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    (新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.2《导数与函数的单调性》(含解析)
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    (新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.2《导数与函数的单调性》(含解析)

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    这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.2《导数与函数的单调性》(含解析),共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识,单调递增,单调递减,常数函数,定义域,1+∞,探究核心题型,0ln2,含参数的函数的单调性,函数单调性的应用等内容,欢迎下载使用。

    1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过 三次).
    LUOSHIZHUGANZHISHI
    1.函数的单调性与导数的关系
    2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的 ;第2步,求出导数f′(x)的 ;第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
    1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)<0有解.
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(  )(2)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(  )(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(  )(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(  )
    1.f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是
    由f′(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,∴f(x)单调递增;当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,∴f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)单调递增.
    2.函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间为__________.
    f(x)的定义域为R, f′(x)=(x-1)ex,令f′(x)=0,得x=1,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
    f′(x)=x2-3x+a,且f(x)的单调递减区间为[-1,4],∴f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],∴-1,4是方程f′(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4.
    TANJIUHEXINTIXING
    例1 (1)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)
    不含参数的函数的单调性
    令f′(x)=0,得x=1,∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
    f(x)的定义域为(0,+∞),
    φ(x)在(0,+∞)上单调递减,且φ(1)=0,∴当x∈(0,1)时,φ(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
    A.(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)D.(-∞,-2)∪(0,+∞)
    令g′(x)>0,解得0确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
    跟踪训练1 (1)已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cs x,则f(x)的单调递增区间为_______________.
    f′(x)=1-2sin x,x∈(0,π).
    (2)函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为______________________,单调递减区间为________.
    (-∞,0),(ln 2,+∞)
    f(x)的定义域为R,f′(x)=xex-2x=x(ex-2),令f′(x)=0,得x=0或x=ln 2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表,
    ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),单调递减区间为(0,ln 2).
    例2 已知函数f(x)= ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.
    函数的定义域为(0,+∞),
    ∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
    当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
    延伸探究 若将本例中参数a的范围改为a∈R,其他条件不变,试讨论f(x)的单调性?
    当a>0时,讨论同上;当a≤0时,ax-1<0,∴x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
    讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=x-aln x;
    令f′(x)=0,得x=a,①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,②当a>0时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
    综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
    (2)g(x)=(x-a-1)ex-(x-a)2.
    g(x)的定义域为R,g′(x)=(x-a)ex-2(x-a)=(x-a)(ex-2),令g′(x)=0,得x=a或x=ln 2,①当a>ln 2时,x∈(-∞,ln 2)∪(a,+∞)时,g′(x)>0,x∈(ln 2,a)时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减.②当a=ln 2时,g′(x)≥0恒成立,∴g(x)在R上单调递增,
    ③当a0,x∈(a,ln 2)时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,a),(ln 2,+∞)上单调递增,在(a,ln 2)上单调递减.综上,当a>ln 2时,g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减;当a=ln 2时,g(x)在R上单调递增;当a(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.
    由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
    设g(x)=x2-ax+2,g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
    此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    有f′(x)=0,对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
    命题点1 比较大小或解不等式
    因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
    (2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为__________.
    f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,
    当且仅当x=0时取“=”,∴f(x)在R上单调递增,又f(0)=1,∴原不等式可化为f(2x-3)>f(0),
    命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
    由题意得f′(x)=ex(sin x+a)+excs x
    ∴-1+a≥0,解得a≥1,即a∈[1,+∞).
    2.(2022·株州模拟)若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则a的取值范围为__________.
    由f(x)=ax3+x,得f′(x)=3ax2+1.若a≥0,则f′(x)>0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不满足题意;
    根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
    又m<0,则(x-3)f′(x)>0,当x>3时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x<3时,f′(x)<0,f(x)单调递减;所以f(2)>f(3),f(4)>f(3),所以f(2)+f(4)>2f(3).
    (2)(2022·安徽省泗县第一中学质检)函数f(x)=  在(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围为__________.
    由f′(x)>0得0e.所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
    KESHIJINGLIAN
    1.函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是
    f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ln x,
    2.已知函数f(x)=x(ex-e-x),则f(x)A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
    因为f(x)=x(ex-e-x),x∈R,定义域关于原点对称,且f(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,当x>0时,f′(x)=ex-e-x+x(ex+e-x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    3.(2022·长沙调研)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是
    故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.
    4.(2022·深圳质检)若函数f(x)=-x2+4x+bln x在区间(0,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.(-∞,-2] D.[-2,+∞)
    ∵f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,∴f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,
    即b≤2x2-4x,∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2,∴b≤-2.
    依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.对于A,g(x)=xex,g′(x)=(x+1)ex,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”;对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”;对于C,g(x)=xln x,g′(x)=1+ln x,
    故C中函数不是“F函数”;
    对于D,g(x)=xsin x,g′(x)=sin x+xcs x,
    故D中函数不是“F函数”.
    6.(多选)(2022·河北衡水中学月考)下列不等式成立的是
    所以当00,函数f(x)单调递增;当x>e时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
    即2ln  < ln 2,故选项A正确;
    因为e<4<5,所以f(4)>f(5),即5ln 4>4ln 5,故选项C不正确;因为e<π,所以f(e)>f(π),即π>eln π,故选项D正确.
    由题设,f′(x)=x2+2mx+n,由f(x)的单调递减区间是(-3,1),得f′(x)<0的解集为(-3,1),则-3,1是f′(x)=0的解,∴-2m=-3+1=-2,n=1×(-3)=-3,可得m=1,n=-3,故m+n=-2.
    8.(2021·新高考全国Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):__________________________________________.①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0;③f′(x)是奇函数.
    f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N*)均满足)
    f′(x)=4x3,x>0时有f′(x)>0,满足②,f′(x)=4x3的定义域为R,又f′(-x)=-4x3=-f′(x),故f′(x)是奇函数,满足③.
    9.已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x.(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
    当02时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当1(2)若函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
    g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增,
    所以x2-2x-2a≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
    10.已知函数f(x)=     ,a∈R.(1)若f(x)在x=1处的切线与直线y=x-1垂直,求a的值;
    (2)讨论f(x)的单调性.
    f(x)的定义域为R,
    若2-a>0,即a<2,当x∈(-∞,0)∪(2-a,+∞)时,f′(x)<0,当x∈(0,2-a)时,f′(x)>0;若2-a=0,即a=2,f′(x)≤0;若2-a<0,即a>2,
    当x∈(-∞,2-a)∪(0,+∞)时,f′(x)<0,当x∈(2-a,0)时,f′(x)>0.综上有当a>2时,f(x)在(-∞,2-a),(0,+∞)上单调递减,在(2-a,0)上单调递增;当a=2时,f(x)在R上单调递减;当a<2时,f(x)在(-∞,0),(2-a,+∞)上单调递减,在(0,2-a)上单调递增.
    因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,
    所以a>-1,所以a的取值范围是(-1,+∞).
    所以函数f(x)为偶函数,所以a=f(   )=f(-lg32)=f(lg32),又f′(x)=-sin x+x,
    因为0所以由单调性可得b13.函数f(x)=2sin x-cs 2x,x∈[-π,0]的单调递增区间为_____________________.
    因为f(x)=2sin x-cs 2x,x∈[-π,0],所以f′(x)=2cs x+2sin 2x=2cs x(1+2sin x).令f′(x)>0,
    14.(2022·丽水模拟)设函数f(x)=ln(x+a)+x2.若f(x)为定义域上的单调函数,则实数a的取值范围为___________.
    ∵f(x)为定义域上的单调函数,∴f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立,又f(x)=ln(x+a)+x2的定义域为(-a,+∞)
    ∴f′(x)≥0恒成立,
    即[f′(x)]min≥0.
    15.(2022·景德镇模拟)设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x,则满足f(x)+f(5-3x)<0的x的取值范围为
    因为f(x)=sin x+ex-e-x-x,所以f(-x)=sin(-x)+e-x-ex+x=-(sin x+ex-e-x-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f′(x)=cs x+ex+e-x-1,
    所以f′(x)=cs x+ex+e-x-1>0,所以f(x)在R上单调递增,
    所以由f(x)+f(5-3x)<0,得f(x)<-f(5-3x)=f(3x-5),因为f(x)在R上单调递增,
    16.(2022·合肥质检)已知函数f(x)=  .(1)若a>0,求f(x)的单调区间;
    f(x)的定义域为{x|x≠0},
    ∵a>0,∴当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
    ∵∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,
    即函数g(x)=f(x)-2x在区间[1,3]上单调递减,
    当x=1时,不等式可化为-2≤0显然成立;
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