(新高考)高考数学一轮复习第50讲《双曲线》达标检测(解析版)

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《双曲线》达标检测

[A组]—应知应会
1．（•红岗区校级模拟）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的焦距为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出b，然后求解c，即可求解双曲线的焦距．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是，
可得b＝2，所以c＝＝3，
所以双曲线的焦距为6．
故选：B．
2．（•安徽模拟）已知双曲线的离心率为2．则其渐近线的方程为（　　）
A． B． C． D．x±y＝0
【分析】通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线的离心率为2．
可得：，即1+＝4，
可得＝，
则双曲线C的渐近线方程为：x±y＝0．
故选：A．
3．（•天津二模）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的一条渐近线方程，利用已知条件求解a即可．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点（1，0），双曲线的一条渐近线x+ay＝0，
抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，
可得，解得a＝1．
所以双曲线的实轴长为2．
故选：D．
4．（春•成都月考）已知双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y＝0和x﹣y＝0，则该双曲线的离心率是（　　）
A． B．或 C．或 D．
【分析】通过双曲线的焦点坐标的位置，结合双曲线的渐近线方程可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，
得＝，设a＝t，b＝t，则c＝t（t＞0），
∴该双曲线的离心率是e＝，
双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，
得＝，设b＝t，a＝t，则c＝t（t＞0），
∴该双曲线的离心率是e＝，
故选：B．
5．（•东湖区校级三模）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E右支上一点．若MF1恰好被y轴平分，且∠MF1F2＝30°，则E的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
【分析】利用已知条件判断M的位置，然后得到a，b的关系，即可推出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E右支上一点，
若MF1恰好被y轴平分，
则MF2垂直x轴，因为∠MF1F2＝30°，
所以＝tan∠MF1F2，可得，2ac＝b2，可得4a4+4a2b2＝3b4，
可得，则＝．
则E的渐近线方程为y＝±x．
故选：B．
6．（•让胡路区校级三模）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，设垂足为A，O为坐标原点．若△ABC的面积为a2，则cos∠OFA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件，通过三角形的面积，得到关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：由题意得|OA|＝a，|FA|＝b，∠OAF＝90°，
所以，得b＝2a，
所以，，
故选：D．
7．（•河南模拟）已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为（　　）
A． B．15 C．16 D．
【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可．
【解答】解：由题意，
则＝||||cos＜，＞＝||2，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，
设M（m，n），则：m2﹣＝1，
||2＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，当m＝时，表达式取得最小值：．
故选：D．

8．（•南岗区校级模拟）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限．连结AF2并延长交E于P，连结BF2，PB，若△BF2P是以∠BF2P为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设双曲线的半焦距为c，|BF2|＝|PF2|＝t，首先判断四边形AF1BF2为平行四边形，可得∠F1AF2＝90°，连接PF1，运用双曲线的定义，在直角三角形AF1F2和直角三角形PAF1中，运用勾股定理，化简可得a，c的关系式，即可得到所求离心率．
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，|BF2|＝|PF2|＝t，
由|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可得四边形AF1BF2为平行四边形，
则|AF1|＝|BF2|＝t，且∠F1AF2＝90°，
连接PF1，由双曲线的定义可得|PF1|＝|PF2|+2a＝t+2a，
又|AF2|＝|AF1|﹣2a＝t﹣2a，
在直角三角形AF1F2中，可得t2+（t﹣2a）2＝4c2，①
在直角三角形PAF1中，可得t2+（2t﹣2a）2＝（t+2a）2，
化为t＝3a，代入①可得9a2+a2＝4c2，
即有c＝a，即e＝＝．
故选：C．

9．（•吉林模拟）已知是双曲线的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2＝a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
【分析】设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|＝2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|＝，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．
【解答】解：由题意，A（0，a），设F′为双曲线的右焦点，则|PF|＝2a+|PF′|，F（﹣，0），F′（，0）．
∴|PA|+|PF|＝|PA|+2a+|PF′|＝2a+（|PA|+|PF′|）≥2a+|AF′|＝2a+，
三点P，A，F′共线时取等号．
所以2a+＝4，解得a＝1，故实轴长为2．
故选：B．
10．（•武昌区校级模拟）双曲线C的方程为：，过右焦点F作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线右支交于点M，点M恰好为PF的中点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】由题意画出图形，结合已知求出M的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可．
【解答】解：双曲线C的方程为：，渐近线方程为：bx±ay＝0，
F（c，0），如图：FA的方程为：与OP方程的交点P（，），
点M恰好为PF的中点，M（，﹣），代入双曲线方程可得：，，可得e2＝2，e＞1，
得e＝．
故选：A．

11．（多选）（春•厦门期末）已知F1，F2是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是（　　）
A．∠PF2F1＝ B．|MF2|＝|PF1|
C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为y＝x
【分析】结合三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可判断A，B；由锐角三角函数的定义和双曲线的定义、离心率公式和渐近线方程，可判断C，D．
【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，
可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确；
设|F1F2|＝2c，则|PF1|＝＝c，|PF2|＝2ctan30°＝c，
则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝c，可得e＝＝，
＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x即为y＝±x．
故C，D正确．
故选：BCD．

12．（多选）（春•凌源市期末）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，则下列表述正确的有（　　）
A．a＞b
B．a＝2b
C．双曲线E的离心率为
D．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E的焦点在x轴上
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出b与a的关系，求出离心率，然后判断选项的正误即可．
【解答】解：双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，可得，
所以A，B不正确；双曲线的离心率为：e＝＝＝，
所以C正确；
在平面直角坐标系xOy中，由双曲线方程可知，双曲线E的焦点在x轴上，所以D正确．
故选：CD．
13．（•北京）已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为　 　；C的焦点到其渐近线的距离是　　 ．
【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1，则c2＝a2+b2＝6+3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为（3，0），
其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
则点（3，0）到渐近线的距离d＝＝，
故答案为：（3，0），．
14．（•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为　　 ．
【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，
由题意可得＝，所以离心率e＝＝＝，
故答案为：．
15．（春•平谷区期末）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为　 　．
【分析】利用已知条件，求出a，c，求解b，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），
可得a＝1，c＝3．
则b＝2．
所以双曲线的渐近线方程为：y＝x．
故答案为：y＝x．
16．（春•平谷区期末）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为　 　．
【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．
【解答】解：如图，
由抛物线方程y2＝4x，得抛物线的焦点坐标F（1，0），
即双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为F（1，0），
双曲线的渐近线方程为y＝±x．
不妨取y＝，化为一般式：bx﹣ay＝0．
则＝，即4b2＝3a2+3b2，
又a2＝1﹣b2，联立解得：a2＝，∴a＝．
则双曲线的离心率为：e＝＝＝2
故答案为：2．

17．（•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为　 　．
【分析】利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点（c，0），A为C的右顶点（a，0），
B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以B（c，），
若AB的斜率为3，可得：，
b2＝c2﹣a2，代入上式化简可得c2＝3ac﹣2a2，e＝，
可得e2﹣3e+2＝0，e＞1，
解得e＝2．
故答案为：2．
18．（春•成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在第一象限的双曲线C上，且PF2⊥x轴，△PF1F2内一点M满足+2+3＝，且点M在直线y＝2x上，则双曲线C的离心率为　　 ．
【分析】由PF1F2内一点M满足，可得S：S：S＝3：2：1，
即可求得M（，），即可得，⇒3（c2﹣a2）＝4ac，
从而求得双曲线C的离心率．
【解答】解：∵点P在第一象限的双曲线C上，且PF2⊥x轴，
∴P（c，y0），，解得：y0＝．
∵△PF1F2内一点M满足，
如图，取，，
则有，故M为△ABF2的重心，
∴S△MAB＝S＝S＝，
又，S＝，S＝，
∴S：S：S＝3：2：1，
∴S＝，即yM＝＝，
S＝，即xM＝，
综上，M（，），
∵点M在直线y＝2x上，∴，⇒3（c2﹣a2）＝4ac，
⇒3e2﹣4e﹣3＝0，e＝，（负值舍去）
则双曲线C的离心率为，
故答案为：．

19．（2019秋•城关区校级期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，试求的值．
【分析】（1）通过离心率设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解双曲线方程即可．
（2）求出焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合已知条件求解即可．
【解答】解：（1）∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0）．
∵双曲线过点，∴16﹣10＝λ，即λ＝6．∴双曲线的方程为x2﹣y2＝6．
（2）由（1）可知，a＝b＝，得c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），，
从而
由于点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，故．
20．（2019秋•河西区期末）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M（，﹣）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
【分析】（Ⅰ）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程．
（Ⅱ）利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，
∴设双曲线的方程为（λ≠0），
代入M（，﹣）．得λ＝，
故双曲线的方程为：．
（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故离心率e＝．
其渐近线方程为y＝±x；实轴长为2，
焦点坐标F（，0），解得到渐近线的距离为：＝．
21．（春•山东月考）已知双曲线C的离心率为，且过（，0）点，过双曲线C的右焦点F2，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；
（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积．
【解答】解：（1）有题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝6，
所以双曲线的方程：﹣＝1；
（2）由（1）可得F2（3，0），F1（﹣3，0），
由题意设y＝（x﹣3），设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与双曲线的方程：，整理可得：x2﹣18x+33＝0，x1+x2＝18，x1x2＝33，
可得y1﹣y2＝[（x1﹣﹣3）﹣（x2﹣3）]＝（x1﹣x2），
所以SAOB＝|y1﹣y2|＝＝•＝36，
即△AOB的面积为36．
22．（2019秋•广陵区校级月考）双曲线C：﹣＝1的左右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知△PF1F2的重心为G，内心为I．
（1）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；
（2）若IG∥F1F2，求点P的坐标．
【分析】（1）由曲线方程求得a与c的值，在焦点三角形PF1F2中，由双曲线定义及余弦定理求得|PF1||PF2|，再由三角形面积公式求解；
（2）P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则G（），利用三角形面积相等及G与I的纵坐标求得|PF2|，再由两点间的距离公式及P在双曲线上列方程组求解．
【解答】解：（1）如图，由双曲线方程﹣＝1，得a2＝4，b2＝5，c2＝9，
∴a＝2，c＝3．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝4，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mn•cos60°，
即36＝（m﹣n）2+mn＝16+mn，得mn＝20．
∴△PF1F2的面积S＝；
（2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则G（），
设△PF1F2的内切圆的半径为r，则
，
于是，得r＝．
由IG∥F1F2，知，即m+n＝4c＝12．
又m﹣n＝2a＝4，解得n＝4．
因此，，解得．
∴点P的坐标为（4，）．

23．（•大同模拟）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．
【分析】（1）由题意可得c的值，再由点F到直线的距离为，可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程；
（2）设弦AB所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得AB的中点M的坐标，再由椭圆可得弦CD的中点N的坐标，分别讨论当MN的斜率存在和不存在两种情况可得直线MN恒过定点．
【解答】解：（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，
所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；
（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有中点M（+2，），
联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，
因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，
y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，
所以M（，）；
（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；
（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，
同理可得N的坐标（，﹣），
①当直线MN不垂直于x轴时，
直线MN的斜率kMN＝＝，
将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），
化简可得y＝（x﹣3），
所以直线MN恒过定点P（3，0）；
②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；
综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．

[B组]—强基必备
1．（2019秋•运城期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t，则t的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x＝c，解得y，可得|AB|，由双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
渐近线方程为y＝±x，
令x＝c，解得y＝±，
可得|AB|＝，
|AB|＝3，
即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，
解得b＝，c＝3，
即有双曲线的方程为，
由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值4+5；
若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值5﹣4．
综上可得，所求最小值为5﹣4．
故选：D．

2．（春•未央区校级月考）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为　　 ．

【分析】双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得直线AF2的方程为y＝（x﹣c），联立双曲线的方程可得A的坐标，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a，c的方程，结合离心率公式可得所求值．
【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可得直线AF2的方程为y＝（x﹣c），
联立双曲线（b＞a＞0），可得A（，），
设|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由三角形的面积的等积法可得（m+n+2c）＝•2c•，
化简可得m+n＝﹣4a﹣2c①
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a②
在三角形AF1F2中nsinθ＝，（θ为直线AF2的倾斜角），
由tanθ＝，sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，
可得n＝，③
由①②③化简可得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，
即为（3c﹣5a）（c+a）＝0，
可得3c＝5a，则e＝＝．
故答案为：．
3．（2019秋•雁峰区校级月考）已知P为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当＝时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为　　 ．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由已知向量等式把P的坐标用A，B的坐标表示，代入双曲线方程，结合A，B分别在双曲线的渐近线上可得，由双曲线的对称性结合角的关系求得sin∠AOB，再由三角形面积公式列式求解a，则答案可求．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由，得，
则，
∴．
由题意知A在直线y＝上，B在y＝﹣上，则，．
∴，即，
化简得：，
由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin2∠AOx
＝＝＝．
∴△AOB的面积为
＝＝
＝＝，解得a＝．
∴双曲线C的实轴长为．
故答案为：．