高考数学100个热点题型秒解技巧之利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题

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  秒解高考数学100招—— 选择、填空篇 —— ◆ 例（2016山东理7）函数的最小正周期是(   )A.          B.          C.         D.【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期均为,则的周期为,选.                目录   CONTENTS
1、集合  利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………22、集合  利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………3、集合  运用补集运算公式简化集合计算………………………………………4、简易逻辑  利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………5、简易逻辑  借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………6、复数  利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………7、复数  利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………8、复数  利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………9、复数  利用公式快速解决一类复数问题………………………………………10、三视图  柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………11、三视图  利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………12、不等式  利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………13、不等式  利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………14、不等式  利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………15、不等式  用代入法速解f型不等式选择题…………………………………16、不等式  利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………17、不等式  利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………18、不等式  利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………19、不等式  利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………20、不等式  利用柯西不等式速解最值问题……………………………………21、线性规划  利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………22、线性规划  高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………23、程序框图  程序框图高效格式化解题模式…………………………………24、排列组合  排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………25、排列组合  利用公式法速解相间涂色问题…………………………………26、排列组合  速解排列组合之最短路径技巧…………………………………27、二项式定理  二项式定理常见题型大汇总…………………………………28、二项式定理  利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………29、平面向量  特殊化法速解平面向量问题……………………………………30、平面向量  利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………31、平面向量  三点共线定理及其推论的妙用…………………………………32、平面向量  平面向量等和线定理的妙用……………………………………33、平面向量  向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………34、平面向量  三角形四心的向量表示及妙用…………………………………35、平面向量  利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………36、空间几何  利用折叠角公式速求线线角……………………………………37、空间几何  求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………38、空间几何  空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…39、空间几何  利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………40、空间几何  利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………41、函数  用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………42、函数  数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………43、函数  数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………44、函数  函数的周期性的重要结论的运用……………………………………45、函数  利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………46、函数  通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………47、函数 利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………48、函数  利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………49、函数  巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………50、函数  利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………51、函数  巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………52、函数  构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………53、导数  特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………54、导数  极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………55、导数  用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………56、导数  隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………57、三角函数  利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………58、三角函数  利用结论速求三角函数周期问题………………………………59、三角函数  巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………60、三角函数  海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………61、三角函数  借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………62、三角函数  特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………63、三角函数  齐次式中弦切互化技巧…………………………………………64、三角函数  利用射影定理秒解解三角形问题………………………………65、三角函数  三角形角平分线定理的妙用……………………………………66、三角函数  三角形角平分线长公式的妙用…………………………………67、三角函数  三角形中线定理及其推论的妙用………………………………68、三角函数  利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………69、三角函数  利用公式法速解三角函数平移问题……………………………70、数列  利用公式法速解等差数列与……………………………………71、数列  利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………72、数列  用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………73、数列  等差数列性质及其推论的妙用………………………………………74、数列  观察法速解一类数列求和选择题……………………………………75、数列  巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………76、数列  代入法速解数列选项含型选择题…………………………………77、数列  一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………78、统计与概率  估算法速解几何概型选择题…………………………………79、直线与圆  利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………80、直线与圆  利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………81、直线与圆  利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………82、圆锥曲线  利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………83、圆锥曲线  用点差法速解有关中点弦问题…………………………………84、圆锥曲线  用垂径定理速解中点弦问题……………………………………85、圆锥曲线  用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………86、圆锥曲线  焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……88、圆锥曲线  用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………89、圆锥曲线  巧用通径公式速解离心率等问题………………………………90、圆锥曲线  巧用三角形关系速求离心率……………………………………91、圆锥曲线  构造相似三角形速解离心率……………………………………92、圆锥曲线  用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………93、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………94、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………95、圆锥曲线  椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………96、圆锥曲线  双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………97、圆锥曲线  离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………98、圆锥曲线  用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………99、圆锥曲线  用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………100、圆锥曲线  用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………
18、不等式  利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题      【解法】在求最值中如果式子具有以下两个特点:（1）两个变量是正实数（使用基本不等式的前提）（2）有一个代数式的值已知,求另一个代数式的最小值,其中两个代数式一个是整式,一个是分式,当然会在此基础上进行变形. 此类题型解法：凑出可以使用基本不等式的形式：的形式,多数情况下是让两个代数式相乘. ◆ 例1 （1）已知,,求的最小值;（2）已知,,求的最小值;（3）已知,,求的最小值;（4）已知,,求的最小值.【解析】这四个题目中,(1)是“1的替换”的最基础题目,已知整式的值为1,求分式的最小值,(2)是将已知值变成了3,需要调节系数,(2)    是已知分式的值求整式的最值,(4)对分式进行等价变换.【秒解】（1）  当且仅当即时取等号（2）   当且仅当即时取等号（3）,当且仅当即时取等号（4）因为,所以,然后   当且仅当即时取等号 ◆ 例2(1)已知,,求的最小值;(2)已知,,求的最小值;(3)已知,,求的最小值;(4)已知,,求的最小值.【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数,为了能够使用基本不等式,我们需要对整式也进行相应的变形;（2）在上一题的基础上,是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项,需要分离出一个代数式,变成熟悉的形式;（3）在（1）的情况下分母进一步变化,不是加一个常数,而是混搭的形式;（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果,而是需要配凑一个系数.【秒解】（1）整式变形成,当且仅当取等号（2）然后求当时,代数式的最小值（3）整式变形成,求代数式最小值.（4）假设分式变形为的形式,保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比,即,,分式变形为 ,然后求的最小值. ◆ 例3（1）已知,,求的最小值;（2）已知,求的最小值;【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式,（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数,而是的形式,因为比较接近我们使用基本不等式的形式,所以对另一个分子替换;（2）中好像是缺了整式,但仔细观察不难发现,其实分母之和为定值.【秒解】（1）当且仅当时取等号（2）因为,然后求的最小值 ◆ 例4 若正数,满足,则的最小值是（　　）A.    B.     C.      D．【秒解】正数,满足,,,当且仅当时取等号,即的最小值是◆ 例5 已知均为正实数,且,则的最小值为         ．【秒解】,当且仅当即时等号成立,即的最小值是． ◆ 例6 设,若是与的等比中项,则的最小值为（    ）A.       B．        C．       D．【秒解】是与的等比中项,，，选B． ◆ 例7 已知        .【秒解】令解得当即取等号.◆ 例8 已知实数,满足,则的最大值为     ． 【秒解】实数,满足,,,解关于的不等式可得,故答案为：． ◆ 例9 已知,,,则取到最小值为         ．【秒解】令∴, ∴,当且仅当时,等号成立,即的最小值是． ◆ 例10 已知正数满足则的最小值为            .                【秒解】则,令,即, 恒成立,由得, ◆ 例11 若正数满足,则的最小值为       .【秒解】=令,则,即,原式= ◆ 例12 已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是    ,当取到最大值时       .【秒解】恒成立问题,求的最小值,即为“1的替换”答案为：,; ◆ 例13 在边长为1的正三角形中,且,则的最小值等于           .【秒解】这是结合向量来解的一个题目,的最小值为.