(新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.1《导数的概念及其意义、导数的运算》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.1《导数的概念及其意义、导数的运算》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，落实主干知识，f′x0，αxα－1，cosx，－sinx，axlna，cf′x，y′u·u′x，y＝e－1x＋2等内容，欢迎下载使用。
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
(2)函数y＝f(x)的导函数
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[cf(x)]′＝ .
5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cs (－x).(　　)
∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
2.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______.
f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
1.函数y＝sin 2x－cs 2x的导数y′等于
y′＝2cs 2x＋2sin 2x
2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excs x，则f(2 021)－f(0)等于A.e2 021cs 2 021 B.e2 021sin 2 021C. D.e
因为f′(x)＝exsin x＋excs x，所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
跟踪训练1　(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于A.1 　　　B.2 　　　C.3 　　　 D.4
当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
(2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝___.
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.
例2　(1)(2021·全国甲卷)曲线y＝　　　在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.
所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为_____________.
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2　求参数的值(范围)
例3　(1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　 D.1
∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是__________.
由y′＝aex，若切点为(x0，　)，则切线方程的斜率k＝　　　 ＝　 >0，∴切线方程为y＝　 (x－x0＋1)，又P(1，e)在切线上，∴　 (2－x0)＝e，
令φ(x)＝ex(2－x)，∴φ′(x)＝(1－x)ex，当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).
1.已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为A.(1,3) B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3) D.(1，－3)
设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，
又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).
2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋ x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)C.(－∞，2] D.(－∞，4]
故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.
跟踪训练2　(1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则
设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n切于点(x0， 　　)，因为y′＝ex－2n，所以　 　 ＝1，所以x0＝2n，所以切点为(2n,1)，代入直线方程得1＝2n＋m，
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是__________.
直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).
例4　(1)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于A.0 　　B.－1 　　 C.3 　　D.－1或3
由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，
即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.
(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为__________.
由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，由y＝ex，得y′＝ex，曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，
与曲线C2切于点(x2，　)，
可得2x2＝x1＋2，
当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增.
延伸探究　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.
由本例(2)知，∵两曲线C1与C2存在两条公共切线，
∴a＝　　有两个不同的解.
∵函数f(x)＝　　在(0,2)上单调递减，
又x→0时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，
1.若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于A.1 　　　B.2　　　 C.3　　　 D.3或－1
解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
2.已知曲线y＝ex在点(x1，　)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于A.－1　　 　B.－2 　　　C.1 　　　 D.2
已知曲线y＝ex在点(x1，　)处的切线方程为y－　 ＝　 (x－x1)，即
所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.
跟踪训练3　(1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为A.2 　　　 B.5 　　　C.1 　　　 D.0
根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________________.
设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝　，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝　 ，∴切点为(x1，　)，切线斜率k＝　 ，∴切线方程为y－　 ＝　 (x－x1)，即y＝　 ·x－x1　 ＋　，①同理设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，∴y2＝ln x2＋2，
切点为(x2，ln x2＋2)，
由题意知，①与②相同，
把③代入④有　　　　　 ＝－x1＋1，即(1－x1)(　 －1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是A.(x－2)′＝－2xB.(xcs x)′＝cs x－xsin xC.(ln 10)′＝　D.(e2x)′＝2ex
(x－2)′＝－2x－3，∴A错；(xcs x)′＝cs x－xsin x，∴B对；(ln 10)′＝0，∴C错；(e2x)′＝2e2x，∴D错.
2.(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y＝2cs x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为A.x－y＋π－2＝0 B.x－y－π＋2＝0C.x＋y＋π－2＝0 D.x＋y－π＋2＝0
y′＝－2sin x＋cs x，当x＝π时，k＝－2sin π＋cs π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.
3.(2022·长治模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于A.－1 　　　B.0 　　 　C.2 　　　D.4
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
4.已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为
当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值.
5.设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cs　 ＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为A.0 　　　 B.π　　　 C.－2 　　　 D.3
∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.
6.(2022·邢台模拟)设点P是函数f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－1>－1.∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴tan α>－1.∵α∈[0，π)，
7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是A.f′(3)>f′(2)B.f′(3)f′(3)D.f(3)－f(2)f′(3)>0，故A错误，B正确.设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
由图知f′(3)