(新高考)高考数学一轮复习第33讲《数列的概念与简单表示》达标检测(解析版)

第33讲 数列的概念与简单表示（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•十堰期末）数列，，，，…的通项公式可能是an＝（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意，写出数列前4项，然后归纳出通项公式．

【解答】解：根据题意，数列的前4项为，，，，…

则有a1，

a2，

a3，

a4，

则数列的通项公式可以为an；

故选：C．

2．（春•安徽期末）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+2，则a8＝（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19

【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．

【解答】解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，

故选：A．

3．（春•遂宁期末）现有这么一列数：1，，，，___，，，…，按照规律，___中的数应为（　　）

A． B． C． D．

【分析】分别求出分子分母的规律即可求解结论．

【解答】解：由题意可得：分子为连续的奇数，分母依次为首项为1、公比为2的等比数列，

即其通项为：；

故括号中的数应该为．

故选：A．

4．（•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和，则a5﹣a1＝（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

【分析】数列{an}的前n项和，可得a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4，即可得出．

【解答】解：数列{an}的前n项和，

∴a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4＝（2×52+1）﹣（2×42+1）＝18．

则a5﹣a1＝18﹣3＝15．

故选：C．

5．（春•厦门期末）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（　　）

A．an＝3n﹣1 B．an＝2n﹣1 C．an＝3n D．an＝2n﹣1

【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．

【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，

因此{an}的通项公式可以是：an＝3n﹣1．

故选：A．

6．（春•西宁期末）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2•an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用数列{an}的前n项和 Sn＝n2an（n≥2），a1＝1，代入即可计算a2，a3，从而可以猜想an．

【解答】解：（1）∵Sn＝n2an，∴an+1＝Sn+1﹣Sn＝（n+1）2an+1﹣n2an

∴an+1an，

∴a2，

a3•，

猜测；an，

故选：B．

7．（春•北碚区校级期末）已知数列{an}的通项公式为an（n∈N*），其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2019中，有理数项的项数为（　　）

A．42 B．43 C．44 D．45

【分析】本题先要对数列{an}的通项公式an运用分母有理化进行化简，然后求出前n项和为Sn的表达式，再根据Sn的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．

【解答】解：由题意，可知：

an

．

∴Sn＝a1+a2+…+an

＝1

＝1．

∴S3，S8，S15…为有理项，

又∵下标3，8，15，…的通项公式为bn＝n2﹣1（n≥2），

∴n2﹣1≤2 019，且n≥2，

解得：2≤n≤44，

∴有理项的项数为44﹣1＝43．

故选：B．

8．（2019秋•江门月考）数列{an}的通项an＝﹣3n2+n+1，当an取最大值时，n＝（　　）

A．336 B．337 C．336或337 D．338

【分析】根据数列{an}的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当n取最大值时n的值．

【解答】解：依题意，an＝﹣3n2+n+1，表示抛物线f（n）＝3n2+n+1当n为正整数时对应的函数值，

又y＝3n2+n+1为开口向下的抛物线，

故到对称轴n距离越近的点，函数值越大，

故当n＝337时，an＝f（n）有最大值，

故选：B．

9．（春•武邑县校级月考）大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则大衍数列中奇数项的通项公式为（　　）

A． B． C． D．

【分析】取特殊值代入即可求解结论．

【解答】解：因为第一项为0，故D错；

第三项为4，故AC错；

故选：B．

10．（多选）（2019秋•肥城市校级月考）下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（　　）

A．an B．an＝sin2 

C．an＝cos2 D．an

【分析】分n为奇数和偶数分别验证即可．

【解答】解：可以验证，当n为奇数时，ABCD对应的项均为1，

当n为偶数时，ABCD对应的项均为0，

故选：ABCD．

11．（2019春•湖州期中）在数列中，第3项是　  　；是它的第　  　项．

【分析】根据题意，设该数列为{an}，易得an，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，设该数列为{an}，则数列的通项公式为an，

则其第三项a3，

若an，解可得n＝7，

故答案为：，7．

12．（2019春•瑞安市校级期中）已知数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝　 　．

【分析】根据题意，分析可得a4＝S4﹣S3，代入数据计算可得答案．

【解答】解：根据题意，数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝S4﹣S3＝42﹣32＝16﹣9＝7；

故答案为：7

13．（•浙江）已知数列{an}满足an，则S3＝　 　．

【分析】求出数列的前3项，然后求解即可．

【解答】解：数列{an}满足an，

可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，

所以S3＝1+3+6＝10．

故答案为：10．

14．（2019春•东海县期中）已知数列{an}的通项公式为．若a1＝1，a2＝3，则a7＝　   　．

【分析】由，a1＝1，a2＝3，可得：a+b＝1，a2+b2＝3，由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，解得b，a．不妨取b，a．即可得出a7．

【解答】解：∵，a1＝1，a2＝3，

∴a+b＝1，a2+b2＝3，

由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，

解得b，

∴b，a；b，a．

不妨取b，a．

可得：an，

则a7＝a7+b729．

故答案为：29．

15．（2019春•蚌埠期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝﹣3n2+37n，则数列{an}中最小正项是　 　项．

【分析】Sn＝﹣3n2+37n，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，n＝1时，a1＝S1．可得an，令an＞0，解得n，可得数列{an}中最小正项．

【解答】解：Sn＝﹣3n2+37n，

n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣3n2+37n﹣[﹣3（n﹣1）2+37（n﹣1）]＝﹣6n+40，

n＝1时，a1＝S1＝﹣3+37＝34．对于上式成立．

可得an＝﹣6n+40．

令an＝﹣6n+40＞0，解得n6．

∴数列{an}中最小正项是第6项．

故答案为：6．

16．（春•安徽期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，2n+1，则a1+a7＝　  　．

【分析】由题意利用数列的前n项和与第n项的关系，求得结果．

【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，2n+1，故 Sn＝2n2+n﹣1，

∴a1＝S1＝2，a7＝S7﹣S6＝（2×72+7﹣1）﹣（2×62+6﹣1）＝27，

则a1+a7＝2+27＝29，

故答案为：29．

17．（春•乐山期中）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n+1，则数列{an}的通项公式an＝　     　．

【分析】根据公式an计算，并检验是否可以合并．

【解答】解：n＝1时，a1＝S1＝4；

n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n+1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝2n+1，

n＝1时不符合上式，

∴an，

故答案为：．

18．（•芜湖模拟）18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一项除以10得到：0.4，0.7，1.0，1.6.2.8，5.2，10.0，…，这个数列称为提丢斯数列．则提丢斯数列的通项an＝　            ．

【分析】由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，可得：10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．验证n＝1，2时，即可得出．

【解答】解：由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，

∴10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．

n＝2时，a2＝0.7，也满足条件．

n＝1时，a1＝0.4．

故答案为：an，n∈N*．

19．（2019春•长宁区期末）已知数列{an}的通项公式为an．

（1）求这个数列的第10项；

（2）在区间（）内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请明理由．

【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式可得a10，即可得答案；

（2）根据题意，解可得n的取值范围，进而分析可得n的值，据此可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的通项公式为an，

则a10；

（2）根据题意，，解可得：n，

又由n为正整数，则n＝2，

则在区间（）内只存在数列的一项．

20．（2019秋•海林市校级期中）已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4

（1）数列中有多少项是负数？

（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

【分析】（1）令an＝n2﹣5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数；

（2）对an进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．

【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，

故数列中有两项为负数；

（2）an＝n2﹣5n+4，

因此当n＝2或3时，an有最小值，最小值为﹣2．

[B组]—强基必备

1．（2019秋•上城区校级月考）已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（　　）

A．515 B．896 C．1027 D．1792

【分析】根据条件，通过限定t的取值，先判断符合条件的项有多少，将数列问题转化为排列组合问题；再推断a121项所在的位置，进而求得a121的值．

【解答】解：当t＝2时，r只能取0，s只能取1，故符合条件的项有项；

当t＝3时，r和s从0，1，2中取两个，故符合条件的项有项；

同理，当t＝4时，符合条件的项有项；

以此类推可知，因为；

∴a121是当t＝10时，r，s，t所组成的最小的项，即r＝0，s＝1；

∴；

故选：C．

2．（2019春•徐汇区校级期末）设0＜α，若x1＝sinα，xn+1＝（sinα）（n＝1，2，3…），则数列{xn}是（　　）

A．递增数列 

B．递减数列 

C．奇数项递增，偶数项递减的数列 

D．偶数项递增，奇数项递减的数列

【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0＜sinα＜1，进而可得函数y＝（sinα）x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．

【解答】解：根据题意，0＜α，则0＜sinα＜1，

指数函数y＝（sinα）x为减函数，

∴（sinα）1＜（sinα）sinα＜（sinα）0＝1，

即，

∴，

即0＜x1＜x3＜x4＜x2＜1，

∴，

即0＜x1＜x3＜x5＜x4＜x2＜1，…，

0＜x1＜x3＜x5＜x7＜…＜x8＜x6＜x4＜x2＜1．

∴数列{xn}是奇数项递增，偶数项递减的数列

故选：C．

3．（•青浦区二模）定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则an＝　     　．

【分析】当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，则由此可求得an．

【解答】解：由题意得：当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，

{x{x}}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，

所以，当x∈（0，1]时，{x{x}}有1个；当x∈（1，2]时，{x{x}}有2个；当x∈（2，3]时，{x{x}}有3个；……，当x∈（n﹣1，n]时，{x{x}}有n个．

所以x∈（0，n]时，{x{x}}共有1+2+3+……+n个数．

故．

故答案为：．