高考数学100个热点题型秒解技巧之排列组合21种常见题型解题技巧汇总

这是一份高考数学100个热点题型秒解技巧之排列组合21种常见题型解题技巧汇总，共10页。
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2019年4月版


秒解高考数学100招
—— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期
均为,则的周期为,选.

四大特色助快速解题
◎ 100个秒解技巧
◎ 80个精妙二级结论
◎ 10年高考真题为例
◎ 700个例题深入剖析















目录 CONTENTS

1、集合 Þ 利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2
2、集合 Þ 利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………
3、集合 Þ 运用补集运算公式简化集合计算………………………………………
4、简易逻辑 Þ 利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………
5、简易逻辑 Þ 借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………
6、复数 Þ 利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………
7、复数 Þ 利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………
8、复数 Þ 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………
9、复数 Þ 利用公式快速解决一类复数问题………………………………………
10、三视图 Þ 柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………
11、三视图 Þ 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………
12、不等式 Þ 利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………
13、不等式 Þ 利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………
14、不等式 Þ 利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………
15、不等式 Þ 用代入法速解f型不等式选择题…………………………………
16、不等式 Þ 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………
17、不等式 Þ 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………
18、不等式 Þ 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………
19、不等式 Þ 利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………
20、不等式 Þ 利用柯西不等式速解最值问题……………………………………
21、线性规划 Þ 利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………
22、线性规划 Þ 高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………
23、程序框图 Þ 程序框图高效格式化解题模式…………………………………
24、排列组合 Þ 排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………
25、排列组合 Þ 利用公式法速解相间涂色问题…………………………………
26、排列组合 Þ 速解排列组合之最短路径技巧…………………………………
27、二项式定理 Þ 二项式定理常见题型大汇总…………………………………
28、二项式定理 Þ 利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………
29、平面向量 Þ 特殊化法速解平面向量问题……………………………………
30、平面向量 Þ 利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………
31、平面向量 Þ 三点共线定理及其推论的妙用…………………………………
32、平面向量 Þ 平面向量等和线定理的妙用……………………………………
33、平面向量 Þ 向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………
34、平面向量 Þ 三角形四心的向量表示及妙用…………………………………
35、平面向量 Þ 利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………
36、空间几何 Þ 利用折叠角公式速求线线角……………………………………
37、空间几何 Þ 求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………
38、空间几何 Þ 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…
39、空间几何 Þ 利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………
40、空间几何 Þ 利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………
41、函数 Þ 用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………
42、函数 Þ 数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………
43、函数 Þ 数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………
44、函数 Þ 函数的周期性的重要结论的运用……………………………………
45、函数 Þ 利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………
46、函数 Þ 通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………
47、函数 Þ利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………
48、函数 Þ 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………
49、函数 Þ 巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………
50、函数 Þ 利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………
51、函数 Þ 巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………
52、函数 Þ 构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………
53、导数 Þ 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………
54、导数 Þ 极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………
55、导数 Þ 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………
56、导数 Þ 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………
57、三角函数 Þ 利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………
58、三角函数 Þ 利用结论速求三角函数周期问题………………………………
59、三角函数 Þ 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………
60、三角函数 Þ 海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………
61、三角函数 Þ 借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………
62、三角函数 Þ 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………
63、三角函数 Þ 齐次式中弦切互化技巧…………………………………………
64、三角函数 Þ 利用射影定理秒解解三角形问题………………………………
65、三角函数 Þ 三角形角平分线定理的妙用……………………………………
66、三角函数 Þ 三角形角平分线长公式的妙用…………………………………
67、三角函数 Þ 三角形中线定理及其推论的妙用………………………………
68、三角函数 Þ 利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………
69、三角函数 Þ 利用公式法速解三角函数平移问题……………………………
70、数列 Þ 利用公式法速解等差数列与……………………………………
71、数列 Þ 利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………
72、数列 Þ 用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………
73、数列 Þ 等差数列性质及其推论的妙用………………………………………
74、数列 Þ 观察法速解一类数列求和选择题……………………………………
75、数列 Þ 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………
76、数列 Þ 代入法速解数列选项含型选择题…………………………………
77、数列 Þ 一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………
78、统计与概率 Þ 估算法速解几何概型选择题…………………………………
79、直线与圆 Þ 利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………
80、直线与圆 Þ 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………
81、直线与圆 Þ 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………
82、圆锥曲线 Þ 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………
83、圆锥曲线 Þ 用点差法速解有关中点弦问题…………………………………
84、圆锥曲线 Þ 用垂径定理速解中点弦问题……………………………………
85、圆锥曲线 Þ 用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………
86、圆锥曲线 Þ 焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………
87、圆锥曲线 Þ利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……
88、圆锥曲线 Þ 用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………
89、圆锥曲线 Þ 巧用通径公式速解离心率等问题………………………………
90、圆锥曲线 Þ 巧用三角形关系速求离心率……………………………………
91、圆锥曲线 Þ 构造相似三角形速解离心率……………………………………
92、圆锥曲线 Þ 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………
93、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………
94、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………
95、圆锥曲线 Þ 椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………
96、圆锥曲线 Þ 双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………
97、圆锥曲线 Þ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………
98、圆锥曲线 Þ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………
99、圆锥曲线 Þ 用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………
100、圆锥曲线 Þ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………

24、排列组合 Þ 排列组合21种常见题型解题技巧汇总

※ 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
（1）认真审题弄清要做什么事.
（2）怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是
分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多
少类.
（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
（4）解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略.

※ 常见题型及解题技巧
（1）特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置.若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

◆ 例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
【秒解】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.



先排末位共有,然后排首位共有,最后排其它位置共有,由分步计数原理得

◆ 练1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？

(2)相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

◆ 例2 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
【秒解】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有种不同的排法



◆ 练2 某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

(3)不相邻问题插空策略
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

◆ 例3 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
【秒解】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱
共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个
元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,
由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种

◆ 练3 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30

(4)定序问题倍缩空位插入策略
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理
◆ 例4 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
【秒解】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,
然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则
共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有种方法.
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

◆ 练4 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法？



(5)重排问题求幂策略
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种

◆ 例5 把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
【秒解】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到
车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法?

◆ 练5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42

◆ 练6 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

(6)环排问题线排策略
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

◆ 例6 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
【秒解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！




◆ 练7 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈
120

(7)多排问题直排策略
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

◆ 例7 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
【秒解】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种

◆ 练8 有两排座位,前排11个座位,后排12个
座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不
能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种
数是 346

（8）排列组合混合问题先选后排策略
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

◆ 例8 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
【秒解】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法,根据分步计数原理装球的方法共有

◆ 练9 一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种.

（9）小集团问题先整体后局部策略
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理.

◆ 例9 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其
中恰有两个偶数夹在1,5两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
【秒解】把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有种排法,再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法.

◆ 练10 计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,
4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一种画
的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有
陈列方式的种数为

◆ 练11 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种

（10）元素相同问题隔板策略
将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为

◆ 例10 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案？
【秒解】因为10个名额没有差别,把它们排成一
排.相邻名额之间形成９个空隙.在９个空档中选
６个位置插个隔板,可把名额分成７份,对应地分
给７个班级,每一种插板方法对应一种分法共有
种分法.




◆ 练12 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球有多少装法？

◆ 练14 求这个方程组的自然数解的组数 ？

（11）正难则反总体淘汰策略
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

◆ 例11 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
【秒解】这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有.再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有

◆ 练14 班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

（12）平均分组问题除法策略
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数.

◆ 例12 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
【秒解】分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),
(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法.

◆ 练15 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）

◆ 练16 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）

◆ 练17 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为___（）
（13）合理分类与分步策略
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.

◆ 例13 在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞
的节目,有多少选派方法？
【秒解】10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种,由分类计数原理共有 种.

◆ 练18 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有34

◆ 练19 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,
2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只
船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有
多少乘船方法. （27）

（14）构造模型策略
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决

◆ 例14 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
【秒解】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种

◆ 练20 某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种？（120）

（15）实际操作穷举策略
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

◆ 例15 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
【秒解】从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
3号盒
4号盒
5号盒




◆ 练21 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

◆ 练22 给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种




（16）分解与合成策略
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

◆ 例16 30030能被多少个不同的偶数整除？
【秒解】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,
所有的偶因数为：

◆ 练23 正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线

（17）化归策略
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题

◆ 例17 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
【秒解】将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种.再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法.




◆ 练24某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种？()



（18）数字排序问题查字典策略
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数.

◆ 例18 由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
【秒解】

◆ 练25 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

（19）树图策略
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果

◆ 例19 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

◆ 练26 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中号人不坐号椅（）的不同坐法有多少种？
（20）复杂分类问题表格策略
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

◆ 例20 有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法?
【秒解】
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法







（21）住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.

◆ 例21 七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .
【秒解】因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得7种.