新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题8.2《 二项式定理的应用》（含解析）

专题8.2  二项式定理的应用

一、单选题

1、(2020届山东省滨州市高三上期末)展开式中项的系数为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的展开式通项为：

当，即时，

项的系数为：

本题正确选项：

2、(2020年高考北京)在的展开式中，的系数为(   )

A．  B．5 

C．  D．10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

3、(2020届山东省临沂市高三上期末)的展开式的中间项为(    )

A．-40 B． C．40 D．

【答案】B

【解析】的展开式的通项为

则中间项为.

故选：B.

4、(2020届山东省潍坊市高三上期中) 展开式中的系数为(    )

A．-112 B．28 C．56 D．112

【答案】D

【解析】由．

取，得．

展开式中的系数为．

故选：D.

5、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20      D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为，故选A．

6、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)的展开式中x3y3的系数为(   )

A．5  B．10 

C．15  D．20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为(且)

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C.

7、(2020·吉林省吉大附中高二月考)若的展开式中含有常数项，则的最小值等于(   )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】由题意的展开式的 ，

令 ，得，当 时，取到最小值5，故答案为C．

8、(2020届浙江省温州市高三4月二模)若，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，故，

，

根据对称性知：.

故选：.

9、(2020·河北衡水中学高三月考)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为(  )

A．14 B． C．240 D．

【答案】C

【解析】二项展开式的第项的通项公式为

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.

解得：.

所以

令，解得：，所以的系数为，故选C

10、(2020·贵州省贵阳一中高三月考)在二项式的展开式中,各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为(   )

A．18 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】令,可得各项系数之和;各项二项式系数之和;而=,解得;所以,其通项=,令,可得展开式中常数项为.故选C.

二、多选题

11、(2020·枣庄市第三中学高三月考)对任意实数x，有.则下列结论成立的是(    )

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【解析】对任意实数x，

有[﹣1+2(x﹣1)]9，

∴a222＝﹣144，故A正确；

故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；

令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；

令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正确；故选：ACD.

12、(2020·山东省日照实验高级中学高三月考)对于二项式，以下判断正确的有(    )

A．存在，展开式中有常数项；            B．对任意，展开式中没有常数项；

C．对任意，展开式中没有的一次项；    D．存在，展开式中有的一次项.

【答案】AD

【解析】设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD

13、对于二项式，以下判断正确的有(    )

A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，展开式中有常数项

C．对任意，展开式中没有x的一次项 D．存在，展开式中有x的一次项

【答案】BD

【解析】展开式的通项为：，

取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；

取，取，时成立，故错误正确；

故选：.

14、(2021年徐州一中月考)对于的展开式，下列说法正确的是(    )

A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240

C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64

【答案】CD

【解析】

的展开式共有7项，故A错误；

的通项为，

令，展开式中的常数项为，故B错误；

令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；

的展开式中的二项式系数之和为，故D正确.

故选：.
15、已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有(    )

A．

B．展开式中常数项为160

C．展开式系数的绝对值的和1458

D．若为偶数，则展开式中和的系数相等

【答案】ACD

【解析】对于A，

令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，

，故A正确；

对于B，

，

展开式的通项为，

当展开式是中常数项为：令,得

可得展开式中常数项为：，

当展开式是中常数项为：

令,得(舍去)

故的展开式中常数项为.故B错误；

对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等

，令，可得：

展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；

对于D，

展开式的通项为，

当为偶数，保证展开式中和的系数相等

①和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

②和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

③和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

故D正确；

综上所在，正确的是：ACD

故选：ACD.

16、对于二项式，以下判断正确的有(    )

A．存在，展开式中有常数项；

B．对任意，展开式中没有常数项；

C．对任意，展开式中没有的一次项；

D．存在，展开式中有的一次项.

【答案】AD

【解析】设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD

17、已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是(    )

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BCD

【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,

又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,

所以二项式为,

则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；

由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,

因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；

由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,

故选: BCD

三、填空题

18、(2020年高考全国III卷理数)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．

【答案】

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

19、(2020届山东省日照市高三上期末联考)二项式的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)

【答案】60

【解析】

有题意可得，二项式展开式的通项为：

令可得 ，此时.

20、(2020·全国高三专题练习(理))在的展开式中,含项的系数是_______.

【答案】280

【解析】

的展开式中： ，

取得到项的系数为

故答案为：

21、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是    ．

【答案】7

【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，，令，可得常数项为7.

22、(2019年高考浙江卷理数)在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】   

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．

23、(2020届山东省德州市高三上期末)的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】

的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.

24、(2020年高考浙江)二项展开式，则_______，________．

【答案】80；122

【解析】的通项为，令，则，故；.

故答案为：80；122.

25、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)二项式的展开式中，常数项为______，所有项的系数之和为______．

【答案】4    16   

【解析】

的展开式的通项，

令，解得，

则常数项为；

二项式中，令，得到，

则所有项的系数之和为16.

故答案为：4；16.

25、(2020届浙江省绍兴市高三4月一模)已知，则_____，_______.

【答案】0    665   

【解析】

因为，

令可得：.

所以：；

；

；

；

……

；

；

故.

故答案为：0，665.

27、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)已知多项式，则_________，_________.

【答案】4    16.   

【解析】令，得，

设，则，

则多项式等价为，

则为一次项的系数，则，

故答案为：4，16.

28、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)若二项式的展开式中各项系数之和为108，则________，有理项的个数为________．

【答案】2    4   

【解析】

中令可得，可得．

中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个．

故答案为：2；4.

29、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知多项式满足，则_________，__________．

【答案】       

【解析】∵多项式 满足

∴令，得，则

∴

∴该多项式的一次项系数为

∴

∴

∴

令，得

故答案为5，72

四、解答题

30、(2020·湖北省江夏一中高二月考)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：

(1)求的值；

(2)求展开式中常数项；

(3)计算式子的值.

【解析】(1)依题意，，即，解得；

(2)由(1)知，∴，

，

由，得，展开式中常数项．

(3)令得．

31、(2019年高考江苏卷理数)设．已知．

(1)求n的值；

(2)设，其中，求的值．

【解析】(1)因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

(2)由(1)知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

32、(2020·江苏省南京师大附中高二)已知，．记．

(1)求的值；

(2)化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

【解析】由二项式定理，得；

(1)；

(2)因为，

所以

，

，

因为，所以能被整除.