2023辽宁省六校高二上学期期初考试数学试卷含答案

2022-2023学年度（上）六校高二期初考试

数学试题

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集，集合，则=（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

3．某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（       ）

A．91 B．92 C．93 D．93.5

4．设，则的大小关系是（       ）

A．   B．    C．   D．

5. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ）

A．0        B .-1          C .1        D . 3

6. 化简（       ）

A． B． C．2 D．

7． 的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒立，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分。

9．向量 满足则的值可以是（  ）

A．3       B.         C. 2       D.

10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（       ）

A．               B．在上单调递增

C．的解集为

D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

11．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（       ）

A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角；

B．在地面上另选点D，测量出角，，米；

C．在地面上另选点D，测量出角，米；

D．从过点C的直线上（不过点B）另选点D、E，测量出米，，．

12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（       ）

A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”

B．四棱锥体积的最大值为

C． 若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线CM、、相交于一点

D．若F是线段上一动点，则AF与所成角的最大值为90°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．

14．在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.

15．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是___________.

16．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.

四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．

(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？

18．（本题满分12分）已知,，.

（1）若，求证：；

（2）设，若，求，的值.

19．（本题满分12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)求△ABC的面积；

(2)若，求△ABC的周长.

20．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

21．（本题满分12分）已知函数.

（1）已知，求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22. （本题满分12分）已知三棱锥中， 与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面.

（1）求证：；

（2）过作一平面分别交， ， 于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.

答案

1-8 DDDBC  DCA  9.BC  10.AC  11.ABD  12.ACD

13.     14.     15.     16.

17. (1)

由题设，，………2分        所以………4分

(2)当时，

故时最大利润为12万元；………7分

当时，

当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；…………10分

综上，当万件时最大利润为18万元.

18. （1）

由题意，，即，………2分

又因为，∴，即，∴……….4分

（2），∴，……….6分

由此得，由，得，又，故，……8分

代入得，………10分

而，∴，………12分

19.  (1)由余弦定理得：，又，……2分

所以，则，又，则，……4分

所以，则……6分

(2)由正弦定理得：，则，

所以，……8分

由，……10分

整理得，解得.

故△ABC的周长为……12分

20. (1)连接与，两线交于点，连接，

在中，分别为，的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面……4分

(2)

因为底面，平面，所以.

又为棱的中点，，所以.

因为，，平面，

所以平面，平面，所以……6分

因为，所以.又，

在和中，，

所以，即，

所以， 又，，平面，

所以平面.……8分

(3)当点为的中点，即时，平面平面.

证明如下：设的中点为，连接，，

因为，分别为，的中点，

所以且，又为的中点，

所以且，

所以四边形为平行四边形，故，……10分

由（2）知：平面，所以平面，又平面，

所以平面平面.……12分

21． （1）

，……2分

，……4分

.……6分

（2）当时，，可得，……8分

由，不等式可化为

，有.……10分

令，，则，

若不等式恒成立，则等价于，解得：.

故实数的取值范围为.……12分

22（1）由，所以，

由平面，平面，可得，……2分

又由，且平面，平面，所以平面，

又因为平面,所以.……4分

（2）在等腰直角中，，所以，

又因为，可得平面，所以.

等腰中，由，可得，

又中，，，所以，

而，可得，故，……6分

因为四边形为平行四边形，所以，可得平面，

又平面，且平面平面，所以，

由，可得，且有，……8分

由平面，可得，

进而得到，所以四边形为矩形，

同理可得，且，……10分

可得，，

，   ,.

所以所求表面积为.……12分