(新高考)高考数学一轮复习第38讲《空间几何体的结构特征及表面积与体积》达标检测(解析版)

第38讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•道里区校级期末）下列说法正确的是　　

A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 

B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 

C．圆柱的上底面下底面互相平行 

D．五棱锥只有五条棱

【分析】对于，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线；对于，直角三角形绕其绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体；对于，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行；对于，五棱锥有十条棱．

【解答】解：对于，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线，故错误；

对于，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，

绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故错误；

对于，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故正确；

对于，五棱锥有十条棱，故错误．

故选：．

2．（春•秦淮区期末）底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是　　

A． B．1 C． D．

【分析】先求出正三棱柱的底面积，由此能求出正三棱柱的体积．

【解答】解：底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是：

．

故选：．

3．（春•苏州期末）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为　　

A． B． C． D．

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．

【解答】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，

则圆锥的侧面积为．

故选：．

4．（•天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．

【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，

所以，

所以，．

故选：．

5．（•新课标Ⅰ）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【分析】画出图形，利用已知条件求出，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．

【解答】解：由题意可知图形如图：的面积为，可得，则

，，

，

外接球的半径为：，

球的表面积：．

故选：．

6．（•济南模拟）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若，则圆柱的表面积为　　

A． B． C． D．

【分析】根据图形可以得出；代入圆柱的表面积公式即可得到结论．

【解答】解：由题意可得：；

；

故选：．

7．（•新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．

【解答】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，

则依题意有：，

因此有（负值舍去）；

故选：．

8．（•永康市模拟）连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为　　

A． B． C． D．

【分析】设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，求出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值．

【解答】解：解：设正方体的棱长是1，

构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，

以上面一个正四棱锥为例，

它的高等于正方体棱长的一半，

正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，

这个正四棱锥的体积是，

构成的八面体的体积是，

八面体的体积是，正方体体积是，．

故选：．

9．（春•达州期末）已知三棱锥四个顶点都在球上，，，．则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【分析】先求解出底面外接圆半径和高，结合球心在高线上，利用球心到各顶点距离等于球半径即可求解．进一步求出球的表面积．

【解答】解：由题知三棱锥 四个顶点都在球上，

故该球为三棱锥 的外接球，

在 中，，，

根据三角形的外接圆半径公式，

可得 的外接圆半径，

因此，三棱锥 的外接球半径，

因为，所以，

故三棱锥 的外接球半径为2，

根据球体的表面积公式，

可得球的表面积为．

故选：．

10．（春•临沂期末）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为　　

A．18 B．6 C．3 D．2

【分析】先求出正方体的内切球的体积，再求出正方体内切球半径，由此能求出正方体的棱长．

【解答】解：正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，

“牟合方盖”的体积为18，

正方体的内切球的体积，

设正方体内切球半径为，则，

解得，

正方体的棱长为．

故选：．

11．（春•韶关期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．现有一鳖臑如图所示，底面，，，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为　　

A． B．32 C． D．

【分析】根据三棱锥的体积求出的长，再求出三棱锥的表面积．

【解答】解：三棱锥的体积为，

所以，所以，

又底面，所以，

又，所以平面，

所以，所以，

，

所以这个鳖臑的表面积为

．

故选：．

12．（春•菏泽期末）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【分析】取中点，连接，求得并证明平面，再由棱锥体积公式求解．

【解答】解：如图，

取中点，连接，

三棱柱是正三棱柱，，

又正三角形的边长为1，．

而平面平面，且平面平面，

平面，又四边形是边长为1的正方形，

四棱锥的体积为．

故选：．

13．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球的体积．

【解答】解：如图，

由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，

则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接 并延长，交于，

则，又，，可得平面，则，

，分别是，的中点，，

又，即，，得平面，

正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为

．

半径为，则球的体积为．

故选：．

14．（多选）（春•沈阳期末）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是　　

A．正三棱锥高为3． B．正三棱锥的斜高为 

C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为

【分析】正三棱锥，底面是边长为3的等边三角形，侧棱长为，取中点，连结，，过作平面，交于，由此能求出正三棱锥高、斜高、体积和侧面积．

【解答】解：正三棱锥，底面是边长为3的等边三角形，

侧棱长为，

取中点，连结，，过作平面，交于，

，，

正三棱锥高为：，故正确；

正三棱锥的斜高为：，故正确；

正三棱锥的体积为：，故错误；

正三棱锥侧面积为：，故错误．

故选：．

15．（春•湖北期末）棱长为的正四面体的外接球的表面积为　　    ．

【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．

【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，

正方体的对角线长为，

正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，

外接球的表面积的值为．

故答案为：．

16．（•海南）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，则三棱锥的体积为　　   ．

【分析】由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．

【解答】解：如图，

正方体的棱长为2，、分别为、的中点，

，

．

故答案为：．

17．（•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：是　　     ．

【分析】利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．

【解答】解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，

设圆锥的母线长为，则，，

侧面展开扇形的弧长为，

设圆锥的底面半径，则，解得．

故答案为：．

18．（2019•全国）已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为3，则球的表面积为　　  ．

【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．

【解答】解：平面截球的球面所得圆的面积为，则圆的半径为1，

该平面与球心的距离，

球半径．

球的表面积．

故答案为：．

19．（•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　   ．

【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．

【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，

如图，圆锥母线，底面半径，

则其高，

不妨设该内切球与母线切于点，

令，由，则，

即，解得，

，

故答案为：．

20．（•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是　　       ．

【分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．

【解答】解：六棱柱的体积为：，

圆柱的体积为：，

所以此六角螺帽毛坯的体积是：，

故答案为：．

21．（2019•江苏）如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是　   　．

【分析】推导出，三棱锥的体积：，由此能求出结果．

【解答】解：长方体的体积是120，为的中点，

，

三棱锥的体积：

．

故答案为：10．

22．（春•济南期末）在①平面，②，③点在平面内的射影为的垂心．这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．

三棱锥中，，若_____，求三棱锥的体积．

注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分．

【分析】情形一：若选择①和②，由题意求出三角形的面积，又因为三棱锥的高即为的长度，于是直接利用三棱锥体积公式直接求解即可；

情形二：若选择①和③，由题意得到即为的垂心，进而求出的面积，又因为三棱锥的高即为的长度，于是直接利用三棱锥体积公式直接求解即可；

情形三：若选择②和③，由题意得到点在平面内的射影为的垂心即等边的中心，于是即为三棱锥的高，再利用三棱锥体积公式直接求解即可．

【解答】解：情形一：若选择①和②，

，，

为等边三角形，

，

平面，

即为点 到平面 的距离，且，

．

情形二：若选择①和③，

平面，

点 为点 在平面 内的射影，

又因为点 在平面 内的射影为 的垂心，

点 即为 的垂心，

，

，

，

平面，

即为点 到平面 的距离，且，

．

情形三：若选择②和③，

，，

为等边三角形，

，

设 的中心为点，则点即为 的垂心，

且，

因为点 在平面 内的射影为 的垂心，

平面，

即为点 到平面 的距离，

且，

．

23．（春•浦东新区校级期末）已知圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱的高为，体积为，圆柱的高为，体积为，其中．

（1）求的值；

（2）求的值．

【分析】（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的底面半径为，由题意列式求得，的值，则的值可求；

（2）由（1）求得，，，的值，代入圆柱体积公式可得，，则答案可求．

【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的底面半径为，

已知圆柱的高为，圆柱的高为，．

由圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，

可得：，；

（2）由（1）可得，，，，．

，．

．

24．（春•威宁县期末）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（Ⅰ）试计算出图案中圆柱与球的体积比；

（Ⅱ）假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．

【分析】（Ⅰ）球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，设为，先求出圆柱的体积和球的体积，由此能求出图案中圆柱与球的体积比．

（Ⅱ）假设球半径，利用圆锥的体积公式和表面积公式直接求解．

【解答】解：（Ⅰ）球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，设为，

则圆柱的体积，

球的体积，

图案中圆柱与球的体积比为：．

（Ⅱ）假设球半径，

图案中圆锥的体积为：．

圆锥的表面积为：．

[B组]—强基必备

1．（•湖北模拟）已知，，，是半径为3的球面上四点，其中过球心，，则三棱锥的体积是　　

A． B． C． D．

【分析】由余弦定理得，设外接圆的半径为，由正弦定理，得．球心到平面的距离．由此能求出三棱锥的体积．

【解答】解：，，，是半径为3的球面上四点，

其中过球心，，

由余弦定理得，，

设外接圆的半径为，

则由正弦定理，得，解得．

球心到平面的距离．

三棱锥的体积：

．

故选：．

2．（•安徽模拟）如图，在平面四边形中，满足，，且，．沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为　　

A．12 B． C． D．

【分析】过点作于，连结，推导出平面，当最大时，取得最大值，取的中点，则，推导出点到以为焦点的椭圆上，的最大值为对应短半轴长，由此能求出三棱锥体积的最大值．

【解答】解：过点作于，连结，

由题意知，，且，

平面，

，

当最大时，取得最大值，

取的中点，则，

，

，，点到以为焦点的椭圆上，

的最大值为对应短半轴长，

最大值为，最大值为，

三棱锥体积的最大值为．

故选：．

3．（•安阳二模）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为　　       ．

【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：，交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形为边长为的棱形，设的中点为，连结，，由题意得为四棱锥的高，求出，由此能求出这个几何体的体积．

【解答】解：该几何体的直观图如图所示，

该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，

两个四棱柱的体积和为：，

交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍，

在等腰中，，边上的高为2，则，

由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形为边长为的棱形，

设的中点为，连结，，由题意得为四棱锥的高，

在中，，

又，，

，，

这个几何体的体积为．

故答案为：．