2023届河北省部分重点中学高三上学期阶段性检测（一）数学试题（含答案）

河北省2023届高三年级阶段性检测（一）

数学

一、单项单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（    ）．

A． B． C． D．

3．已知，，，，则（    ）．

A． B． C． D．

4．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的深度．降水量以mm为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为，小王在此地此时间段内用口径为的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（    ）．（其中）

A．  B．

C．  D．

5．在中，满足，，则（    ）．

A．  B．

C．  D．

6．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）．

A． B． C． D．

7．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（    ）．

A． B． C． D．

8．已知小于2的正数m，n满足，则的最小值（    ）．

A． B． C．3 D．

二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知，，则（    ）．

A． B． C． D．3

10．若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（    ）．

A．若，则

B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆

C．若，满足，则的取值范围为

D．若，则的取值范围为

11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）．

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为的中点，则下述选项正确的是（    ）．

A．平面平面

B．三棱锥的体积为

C．平面与平面夹角的正弦值为

D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则______．

14．已知中，，，，则的外接圆面积为______．

15．定义在R上的函数单调递减，且满足，对于任意的，满足恒成立，则的最大值为______．

16．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小、质量、体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当______时，取得最大值．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设向量，，函数．

（1）求的最小正周期及其图像的对称中心；

（2）若，求函数的值域．

18．（12分）已知四棱锥中，，为面积为的等边三角形，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若E为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．

19．（12分）某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店．A地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性．下表中x表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店情况下的月利润额．

（1）求y关于x的线性回归方程．

（2）假设x个售后服务店每月需消耗资金（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A地区开设多少个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

参考数据：．

20．（12分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，．

（1）若点D为的中点且，求的余弦值；

（2）若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长．

21．（12分）已知边长为2的正方体中，，，平面与相交于点G，与相交于点H．

（1）当，求，的值；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的正切值．

22．（12分）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：

方案一：逐份检验，需要检验n次；

方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次．

（1）若，且其中两人患有该疾病，

①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；

②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；

（2）已知每个人患该疾病的概率为．

（ⅰ）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；

（ⅱ）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由．

数学试题答案与解析

1．C

【解析】根据题意可得：，，

所以，故选C．

2．B

【解析】根据题意，．

所以，故选B．

3．C

【解析】，是减函数，

∴，，∴，故选C．

4．D

【解析】根据题意，．故选D．

5．C

【解析】根据题意，∵，∴D是的靠近A的三等分点．

∵，∴E是靠近B的四等分点．

令，∴，，．故选C．

6．A

【解析】依题意，，，故，

故，故，

将代入可知，，

解得，故，

故，则．

故选A．

7．D

【解析】由已知三名学生不相邻○○或是如下排列○○，○○，其概率，故选D．

8．B

【解析】根据题意，，

可得，

设函数，分析可得，该函数在上单调递增，

所以可得，

．

当时，取得最小值．故选B．

9．AD

【解析】依题意，，

解得或3．故选AD．

10．ABD

【解析】对于A，若，则，，，为循环，

所以，故A正确；

对于B，设，，则有，

可知z在复平面内的轨迹为圆，故B正确；

对于C，因为复数z满足，所以点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，

所以的取值范围为，故C不正确；

对于D，设，，若，则有，

令

，

则．

令，可得，

所以，于是得，故D正确．

11．ACD

【解析】对于A，因为，且，

所以设，

当，时，即，时取等．故A正确；

对于B，，

即的最小值为，故B不正确；

对于C，，

由B知，的最小值为，

所以的最小值为，故C正确；

对于D，因为，且，

所以由题意可得：

可视为点到点与点到点的距离之和，

所以最小值为，故D正确．

12．AD

【解析】A选项中，连接易得且，面，则A正确；

B选项中，，则B错误；

C选项中，建系可得面的法向量，

面的法向量，，

两平面余弦值为，正弦值为，则C错误；

D选项中，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，

长度为，则D正确．所以答案为AD．

13．6

【解析】依题意，，

故．

14．

【解析】根据题意，可得，

该的外接圆的半径为r，．

15．

【解析】根据题意，可得函数关于呈中心对称，

所以可得，

，

根据函数单调性可得，

．

16．8

【解析】根据题意：，取得最大值，

也即是取最大，所以，设，

则

当时，，当，，

所以最大，因此，当时，取得最大值．

17．（1）因为

即，所以的最小正周期为．

令，解得，

所以函数的对称中心为．

（2）因为，即设，

根据图像分析可得：，

所以函数的值域为．

18．（Ⅰ）证明：取的中点E，连接、．

∵面积为，∴．

在中，，，，

∵，∴，

∵是等边三角形，E为线段AB中点，∴，

又∵，∴平面，

而平面，∴平面平面．

（Ⅱ）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设为平面的法向量，

则，得

令，可得，

，

∴直线与平面所成角的余弦值为．

19．（1）根据题意，可得：，，

，

∴，，

回归直线方程为．

（2）每月的净利润为，

其平均利润为（万元），

当且仅当时，取等号．

20．（1）根据题意，延长到F，使得，连接，

可得四边形为平行四边形，

所以．

（2）设，，

可得，

因此，

又

当且仅当，

所以．

21．（1）如图所示，延展平面，过点E作，

分析可得，点H为线段的四等分点，所以．

连接，作，，，

分析可得点F为的三等分点，

所以点G为的三等分点，故．

（2）根据题意，，

因为边长为2，所以，，，

，

所以，

，

以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，

可得，，，，

向量，，，

设平面的法向量为，

所以，，

令，所以，平面的一个法向量为，

所以，

所以点F在的三等分点，

根据平面的延展可得点H为的三等分点靠近，

取的中点O，则即为所求，．

22．（l）①根据题意可得：．

②根据题意可得：．

（2）（ⅰ）根据题意：记检验次数为X，

则X的取值为l，，，，

所以．

（ⅱ）当时，方案一：检验的次数为5次；

方案二：检查的次数期望为

，记，

因为，所以单调递增，

由（ⅰ）知，当时，，

所以当时，，则．

当1时，，则．

故当时，选择方案二；

当时，选择方案一．

当时，选择两种方案检查次数一样．