略）

◆ 例1 (2011全国II理15)已知、分别为双曲线:的左、右焦点,点,点的坐标为(2,0),为的平分线，则 .
【秒解】为的平分线,
∴ ∴
x
y
O
又点,由双曲线的第一定义得
.





◆ 例2 （2015全国II理17改编）中,是上的点,平分,面积是面积的2倍．则= .
【秒解】面积是面积的2倍,由角平分线定理,由正弦定理可得：.


66、三角函数 Þ 三角形角平分线长公式的妙用

【结论】在中,,则(即角平分线长）.





◆ 例1 （2015新课标2理改编）中,是上的点,平分,是面积的2倍,=1,=,则的长为 .
【秒解】是面积的2倍设,由角平分线定理可知,由角平分线长公式得：.






◆ 例2 在中,在上,平分,若,,,则 .
【秒解】在中,
,
则BC=；
因为AD平分∠BAC,则,
所以BD=,DC=；


67、三角函数 Þ 三角形中线定理及其推论的妙用

【结论1】（中线定理,三角形中线长公式）设的边,边上的中线,则

证明：设,则在和中运用余弦定理得
相加得即.



【推论1】三角形中线长公式2：为的中线,将余弦定理代入

【推论2】如图延长至使,可连成一
个平行四边形,
,由此不难推导得到中线定理的一个等价定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和.





◆ 例1（2013重庆理10）在平面上,,
,.若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】依题意,是矩
形,如图,作点关于直线
的对称点,则是菱
形,是一般的平行四边
形.于是
,则.其中,则,选D.

◆ 例2（2012年江西理）在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段的中点,则（ ）
A.2 B. 4 C. 5 D.10
【秒解1】如图,
分别为
底边上的中线,分别三次使
用中线定理可得选项D.
【秒解2】把特殊化为等腰直角三角形再计算,可易得解.

◆ 例3（2013广东文15）如图,在矩形中,
,,垂足为,则 ．



【秒解】如图,在对角线上取点使,运用推论2,中的射影定理,可得.


68、三角函数 Þ 利用测量法估算法速解三角形选择题

◆ 例1（2016全国III理8）在中,
,BC边上的高等于,则( )
A. B. C. D.
【秒解】设,则边上的高为1,作出如图三角形,符合条件.量角器测量得是比直角略大的钝角,的值为负,且较接近于0,排除D选C.





◆ 例2 中,若,,,
则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【秒解】,根据条件作图,可测量得AC最接近1,选A.




◆ 例3 在中,角所对的边长分别为,若,,则（ ）
A. B. C. D.不确定
【秒解】取,则,根据条件作图,可测量,选A.





◆ 例4 边长分别为的三角形的最大角与最小角的和为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】精准做图,以长为8的线段为底边,长为5,7线段画圆弧相交,形成三角形,量角器量得三个角分别约为,,,所以三角形的最大角与最小角的和为,选B.
















69、三角函数 Þ 利用公式法速解三角函数平移问题

【结论1】假设平移个单位后得到（向左时为正,向右时为负）,则,即.

【结论2】对于平移后得到或平移后得到,先由诱导公式,把,再用结论1.

【结论3】向左平移后得到,证明如下：


◆ 例1 （2010全国II理7）为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【秒解】
则
(分子为末项减初项,分母为的系数,结果为正代表向左平移,结果为负代表向右平移)所以,结果为向右平移个单位,选B .

◆ 例2（2012安徽文9）要得到函数的图象,只要将函数的图象 （　　）
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【秒解】
则(分子为末项减初项,分母为的系数,结果为正代表向左平移,结果为负代表向右平移)所以,结果为向左平移个单位,选C .

◆ 例3 要得到函数的图象,只要将函数的图象 （　　）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【秒解】
则
(分子为末项减初项,分母为的系数,结果为正代表向左平移,结果为负代表向右平移)所以,结果为向左平移个单位,选A .



70、数列 Þ 利用公式法速解等差数列与

【结论1】等差数列通项公式为一次函数,不妨设（其中的系数为公差,）

【结论2】等差数列前项和公式,将代入得：（为的二次函数且无常数项）

◆ 例1 在等差数列中,,则
, .
【秒解】
,由可知,,参照,,.


◆ 例2 在等差数列中,,则
, .
【秒解】,由可知,,参照,,.
.

◆ 例3 （2007北京理10）若数列的前项和,则的通项公式为 ．
【秒解】由可知,,
的系数－的系数＝,
.



71、数列 Þ 利用列举法速解数列最值型压轴题

◆ 例1 （2007北京理10）若数列的前项和,则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
【秒解】利用公式和,可知,列举法：,,,,,
最小的项是第3项．

◆ 例2（2010辽宁理16）已知数列满足则的最小值为 .
【秒解】列举法：,

列举：,,,,,,,,,通过估算对比,最小值为.

◆ 例3 （2013新课标II理16）等差数列的前项和为,已知,,则的最小值为 .
【秒解】由可知为的二次函数且无常数项,不妨令,将,代入上式
,
从开始列举:
,,,,,,……,则的最小值为.


72、数列 Þ 用特殊化法巧解单条件等差数列问题

◆ 例1 已知等差数列的前项和为,若,则的值为（ ）
A.10 B.20 C.25 D.30
【秒解】把特殊化为常数列,每项为,
17=170=10=3=30

◆ 例2 已知是等差数列的前项和,若,则( )
A. B.5 C.7 D.9
【秒解】把特殊化为常数列,每项为,


◆ 例3 设为等差数列的前项和,且,则( )
A.55 B.66 C.110 D.132
【秒解】把特殊化为常数列,每项为, .

◆ 例4 如果等差数列中,,那么( ) 
A.14 B.21 C.28 D.35
【秒解】把特殊化为常数列,每项为, .

◆ 例5 在等差数列中,,表示数列的前项和,则( )
 A.18 B.99 C.198 D.297
【秒解】把特殊化为常数列,每项为,


◆ 例6（2015广东理12）在等差数列中,若,则_______．
【秒解】由,把特殊
化为常数列,每项为5,则10.

◆ 例7 设是等差数列的前项和且满足：且,那么（ ）
A.1 B.9 C.10 D.55
【秒解】把特殊化为常数列,每项为1,满足已知条件,选A.

◆ 例8 若,两个等差数列与的公差分别为,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】令数列为1、2、3、4、5,
,则数列为,
,选C.

◆ 例9 等差数列的前项和为30,前项和为100则它的前项和为( )
A.130 B.170 C.210 D.260
【秒解】取,依题意=30, =100, 则,又是等差数列,则=110,=210,选C.

◆ 例10 (2012辽宁理6)在等差数列中,已知,则该数列前11项和( )
A.58 B.88 C.143 D.176
【秒解】采用特值法取,则为公差为0,每一项都等于8的常数列,则,选B.

◆ 例11 (2009辽宁理6）设等比数列的前n项和为,若=3 ,则 = ( )
A.2 B. C. D.3
【秒解】由等比数列性质可知,,
为等比数列,采用特值法,令,则
,,∴.
73、数列 Þ 等差数列性质及其推论的妙用

【结论】在等差数列中,

【推论1】在等差数列中,

【推论2】在等差数列中,

注意：等差数列；下标之和相等；项数相同

◆ 例1 已知等差数列的前项和,若则的公差为 .
【秒解】
,又两式相减得.

◆ 例2 已知等差数列中,
则 .
【秒解】由
可得：
又所以,又则
◆ 例3 （2012福建2）已知等差数列中,则的公差为 .
【秒解】,
.

◆ 例4 （2013广东12）已知等差数列中,则 .
【秒解】由推论可知


74、数列 Þ 观察法速解一类数列求和选择题

◆ 例1（2016全国II理3）已知等差数列前9项的和为27,,则( )
A.100 B.99 C.98 D.97
【秒解】观察问题与选项,的下标与各选项有明显关系,又,可猜测98,即,
又由可得前9项和为27,符合题目条件,所以98,选C.
◆ 例2 已知数列的通项公式,前项和,则( )
A.2016 B.-2016 C.1008 D.-1008
【秒解】观察问题与选项,的下标与各选项有明显关系,A对应;B对应 ;C对应 ;D对应,又
对应选 C.
◆ 例3 已知数列的通项公式,前项和,则( )
A. B. C. D.
【秒解】观察问题与选项,的下标与各选项有明显关系,A对应;B对应 ;C对应 ;D对应,又
对应选 C.
◆ 例4 已知数列的前项和,,设,则前2017项和为( )
A. B. C. D.
【秒解】前项和的下标与各选项有明显关系,A对应;B对应 ;C对应 ;D对应,又
对应，选D.
◆ 例5 已知数列的满足,则（ ）
A.1 B. C. D.
【秒解】本题的选项中与2009无明显关系,不能采用上述方法,一般情况下说明该数列是周期数列,此时可以通过列举法找到周期：

观察发现,周期为3,所以.
◆ 练1 已知数列的满足,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
◆ 练2 已知数列的前项和,若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.

75、数列 Þ 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式

◆ 例1 已知正项数列的前项和满足：,则数列的通项公式= .
【秒解】此题用因式分解法可以解决,但是此类求通项公式的问题,如果在没有思想的情况下,可以考虑用不完全归纳法,即先列出一些项,再找规律猜测通项公式：由可得：,可得.

◆ 例2（2015全国新课标）设是数列的前n项和,且,,则有= .
【秒解】由,,可列举出,可得.

◆ 例3（2015安徽理14）已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于 .
【秒解】猜测法：由条件,数字不大且是整数,可以根据题意,猜想1,2,4,8,16……这个等比数列且符合条件,

◆ 例4 设是等差数列的前项和, ,,则=（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【秒解】猜测法：由条件,,数字不大且是整数,可以根据题意,猜想到2,4,6,8……这个等差数列且符合条件,=12,选C.

◆ 例5 数列为等差数列,,,则（ ）
A.40 B.42 C.43 D.45
【秒解】猜测法：由条件,,数字不大且是整数,可以根据题意,猜想到2,5,8,11,14,
17……这个等差数列且符合条件,42,选B.

◆ 例6（2015全国II理4）等比数列满足,,则（ ）
A.21 B.42 C.63 D.84
【秒解】猜测法：由条件,,数字不大且是整数,题目中都是研究奇数项,则猜想到数列 3,□,6,□,12,□,24,……这个等比数列且符合条件,,选B.













76、数列 Þ 代入法速解数列选项含型选择题

◆ 例 1 数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】代入法：,代入四个选项,只有B符合,选B.

◆ 例 2 已知数列的前项和为,,
,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】代入法：①取,,代入四个选项,只有B符合,选B.



















77、数列 Þ 一些数列选择填空题的解题技巧

◆ 例1 已知等差数列满足,则有（ ）
A. B. C. D.
【秒解】特殊化法：构造特殊数列,使数列的各项为0,符合条件,选C.

◆ 例2（2015全国II文5）设是等差数列的前项和,若,则（ ）
A． B． C． D．
【秒解】范围估算法：等差数列,又显然有,所以,选 A.

◆ 例3（2013年全国II理7）设等差数列的前项和为,,,,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【秒解】在等差数列中,
也是等差数列是等差数列
,选 C.

◆ 例4 设是等差数列的前项和,则（ ）
A.2016 B.-2016 C.1008 D.-1008
【秒解】在等差数列中也是等差数列首项为,公差为1,选 B.

◆ 例5 (2017新课标I理科）记为等差数列的前项和．若,,则的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【秒解】等差数列中,若,则.又因为,即,则,即,解得,故选C.

◆ 例6(2014课标II文16） 数列满足,则________.
【结论】函数满足
的周期
【秒解】数列是一种特殊的函数,相当于周期
,























78、统计与概率 Þ 估算法速解几何概型选择题

◆ 例1 (2017新课标I理）如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )




A． B． C． D．
【秒解】由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率,故选B.

◆ 例2 如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角.若在该大正方形区域内随机地取一点,则该点落在中间小正方形内的概率是 ( )



A
A. B. C. D.
【秒解】直接用尺子量,,小正方形边长比1小,则该点落在中间小正方形内的概率小于,选A.

◆ 例3 点在边长为1的正方形内运动,则动点到顶点的距离的概率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如图满足的点落在阴影部分,

连接则易知阴影部分面积占正方形面积一半以上,则,排除ABD,选C.

◆ 例4 如图,在圆心角为直角的扇形中,分别以为直径作两个半圆,在扇形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）



A. B. C. D.
【秒解】如图将区域1、2分别移至区域3、4,设扇形半径为1,易知所求概率,选A.



◆ 例4 在区域内任取一点,则点落在单位圆内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】区域为内部（含边界）
由图可估算,阴影部分面积占总的面积的一半以上,且接近于1,选D.






79、直线与圆 Þ 利用相交弦定理巧解有关圆的问题

【结论】相交弦定理：若圆内任意弦、弦交于点,则（相交弦定理）




◆ 例1 如图,已知是圆的两条弦,
,,则圆的半径为 .




【秒解】设的交点为,由已知可得为中点,则在中,,设圆的半径为,延长交圆于点,由圆的相交弦定理可知,
即




◆ 例2 如图,已知是圆的两条弦,且相交于点,,则 .




【秒解】设,则,由圆的相交弦定理得或（不合题意,舍去）,则.

◆ 例3 设二次函数的图像与坐标轴有三个交点,则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为 .
【秒解】如图,由于函数与坐标轴的三个交点分别为,由相交弦定理得,所以此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是.





◆ 例4（2015天津文6）如图,在圆中,是弦的三等分点,弦,分别经过点,若,,,则线段的长为（ ）



A. B.3 C. D.
【秒解】利用相交弦定理,设,如图可知
,再次利用相交弦定理,





◆ 例5（2016天津文13）如图,是圆的直径,弦
与相交于点,,则
线段的长为 .




【秒解】如图,作DGAB交圆于点F,∵BD=ED,
∴EG=GB,根据相交弦定理,
,
再次用相交弦定理,
.

80、直线与圆 Þ 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题

◆ 例1（2014安徽文6）过点的直线与圆有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
x
y
O
【秒解】带上圆规和刻度尺,精确作图,过点作出圆的两条切线,结合答案可知两条切线的斜率分别是0和,而不是,且直线为这两条切线时均与圆有交点,选D.




◆ 例2（2005北京卷）从原点向圆作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A. B. C. D.
【秒解】,
精准作图：




圆周长,由图可知劣弧长比周长的一半略小,比大,选B.

◆ 例3（2012福建文）直线与圆相交于两点,则弦的长等于（ ）
A. B. C. D.1
【秒解】精准作图,如图：易知
又,只有选项B,符合,选B.




◆ 例4（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）.
A.或 B.或
C.或 D.或
【秒解】首先排除的斜率,精准作图,如图：圆与轴交点为,,两切线与轴交点分别为,易知
,所以切线的纵截距的绝对值大于,排除B,选A.







◆ 例5(2005年全国卷I)已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,其斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】,精准作图：并在圆第一象限取点,使得轴,则,而直线的斜率比略大,选C.





◆ 例6 (2014课标II文12）设点,若在圆上存在点,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
x
y
O

【秒解】①作出圆与直线
的图像,M在上.


x
y
O
②如图位置轴时,
,
此时

x
y
O

③当点M从往两边运
动时逐渐减小,
∴,选A.
81、直线与圆 Þ 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题

已知两圆的一般方程为：,
两式相减得：L:
若将两圆的方程作差所得的直线的几何意义：
（1）在两圆相交时,直线为两圆的相交弦所在的直线
简证：L的方程是两圆联立得到的方程,所以两圆的两个交点都在L上,而两点已经可以确定一条直线,故L即为公共弦直线的方程。



（2）在两圆相切时（内切或外切）,直线为两圆的公切线



（3）在两圆相离时,若半径不相等,作差所得的方程为到两相离圆的切线长相等的点击的集合,这样若两圆半径相等,作差所得的直线为两圆的对称轴



◆ 例1 两圆与
的相交弦所在直线方程为 .
【秒解】
相交,相交弦所在直线为,即：
◆ 例2 两圆, 的对称轴为 .
【秒解】
半径相等且两圆相离,对称轴
,即：.
82、圆锥曲线 Þ 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题

【命题】平面内到两定点的距离之比为正常数的点的轨迹是圆.
【证明】设平面内两定点分别为且,以点所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,设,则.
得


所以动点的轨迹是以为圆心,
为半径的圆.
这样得到的圆就是阿波罗尼圆.阿波罗尼圆是古希腊数学家,他对圆锥曲线有深刻的影响。
◆ 例1（2008江苏）满足条件,
的的面积的最大值是 .
【秒解】因为定值,为求的最大值,只需求顶点到边距离的最大值即可,又动点满足,所以动点的轨迹为阿波罗尼圆,建系即可解决.以直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立如图的直角坐标系:




由,

所以点轨迹为以点为圆心,为半径的圆,（除开轴上的两点）,则点到边的距离最大值就是圆上点到边的距离,故.

◆ 例2（2006四川）已知两定点如果动点P满足条件则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_________.
【秒解】因为不关于对称,不能直接代入,故设的坐
标为,由题意有
即
圆的面积为.

◆ 例3 在等腰中,,是腰上的中线,且,则的面积的最大值是_____.
【秒解】如图,取建系,,,则点的轨迹是阿波罗尼圆：

.



由图可知当点在圆最高点时面积取最大值,此时.
◆ 例4已知点与两定点的距离之比为,那么点轨迹方程为 .
【秒解】,由,
,该圆为与两定点（中点为）的距离之比为的点的轨迹,又的中点为,故向右平移后即为所求的圆,
即

◆ 例5（2002全国）已知点到两定点、距离的比为,点到直线的距离为1,求直线的方程.
【秒解】设的坐标为,由,
，因为点到的距离为1,
所以,直线的斜率为,直线的方程为
将代入
整理得,
则点坐标为或
或,
直线的方程为或．

◆ 例6 是平面内两个定点,点为平面内的动点,且,点的轨迹所围成的平面区域的面积为,设
,则以下判断正确的是（　　）

A.在上是增函数,在上是增函数
B.在上是减函数,在上是减函数
C.在上是增函数,在上是减函数
D.在上是减函数,在上是增函数
【秒解】设,设
则：

令,则为耐克函数










①时,单调递减,根据同增异减原则,单调递增.
②时,单调递增,根据同增异减原则,单调递减.选C.


83、圆锥曲线 Þ 用点差法速解有关中点弦问题

（1）求过定点被定点平分的弦所在直线的方程
◆例1 过椭圆内一点M（2,1）引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在的直线方程
【秒解】设直线与椭圆的交点为A(),
B（）,M（2,1）为AB的中点,
所以,,
又A、B两点在椭圆上,则,,
两式相减得,
所以,即,
故所求直线方程为.

◆ 例2 已知双曲线,经过点作一
条直线L,使L与双曲线交于、,且点是线段
的中点,求出直线L的方程.
【秒解】设存在被点平分的弦,且、,则,
,
两式相减,得
　故直线
由　消去,得

这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线.

（2）平行弦中点轨迹
◆ 例3 已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
【秒解】设弦端点、,弦的中点,则,
又 ,
两式相减得
即,即
,即
由,得,
点在椭圆内 它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

（3）过定点的弦的中点的轨迹
◆ 例4 过椭圆上一点P（-8,0）作直线交椭圆于Q点,求PQ中点的轨迹方程.
【秒解】设弦PQ中点M（）,弦端点P（）,Q（）,
则有,
两式相减得,
又因为,,所以,
所以,
而,故.
化简可得 （）.





84、圆锥曲线 Þ 用垂径定理速解中点弦问题

垂径定理是圆的重要性质,其内容为：已知圆中有一条非直径的弦,那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆和双曲线也有类似的性质,下面用图像展示、对(图中为中点)比：

①

x
y
O

②

x
y
O

③

x
y

④
注一 在②中,当,,
可视圆为椭圆的一种特殊情况.
注二 在②③④中,当曲线焦点在在轴上时原结论中即;;

注三 在④中,A、B为弦与渐近线的交点, 可视渐近线为退化的双曲线.

【证明】点差法是证明该性质的最好方法,下面举例证明②：设、,
则,
两式相减,有
两边同时除以并化简可得
利用平方差公式变形,有
此即欲证性质．

◆ 例1 过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,则这条弦所在的直线方程为 .
【秒解】利用点差法得出的结论,
得,
故所求直线方程为.

◆ 例2 已知双曲线中心在原点,且一个焦点为,直线与其相交于两点,中点的横坐标为,则此双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】由中点的横坐标为,也在直线上,则,, 选D.

◆ 例3 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为 .
【秒解】根据结论,


◆ 例4 设直线与双曲线两渐近线分别交于点,若点满足,则双曲线的离心率是 .
【秒解】设中点为,
①
又,
②
又 ③
联合①②③得
x
y
























85、圆锥曲线 Þ 用中心弦公式定理速解中心弦问题

【结论】我们把过圆、椭圆、双曲线的中心的弦称为中心弦.
在圆中,直径所对的圆周角为,即连接圆的直径的端点与圆上任意一点的两条弦的斜率的乘积为．对于椭圆和双曲线也有类似的性质,下面用图像展示、对(图弦过曲线的中心,为曲线上任意一点)：
①

x
y

②

x
y

③


注一 在②中,当,,可视圆为椭圆的一种特殊情况.
注二 在②③中,当曲线焦点在在轴上时原结论中即;.
注三 以上结论可参考本书“仿射（伸缩）变换”内容来证明.

◆ 例1 已知椭圆的离心率是,过椭圆上一点M作直线分别交椭圆于两点,且斜率分别为,若点关于原点对称,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】 ,根据上述结论,,选 D.

◆ 例 2已知为双曲线的左右顶点,是上一点,且直线的斜率之积为2,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】根据结论,
.选B.

◆ 例3（2013全国理8）椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线斜率的取值范围是,则直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【秒解】根据结论,易知答案为B

◆ 例4（2013全国理8改编）椭圆的左、右顶点分别为,点P在C上且直线斜率的取值范围是那么直线斜率的取值范围是 .
【秒解】注意焦点位置,根据结论,易知答案为B

◆ 例5（2015全国II理11）已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】
.选D.

◆ 例6 为椭圆的右焦点,A,B为椭圆的上、下顶点,P为直线AF与椭圆的交点,则直线PB的斜率( )
A. B. C. D.





【秒解】, ,选D.

















86、圆锥曲线 Þ 焦点弦垂直平分线结论的妙用

x
y
y
x
y
【结论】在椭圆、双曲线、抛物线中,设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB,AB的垂直平分线交焦点所在轴于点R,则（焦点在上时结论一样）




◆ 例1 已和双曲线方程为,过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线与P,Q两点,PQ的垂直平分线交轴于点M,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】根据结论,,选 B.

◆ 例2 过抛物线的焦点的弦的垂直平分线交轴于点,已知,则______．



【秒解】根据结论,.

◆ 例3 已知椭圆,过左焦点作不垂直与轴的弦交于椭圆于两点,的垂直平分线交轴于点,则 .




【秒解】根据结论,.
87、圆锥曲线 Þ利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程

（1）极点与极线的几何定义：
几何定义: 如图, P是不在二次曲线上的点,过P点引两条割线依次交二次曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FN 交于 N ,连接 EG, FH 交于 M ,则直线 MN 为点 P 对应的极线.
若 P 为二次曲线上的点,则过 P 点的切线即为极线.
由图 1 可知,同理 PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.
若连接 MN 交二次曲线于点 A, B ,则 PA, PB 恰为二次曲线的两条切线.
事实上,图 1 也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法. 




（2）极点与极线的代数定义:
已知二次曲线:与一点 (其中,点P不在曲线中心和渐近线上).则称点和直线:

是二次曲线的一对极点和极线.
即在二次曲线方程中,以替换,以替换,以替换,以替换,以替换,则可得到极点的极线方程.
特别地：
(1)对于圆,与点对应的极线方程为;
(2)对于椭圆,与点对应的极线方程为;
(3)对于双曲线,与点对应的极线方程为;
(4)对于抛物线,与点对应的极线方程为;
（3）极点与极线的性质
一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部]:
①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线;


②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;



③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]



若是圆,则此时中点弦的方程为:

若是椭圆,则中点弦的方程为;
若是双曲线,则中点弦的方程为;
若是抛物线,则此时中点弦的方程为;
④当为圆锥曲线的焦点F(c,0)时,极线恰为该圆锥曲线的准线;

◆ 例1(2017全国卷)曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】可化为二次曲线,点P在二次曲线上,视P为极点,则对应极线是曲线在P点的切线,根据结论：即在二次曲线方程中,以替换,以替换,以替换,以替换,以替换,则可得到极点的极线方程,可得：
, 选A.

◆ 例2 若P为椭圆的弦AB的中点,则直线AB的方程为 .
【秒解】根据结论：若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行,若曲线С是椭圆,则此时中点弦的方程为;
易知,直线AB的方程为,即

◆ 例3 过椭圆引两条切线,A和B分别为切点,则直线AB的方程是 .
【秒解】根据结论：若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;


◆ 例4 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（  )
A. B. C. D.
【秒解】,设弦中点,则弦方程为
即,只有B符合条件,选B.
88、圆锥曲线 Þ 用公式速解过定点弦中点轨迹问题

【结论】弦中点的轨迹方程：
(1)在椭圆中,过椭圆内点的弦,其中
点的轨迹方程：,仍为椭圆;
(2)在双曲线中,过双曲线外一点的弦,其中点的轨迹方程：,仍为双曲线.
以上方程和上一节的两个中点弦方程非常相似,
千万区分开来.

◆ 例1 过点P的直线交双曲线于,双曲线的弦中点的轨迹方程为 .
【秒解】根据结论：（2）在双曲线中,过双曲线外
一点的弦,其中点的轨迹方程：
,仍为双曲线.
易知,所求轨迹方程为：,
即.

◆ 例2椭圆内一点M（2,0）引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是 .
【秒解】根据结论：(1)在椭圆中,过椭圆内点
的弦,其中点的轨迹方程：
,仍为椭圆;易知,所求轨迹方程
为：,即.




89、圆锥曲线 Þ 巧用通径公式速解离心率等问题

【结论1】
①对于椭圆,PQ是过焦点且垂直于的弦,称PQ为通径,且,
P
F1
Q
F2
D
x
y
O





P
x
y
O
Q
②对于双曲线,PQ是过焦点且垂直于的弦,称PQ为通径,且,





【结论2】椭圆的离心率;双曲线的离心率,两个结论易混淆,怎么记？前的符号与对应方程中间的符号相反.
符号相反




符号相反




◆ 例1（2015湖南文6）若双曲线的一条渐近线经过点（3,-4）,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【秒解】双曲线的一条渐近线经过点, 选D.

◆ 例2（2014课标I文4）已知双曲线的离心率为2,则( )
A.2 B. C. D.1
【秒解】,选D

◆ 例3 (2017新课标II理9）若双曲线
的一条渐近线被圆
截得的弦长为2,则的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
【秒解】如图,
,选A
x
y







◆ 例4 （2015广东理7）已知双曲线
的离心率,且其右焦点为
,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【秒解】此类题不必从条件出发求方程,可根据选项
来排除：右焦点为,排除AD,由椭圆离心率公式,选 B.

◆ 例5（2015全国文I卷5）已知椭圆的中心为坐标原点,离心率为,的右焦点与抛物线的焦点重合,是的准线与的两个交点,则（ ）
A. B. C. D.
【秒解】椭圆右焦点为,,,
x
y
O
为椭圆通径,=6,选 B.

























90、圆锥曲线 Þ 巧用三角形关系速求离心率

◆ 例1（2016山东文14）已知双曲线：–=1．矩形四个顶点在上,
的中点为的两个焦点,且,则
的离心率是 ．
【秒解】依题意,不妨设作出图像
则
故离心率.
x
y
O






◆ 例2 (2013新课标Ⅱ卷文5)设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则
的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如图:令, 在中,
,
,
P
F1
Q
F2
D
x
y
O






◆ 例3 设,分别是椭圆E:的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若的面积是的三倍,,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】由结合图像,联想到三边,则猜想,又的面积是的三倍,则:=,
=3,=1,点A是椭圆上顶点,如图所示.
为等腰直角三角形,
x
y
O
4
5
3
A
B
F1
则.







◆ 例4 （2013辽宁理15）已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接.若
,则的离心率 .
【秒解】由条件结合图像,联想到三边,则猜想,
则,








91、圆锥曲线 Þ 构造相似三角形速解离心率

◆ 例1（2016全国III理11）已知为坐标原点,是椭圆：的左焦点,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如图①
②
①②,选A.





◆ 例2 设椭圆椭圆：的左、右焦点为,过作轴的垂线与相交于
两点,与轴交于点.若,则椭
圆的离心率为 .
【秒解】如图





又


又


◆ 例3 已知是椭圆的一个焦点.是短轴上的一个端点,线段的延长线交于,且,则的离心率为 .
【秒解】如图,

同理,所以
代入椭圆并化简得.






















92、圆锥曲线 Þ 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题

◆ 例1 过抛物线的焦点F的直线与抛物线的准线和抛物线的交点从左至右依次是若,则=（ ）
A. B. C. D.
【秒解】如图,令,由抛物线定义得:,∴,∴,又,∴为正三角形,易知为中点,∴,∴.
y
O
C
M
N
A





◆ 例2（2017新课标II理16）已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .








【秒解】如图

.
◆ 例3 (2017新课标II文科12）过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点（在轴上方）, 为的准线,点在上且,则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【秒解】如图（过程略）,
由抛物线定义,
又,所以,
所以,
则等边的高,选C.
























93、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”. 
【定理】已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且.
(1)当焦点内分弦时,有;
(2)当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）,有.
【证明】设直线是焦点所对应的准线,点在直线上的射影分别为,点在直线上的射影为.由圆锥曲线的统一定义得,,又,所以. 
（1）当焦点内分弦时.如图1,
F
A
B
xx
y
O
M
,所以.
 


图1
 

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）.
如图2
x
y
O
F
A
B
M
所以.
 




图2 
评注  特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同,这一点很容易不加区别而出错. 

◆ 例1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点.若,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】 这里,所以,又,代入公式得,,即,选.

◆ 例2（2010全国Ⅱ理12）已知椭圆
的离心率为.过右焦点
且斜率为的直线于相交于两点,若
,则（   ）
A.1 B. C. D.2
【秒解】这里,,设直线的倾斜角为,代入公式得,所以,所以,故选.
◆ 例3 （08江西理15）过抛物线
的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线交于两点（点在轴左侧）,则有 .
【秒解】 如图,由题意知直线与抛物线的地称轴
的夹角,当点在轴左侧时,设
,又,代入公式得,
解得,所以.
F

F
A
BB
x
y
O



 


◆ 例4（2010全国Ⅰ理16）已知是椭圆的一
个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交
于点,且,则的离心率为 .
【秒解】设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以.

◆ 例5（自编题）已知双曲线的离心率为过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点.若,则 .  
【秒解】这里,因直线与左右两支相交,故应选择公式,代入公式得,所以所以,所以.

◆ 例6 (2013新课标Ⅱ卷10)设抛物线
的焦点为,直线过且与交于,两点.若
,则的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
【秒解】
,选C

◆ 练1 (改编1)设抛物线的焦点为,直线过且与交于,两点.若,则的方程为 .

◆ 练2 (改编2)设抛物线的焦点为,
直线过且与交于,两点.若,
则的方程为 .  





94、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题

【定理】已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线,焦准距（焦点到对应准线的距离）为.过的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为,则有.
（1）较长焦半径.
（2）较短焦半径
（3）焦点弦长=
证明 （略）
推论1：特别地,当曲线为抛物线时,焦准距就是径之半,
较长焦半径,
较短焦半径,
焦点弦的弦长公式为. 
推论2：当焦点内分弦时,有 , .当焦点外分弦时,有 ,. 

◆ 例1（2009福建理13）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,若线段的长为8,则 .  
【秒解】由抛物线焦点弦的弦长公式
得,,解得.

◆ 例2 （2009福建理13改编）过抛物
的焦点作倾斜角为的直线,交抛
物线于两点,若线段的长为8,则 .
【秒解】 根据“过的弦与曲线的焦点所
在的轴的夹角为”可知,
,由抛物线焦点弦的弦长公式为得,.

◆ 例3 (2014课标II文10）设为抛物线
的焦点,过且倾斜角为的直线交
于,两点,则( )
A. B. C. D.
【秒解】由抛物线焦点弦的弦长公式.选C.
◆ 例4 （2007重庆16）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为 .
【秒解】易知均在右支上,因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以.由焦半径公式得,

==.

◆ 例5 （2007重庆16改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为 .
【秒解】因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以.注意到分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得:
 =














95、圆锥曲线 Þ 椭圆焦点三角形面积公式的妙用

【结论】(选填题课直接用,大题需论证):
y
F1 O F2 x

P
P
在椭圆（＞＞0）中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,,则.






证明：记,由椭圆的定义得

在△中,由余弦定理得：
配方得：
即

由任意三角形的面积公式得：

同理可证,在椭圆（＞＞0）中,公式仍然成立.

◆ 例1 若是椭圆上的一点,、是其焦点,且,则△的面积为 .
【秒解】在椭圆中,,而


◆ 例2 已知P是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】设,则,
选A.

◆ 例3（04湖北）已知椭圆左、右焦点分别是、,点在椭圆上.、、是一个直角三角形的三个顶点,则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D. 或
【秒解】若或是直角顶点,则点到轴的距离为半通径的长；若是直角顶点,设点到轴的距离为,则,
又
,选D.

◆ 例4 椭圆的左右焦点为、, 是椭圆上一点,当△的面积最大时,
的值为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.
【秒解】,设,
,
当△的面积最大时,为最大,这时点P为
椭圆短轴的端点,,
.选D.

◆ 例5 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,、为焦点,点P在椭圆上,直线与倾斜角的差为,△的面积是20,离心率为,则椭圆的标准方程为 .
【秒解】设,则.
,
又,
,即.解得：.
椭圆的标准方程为或.



















96、圆锥曲线 Þ 双曲线焦点三角形面积公式的妙用

【结论】在双曲线中,焦点分别为、,点P是双曲线上任意一点,,则.




证明：记,由双曲线的第一定义得
在△中,由余弦定理得：
配方得：
即

由任意三角形的面积公式得：
.

同理可证,在双曲线中,公式仍然成立.

◆ 例1(03天津)已知、为双曲线的两个焦点,在双曲线上,若△的面积是1,则的值是 .
【秒解】
,即
,从而

◆ 例2（05北京6）已知双曲线的两个焦点为
,是此双曲线上的一点,且
,则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【秒解】
.
又,,而,.选C.

◆ 例3（05全国Ⅲ）已知双曲线的焦点为、,点在双曲线上,且,则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】,. .
点到轴的距离为,则,.选C.

◆ 例4 双曲线两焦点为,点在双曲线上,直线倾斜角之差为则
的面积为( )
A.16 B.32 C.32 D.42
【秒解】设,则. .选A.

◆ 例5 已知双曲线的焦点为、,为双曲线上一点,且,
,则双曲线的离心率为 .
【秒解】设 .
.
又,
. 得..



























97、圆锥曲线 Þ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用
【结论】①椭圆中,记焦点三角形的底角分别为和,则该椭圆的离心率为
②双曲线中,记焦点三角形的底角分别为和,则双曲线的离心率为,且
◆例1 (2009江西理6)过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为 ．
【秒解】如图,根据,





◆ 例2 双曲线的左、右焦点分别为、点在双曲线的右支上,若,,则的离心率为 ．
【秒解】第一步：判断相关量的正负（为了方便记,记）显然 ,,,
第二步：由公式,计算
◆ 例3 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,则椭圆的离心率为 ．
【秒解】如图,根据,




98、圆锥曲线 Þ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围

【结论】已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
◆ 例1 已知、是椭圆
的两个焦点,椭圆上一点使,则椭圆的离心率的取值范围为 .
【秒解】≤＜
◆ 例2 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得则椭圆的离心率的取值范围为 .
【秒解】　

◆ 例3 若椭圆的两个焦点、,试问：椭圆上是否存在点,使？存在,
求出点的纵坐标；否则说明理由.
【秒解】≤＜,但椭圆离心率为,不在范围内,故不存在。










99、圆锥曲线 Þ 用特值法巧解圆锥曲线选填题

◆ 例1（2016全国I理5）已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦
点间的距离为4,则的取值范围是 .
A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0,)
【秒解】
,以下用逆代法：
当时,是双曲线,排除CD,
当时,是双曲线,排除B,选A.

◆ 例2 椭圆的焦点为、,点为
其上的动点,当为钝角时,点横坐标的取舍
范围是 .
【秒解】特殊点法：设,则当时,点P的轨迹方程为,由此可得点P的横坐标,又当点P在x轴上时,;点P在y轴上时,为钝角,由此可得点P横坐标的取舍范围是.

◆例3已知是以为焦点的椭圆上一点,若,
,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【秒解】特殊值法,,由,不妨取
则




◆ 例4 如图,,分别为椭圆的长轴的左右端点,为坐标原点,为椭圆上不同于,的三点,直线,,围成一个平行四边形,则( )
x
y
O
T
Q
S
A1
R
A2
P
A.4 B.3 C. D.




x
y
O
T
Q
S
A1
R
A2
P
【秒解】特殊化条件如图所示：则,联立直线与椭圆方程得点坐标,可求3




◆ 例5 在平面直角坐标系中,为坐标原点,斜率不为1的直线交抛物线:于两点,且,点为直线与轴的交点,点为线段的中点,若以抛物线上一点为圆心,为半径作圆,圆与轴交于两点,则 .

【秒解】特殊化条件如图所示：取轴,点E与点重合,则直线的方程为,联立,可得,∴,易知
x
y
O
C
D
A
B






◆ 例6（2016天津文4）已知双曲线
的焦距为,且双曲线的一条渐近线
与直线 垂直,则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【秒解】从选项出发,∵,∴,排
除CD,又结合渐近线斜率为,选A.使用此方法,
无需动手计算,可节省时间.

◆ 例7（2016浙江文13）设双曲线的
左、右焦点分别为．若点在双曲线上,且
为锐角三角形,则的取值范围
是 .


【妙解】如图作出两个极端情形,即：
P
x
y
O
①时



P
x
y
O

② 时



P
x
y
O

当点位于两种垂直情况的
两侧时,均为钝角三
角形,∴

◆ 例(2015江苏12)在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立,则是实数的最大值为 .
【结论】形如的双曲线称为等轴双曲线,等轴双曲线的离心率,渐近线方程为,两渐近线相垂直.
【秒解】直线的与双曲线的渐近线平行,点到直线的距离大于到的距离,即在DAOB中,OB=1,,
∴实数c的最大值为
x
y
O




























100、圆锥曲线 Þ 用对称思想速解圆锥曲线问题

对称思想不仅是解决高考客观题中的不等式最值问题的通法、好法,而且是解决高考客观题中的其他某些最值问题的简便方法,也是解决很多解答题的重要思想,可以推测解答题的 结论,变求解题为证明题,可以简化解题过程、降低解题难度.

◆ 例1(2006山东理14 )已知抛物线,过点的直线与抛物线相交于 ,
两点,则的最小值是 .
【秒解】用对称思想思考,因为抛物线关于轴对称,点又在轴上,且中与的作用、 地位相同,所以猜想当,两点关于轴对称时,即,亦即 ()时,取得最小值.将 代入得交点的坐标为和 ,此时, .因为是填空题,所以填上 32即可 .

◆ 例2(2004重庆文理10) 已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为( )
A. B. C.2 D.
P
x
y
O
【秒解】由于双曲线关于轴对称,所以一般地右支上满足条件 的点应当有两个,一个在轴的上方, 一个在轴的下方 . 但要取得最大值, 猜测这个点就应当具备对称性,即此 点应为双曲线与 轴的交点.此时,由得 , 即,选B.

◆ 例3(2010福建理7 ) 若点 和点 分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【秒解】易得双曲线方程为,由四个选A项知, 有最小值,但无最大值,仿例 2分析即知,要取得最小值,则猜测点应当为双曲线与轴的交点,即双曲线的右顶点时,此时 ,,=
,即的最小值为 ,因而排除A、C、D ,故答案选B .

◆ 例4(2010福建文11 ) 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【秒解】由例2、例3可知当点为椭圆右顶点时（如图）,取最大值,此时
,选C .






◆ 例5 (2017新课标I理科10）已知为抛物线
;的焦点,过作两条互相垂直的直线
,,直线与交于两点,直线与交
于两点,则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【秒解】由对称性原理可知,直线,在如图对称位置时取得最值,则此时与轴的夹角,根据抛物线焦点弦的弦长公式,此时＝16,选A.