(新高考)高考数学一轮复习第15讲《导数的应用——导数与函数的单调性》达标检测(解析版)

《导数的应用——导数与函数的单调性》达标检测

[A组]—应知应会

1．（春•内江期末）如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是　　

A． B． 

C．， D．，

【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．

【解答】解：当时，单调递减，

从图可知，当，，时，，

所以的单调递减区间为和．

故选：．

2．（春•潮州期末）函数在上是单调函数，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可．

【解答】解：依题意可知恒成立，

则△，从而，

故选：．

3．（春•黄山期末）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为，求出不等式的解集即可．

【解答】解：令，则，

故在递增，而，

故不等式即，解得：，

故选：．

4．（春•内江期末）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，则　　

A．（1）（2） B．（1）（2） C．（1）（2） D．（1）（2）

【分析】令，对求导，判断的单调性，从而得到（1）与（2）的大小关系，进一步得到答案．

【解答】解：令，则，

在上单调递增，

（1）（2），即（1）（2），

故选：．

5．（春•宜宾期末）已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【分析】可设，再设，根据，解得，即可求出，由不等式可得，解不等式即可．

【解答】解：令，，

，，，

，

，，

，即，解得，故选：．

6．（•山西模拟）新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，，人体肺部结构中包含，，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为，若在区间上为增函数，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据函数的单调性得到，求出的导数，得到其范围，求出的范围即可．

【解答】解：在区间上是增函数，

在上恒成立，

，，，

，

，，

在单调递增，，，

，

，

故选：．

7．（•沙坪坝区校级模拟）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，，下列不等式中一定成立的有　　

①；②；

③（1）；④．

A．①②③ B．②④ C．②③ D．③

【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性逐一判断即可．

【解答】解：由已知，则，

故在单调递减，

故，展开即为②；

由于，故，故③正确；

由于，

同理，相加得，故①正确；

取，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③，

故选：．

8．（春•运城期末）定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列一定判断正确的是　　

A．（2） B．（3）（2） 

C．（3） D．（3）

【分析】根据条件对任意的都有，，构造函数，则，可得在时单调递增．由，注意到；    ；代入已知表达式可得：，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果．

【解答】解：设，则，

对任意的都有；

则，则在，上单调递增；

；    ；

因为，

；

，所以关于对称，则（4），

在，上单调递增；

（3）（4）即（3），（3）；

即（3）成立．故正确；

（3），（2）故， 均错误；

（3）（2）（3）（2）．错误．

故选：．

9．（多选）（•泰安四模）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案．

【解答】解：根据题意，令，，则其导数，

又由，且恒有，

则有，

即函数为减函数，又由，则有，

即，分析可得；

又由，则有，

即，分析可得．

故选：．

10．（多选）（春•宿迁期末）若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”．已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是　　

A． B． C． D．

【分析】由题可知，函数和在区间上都是单调增函数．对求导得，可推出在区间、上为增函数．然后分和两类讨论的单调性，其中当时，需要构造函数，且用到了隐零点的思路．

【解答】解：函数是区间上的“一致递增函数”，

函数和在区间上都是单调增函数．

对于，有，

令，则或，即在区间、上为增函数．

对于，有，

当时，显然成立，即在上为增函数，区间可能为．

当时，令，则在上恒成立，即在上单调递减．

而，，

，使得，且在上恒成立，即在上恒成立．

在上为增函数，其中．

对比选项，可知符合题意，即区间可能为．

故选：．

11．（春•海淀区校级期末）函数的单调递减区间是　　       ．

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．

【解答】解：，

，

令，解得：，

故在递减，

故答案为：．

12．（春•菏泽期末）已知函数，若（1），则　 　；若函数在，单调递增，则实数的取值范围是　　．

【分析】求导得，把代入列出关于的方程，解之即可；

原问题可转化为在，上恒成立，参变分离后，有，设，，，再次求导，判断出函数在，上的单调性，并求出最大值即可得解．

【解答】解：，，

（1），

，解得．

函数在，单调递增，

在，上恒成立，即，

设，，，则，

当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．

（1）．

，即实数的取值范围是．

故答案为：2；．

13．（春•新余期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为　　         ．

【分析】由题可知，当时，有，于是构造函数，可知在上单调递增，而原不等式可以转化为（2），即，解之即可．

【解答】解：，当时，有，

令，则，

即在上单调递增，

对于不等式（2），

可转化为（2），

，解得，

不等式的解集为，．

故答案为：，．

14．（春•南平期末）已知函数为自然对数的底数，为常数且，在定义域内单调递减，则的取值范围　　       ．

【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可．

【解答】解：的定义域是，

，若在递减，

则在恒成立，

即在恒成立，

令，，

则，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，则（e），

则，

故答案为：，．

15．（•汉阳区校级模拟）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为　　        ．

【分析】令，则，已知：时，，可得：时，函数单调递减．由（1），利用函数的单调性，可得时，；时，．进而得出：当，，又为奇函数，当，．不等式可化为：，或，即可得出不等式的解集．

【解答】解：令，则，

时，，时，函数单调递减．

（1），

时，；时，．

时，；时，．

当，时，，又（1）（1），（1）．

当，，又为奇函数，

当，．

不等式可化为：

，或，

解得．

不等式的解集为：．

故答案为：．

16．（春•珠海期末）已知函数，

（1）求的单调区间；

（2）若，，求的值域．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）根据函数的单调性，求出函数的极值和端点值，求出函数的值域即可．

【解答】解：（1），

令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在，递增；

（2）若，，结合（1）得：

在，递增，在递减，在，递增；

而，，，（2），

故函数的值域是，．

17．（春•池州期末）已知函数，其中为常数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，结合二次函数的性质求出的范围即可．

【解答】解：（1）时，，

，

令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在，递增；

（2），，

函数在上单调递增，

在恒成立，

△，解得：，

故实数的范围是，．

18．（春•海淀区校级期末）已知，函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）时，，，

令，解得：或，令，解得：，

在递增，在递减，在递增；

（2），

令，

若函数在上单调递减，

则在恒成立，

则，

解得：，

故，．

 [B组]—强基必备

1．（2019春•德州期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为　　

A． B． C． D．

【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

【解答】解：，，

又，，

设，则，

，（2），

即不等式（2）等价为（2），

在是增函数且，

由（2），得，即，

综上可得，．

故选：．

2．（2019春•江岸区校级期末）设函数在上存在导数，当时，．且对任意，有，若，则实数的取值范围是　       　．

【分析】根据，构造函数，然后根据，可判断出的奇偶性与单调性，然后即可将转化为关于的不等式．

【解答】解：令，．

所以是奇函数，易知，．

当时，，，结合，在上是减函数．

，

，，．

，所以．

故的取值范围是，．

故答案为：，．

3．（2019春•广陵区校级月考）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若，使得，则实数的取值范围为　　        ．

【分析】构造函数，通过求导及奇偶性可确定其为减函数，进而可解决所给集合为，，后面的问题转化为即在，有解的问题，在引进函数，利用其递增性可解．

【解答】解：设，

则，

当时，，

故函数是上的单调递减函数，

又由，

可知，，

则函数是奇函数，

函数是上的单调递减函数．

由题设中，

可得，

可得，解得；

由，得，

问题转化为在，上有解，

即在，上有解，

令，，，

则，

故在，上单调递增，

则（1），

即．

故答案为：．