(新高考)高考数学一轮考点复习3.2.4《函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（十七）  “函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略

1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．

解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根，等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．

g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

所以g(x)的最大值为g(1)＝1.

因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：

g(x)＝ ＝ ＝0，

所以0<a<g(1)，所以0<a<1.

故实数a的取值范围为(0,1)．

2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

解：f(x)≥g(x)恒成立，即axex≥ln x＋x＋1恒成立．

因为x＞0，所以a≥.

令h(x)＝，则h′(x)＝.

令p(x)＝－ln x－x，则p′(x)＝－－1＜0，

故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，

又p＝1－＞0，p(1)＝－1＜0，

故存在x0∈，使得p(x0)＝－ln x0－x0＝0，

故ln x0＋x0＝0，即x0＝e－x0.

当x∈(0，x0)时，p(x)＞0，h′(x)＞0；

当x∈(x0，＋∞)时，p(x)＜0，h′(x)＜0.

所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．

所以h(x)max＝h(x0)＝＝1.

故实数a的取值范围是[1，＋∞)．

3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.

(1)试用a表示出b，c；

(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝a－，

由得b＝a－1，c＝1－2a.

(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1) 恒成立”．

设g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xln x(x≥1)，

则g′(x)＝x－ln x－1(x≥1)，

又g″(x)＝1－恒大于0(x>1)，

所以g′(x)单调递增(x>1)，所以g′(x)>g′(1)＝0，

所以g(x)单调递增(x>1)，

所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，

当且仅当x＝1时g(x)＝0，故<(x>1)， ＝.

所以若a≥(x>1)恒成立，则a≥，

即a的取值范围是.

4．已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.

(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；

(2)证明：ln x1＋ln x2>2.

解：(1)f′(x)＝＝(x>0)，

由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0，

当x>ea＋1时，f′(x)<0，

所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，

所以ea＋1＝e，解得a＝0.

所以f(x)＝－m(x>0)，f′(x)＝，

函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(e)＝－m.

又x→0(x>0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，由f(x)有两个零点x1，x2，得

解得0<m<.所以实数m的取值范围为.

(2)证明：不妨设x1<x2，由题意知

则ln x1x2＝m(x1＋x2)，ln＝m(x2－x1)⇒m＝.

欲证ln x1＋ln x2>2，只需证ln x1x2>2，

只需证m(x1＋x2)>2，即证ln>2.

即证ln>2，设t＝>1，

则只需证ln t>，即证ln t－>0.

记u(t)＝ln t－(t>1)，

则u′(t)＝－＝>0.

所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，

所以u(t)>u(1)＝0，所以原不等式成立，

故ln x1＋ln x2>2.

5．已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．

(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；

(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求k的取值范围，并证明：0<f(x1)<1.

解：(1)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，

则f′(x)＝2ex－2x.

令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，

由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－2>0，

于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)上为增函数，

所以h(x)＝2ex－2x>h(0)＝2>0.

即f′(x)＝2ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，

从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)上为增函数，

故f(x)＝2ex－x2>f(0)＝2.

(2)函数f(x)有两个极值点x1，x2，

则x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，

即方程k＝有两个根．

设φ(x)＝，则φ′(x)＝，

当x＜0时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；

当0＜x＜1时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)>0；

当x>1时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.

作出函数φ(x)的图象如图所示，

要使方程k＝有两个根，只需0<k<φ(1)＝，

故实数k的取值范围是.

证明：由图可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0<x1<1<x2，

由f′(x1)＝ke x1－2x1＝0得k＝，

所以f(x1)＝ke x1－x＝e x1－x＝－x＋2x1＝－(x1－1)2＋1.

由于x1∈(0,1)，所以0<－(x1－1)2＋1<1.

所以0<f(x1)<1.