2023汕头金山中学高三上学期第二次月考试题数学含答案

汕头市金山中学2023届高三第一学期第二次月考

数  学

一、单选题

1．己知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在(   )

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

2．集合，，若，则实数的取值范围是(   )

A．        B．

C．        D．

3．直线，平面，则“且”是“”的(   )条件．

A．充分不必要      B．必要不充分

C．充要条件       D．既不充分也不必要

4．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路. 下图是按照的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是(   )

A．89               B．55

C．34              D．144

5．将6名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是(    )

A．540            B．360           C．240          D．180

6．函数的图象大致为(   )

7．设函数，若是从0，1，2三个数中任取一个，是从1，2，3，4，5五个数中任取一个，那么恒成立的概率是(   )

A．    B．    C．    D．

8．sin10°的值落在区间(    )中．

A．   B．   C．   D．

二、多选题

9．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”，下列函数是“交汇函数”的是(   )．

A．   B．  C．  D．

10．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则(   )

A．与不垂直

B．二面角的大小为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．若是对角线上一动点，则

长度的最小值为

11．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是(    )

A．

B．直线的斜率之积等于定值

C．使得为等腰三角形的点有且仅有四个

D．若，则

12．已知函数，下列选项正确的是(   )

A．函数在(-2，1)上单调递增   B．函数的值域为

C．关于的方程有3个不等的实数根，则实数的取值范围是

D．不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是

三、填空题

13．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释

自然、社会现象．如图(1)是八卦模型图，将其

简化成图(2)的正八边形，

若，则=.

14．已知函数，若至少存在两个不相等的实数使得，则实数的取值范围是．

15．如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点）篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率=.

16．若函数恰有两个零点，则的值为.

四、解答题

17．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，

且

(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：

(2)当时，求证：

18．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”

当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看

的约占，其他为未收看者

(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

19．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且

(1)求；   (2)求的取值范围

20．如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的

中点，，沿

将翻折到的位置，连接

，得到如图2所示的五棱锥

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；

(2)当四棱锥体积最大时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

21．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭

圆于两点，点在直线上的射影分别为点．若，

其中为原点，为右顶点.为离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)连接，试探索当变化时，直线是否相交于一定点．若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明：否则说明理由．

22．已知函数

(1)若函数有三个零点，求的取值范围．

(2)若，证明：

数学参考答案

1-8．AABCB DAB    9．BD   10．BCD   11．BD   12．ACD

13．  14．  15．  16．

17．解：(1)且，

，当时，，

，

又，所以，，

数列是以为首项，公差为1的等差数列，

，所以

当时，，

又满足上式，数列的通项公式为

(2)当时，.

故

所以对，都有

18．解：(1)记事件A为至少有1人通过手机收看，则

(2)依题意～，则的可能取值为0，1，2，3，

所以；；

；.

所以的分布列为：

所以

19．解：由条件知，即

，即

由角为锐角知，

联立解得故

由为锐角三角形知

，即，

，

即.

20．解：(1)在翻折过程中总有平面平面，证明如下：点分别是边,

的中点，又，，且是等边三角形，是的中点，菱形的对角线互相垂直，，，，平面平面平面平面平面，平面平面

(2)由题意知，四边形为等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面积，

要使得四棱锥体积最大，只要点

到平面的距离最大即可，

当平面时，点到平面

的距离的最大值为．

假设符合题意的点存在．

以为坐标原点，所在直线

分别为轴、轴、轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

又，又，且，平面，平面，平面，故平面的一个法向量为，设，，，故，，，平面的一个法向量为，则，，即令，所以，则平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则

，即，解得：，故符合题意的点存在且为线段的中点．

21．解：(1)椭圆的方程为，

过定点(1，0)，由题意可得，

由，可得，即，则，

所以，所以椭圆的方程为

(2)当时，直线垂直于轴，可得四边形为矩形，

直线，所以直线相交于点，猜想定点

当时，分别设的坐标为，由题意可得

由，可得，，，

由，，得，

又，

则，即，所以三点共线.

同理可得三点共线.

综上，直线相交于一定点

22．解：(1)令换元得函数，然后通过导数求极值，根据与函数图象有三个交点可得；

(2)构造函数，通过导数研究在区间上的单调性，然后由单调性结合己知可证．

(1)

令，则，记

令，得

当时，，时，，时，

所以当时，取得极大值，时，取得极大值，

因为函数有三个零点与有三个交点，

所以，即的取值范围为

(2)

记

记

则

记

则

易知在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增

因为，记

所以

由(1)可知，

所以，即

又，所以

因为，所以

由(1)知在区间(0，1)上单调递增，所以，即

所以