(新高考)高考数学一轮复习课件第4章§4.1《任意角和弧度制、三角函数的概念》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第4章§4.1《任意角和弧度制、三角函数的概念》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，落实主干知识，2分类，象限角，半径长，探究核心题型，角及其表示，二象限或，y轴的非负半轴上，∵α是第三象限角等内容，欢迎下载使用。

1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的　　旋转所成的图形.
按旋转方向不同分为　　、　　、　　.按终边位置不同分为　　　和轴线角.
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　　.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.(2)公式
3.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝ ，cs α＝ ，tan α＝ (x≠0).(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 .(　　)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(　　)(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限.(　　)
1.若sin α<0，且tan α>0，则α是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为_____.
3.若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cs α＝______.
TANJIUHEXINTIXING
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
(2)已知α为第三象限角，则 是第_______象限角，2α是________________________________的角.
4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
1.角－2 023°是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
∵－2 023°＝－6×360°＋137°，∴它是第二象限角.
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
例2　一扇形的圆心角α＝ ，半径R＝10 cm，求该扇形的面积.
延伸探究1.若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
2.若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
1.若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于
设扇形的半径为r cm，如图.
2.已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为_____.
设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值.
应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
由题意得，“弓”所在的弧长为
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
设扇形的圆心角为α，半径为r.
所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
例3　(1)若sin θ·cs θ<0， >0，则角θ是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.
由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，
(3)已知α的终边过点(x,4)，且cs α＝ ，则tan α＝_____.
方法二　由三角函数定义知，
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置.(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
KESHIJINGLIAN
1.若α是第四象限角，则π＋α是第________象限角A.一 B.二 C.三 D.四
故π＋α是第二象限角.
2.(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是A.{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B.{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}C.{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}D.{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}.
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是
如图，取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1 rad，
4.(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则A.sin α>0，cs α>0B.sin α>0，cs α<0C.sin α<0，cs α>0D.sin α<0，cs α<0
所以α＝－5为第一象限的角，所以sin α>0，cs α>0.
对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；由cs θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C正确；对于D，若θ是第二象限角，
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；若角α的终边在直线y＝－3x上，
7.若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cs α＝_____.
8.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为______.
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，所以α是第四象限角.
10.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；
由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
11.设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是A.M∩N＝∅ B.MNC.NM D.M＝N
M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，∴NM.
故角α的终边在第四象限，
14.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是________.
根据切线的性质知OA⊥AP，
又由sin α·cs β<0知，sin α<0，
所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，
16.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？