2022六安一中高一下学期期末考试数学试题含答案

六安一中20212022学年第二学期高一年级期末考试

数学试卷

满分：150分时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

1. 计算

A.  B.  C.  D.

2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）

A. 2021年我国独角兽企业共有170家

B. 京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家

C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半

D. 各行业独角兽企业数量的中位数为13

3. 在下列判断两个平面与平行4个命题中，真命题的个数是（）．

①都垂直于平面r，那么

②都平行于平面r，那么

③都垂直于直线l，那么

④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为（）

A. 1 B.  C. 3 D. 9

5. 已知一组数据，，，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6. 在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. .等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

7. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（）

A. 平面平面

B. 线段最小值为

C. 当，时，点D到直线的距离为

D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知是单位向量，且，则（）

A.  B. 与垂直

C. 与的夹角为 D.

10. 袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）

A. 甲与乙互斥 B. 乙与丙互斥 C. 甲与乙独立 D. 甲与乙对立

11. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）

A. 若，则有2解；

B. 若，则；

C. 若，则为锐角三角形；

D. 若，则为等腰三角形或直角三角形.

12. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 线段上存在点，使平面

C. 线段上存在点，使平面平面

D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若复数（其中为虚数单位）所对应的向量分别为和，则的面积为_______．

14. 如图所示，已知四面体顶点和，则从顶点D所引四面体的高__________．

15. 己知数据的平均数为10，方差为2，则数据的平均数为a，方差为b，则___________．

16. 如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_____．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 根据要求完成下列问题：

（1）关于的方程有实根，求实数的取值范围；

（2）若复数（）的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合．

18. 第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

（1）求a，b的值；

（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；

（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

19. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：

（1）两个人都译出密码的概率；

（2）恰有1个人译出密码的概率；

（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？

20. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点

（1）求证：面；

（2）求异面直线与所成角大小.

21. 如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.

（1）当时，求；

（2）当五边形的面积时，求的取值范围.

22. 已知正方形的边长为，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上.

（1）若为的中点，且直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；

（2）是否存在点，使得直线与平面所成角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由.

1【答案】B

2【答案】C

3【答案】D

4【答案】C

5【答案】C

6【答案】D

7【答案】C

8【答案】C

9【答案】BC

10【答案】BC

11【答案】BCD

12【答案】ABD

13【答案】5

14【答案】11

15【答案】27

16【答案】

17【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

设是其实根，代入原方程变形为，

由复数相等的定义，得，解得；

【小问2详解】

由题意得，

∴，即，解得，

故实数的集合为 .

18【答案】（1）；

（2）估计平均数为69.5，第分位数为71.7；

（3）.

【小问1详解】

，解得：，所以；

【小问2详解】

，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；

前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7

【小问3详解】

第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为

19【答案】（1）

（2）

（3）17名

【小问1详解】

记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且，．

两个人都译出密码的概率为

．

【小问2详解】

恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为

．

【小问3详解】

假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为，即，

故，所以，

即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密码的概率达到99%．

20【小问1详解】

证明：

由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示:

由底面是等腰梯形以及可知：，，

，

又由点为线段中点，可知

，，

设为平面的法向量，故可知：

，解得

令，可知平面的法向量一个法向量为：

根据线面平行向量法判断法则可知面

【小问2详解】

解：由题意得：由（1）分析可知，

可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为

21【答案】（1）；

（2）.

【小问1详解】

连接，由五边形内角和得：，

∴，则四边形为等腰梯形，则，

又，，故，，

所以在中，

由余弦定理得，

∴，

过点作于，可得，

∴；

【小问2详解】

由，又五边形的面积，

∴，

设，则，

整理得，解得或，

又，即，

∴的取值范围是.

22【小问1详解】

证明：因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上(如图所示).

因为，为的中点，所以，所以，，所以点在的延长线上，且.

连接交于，因为四边形为矩形，所以是的中点.

连接，所以为的中位线，所以，

又因为平面，所以直线平面.

【小问2详解】

解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,

取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，

所以

设（），则，设平面的法向量，则所以，

取，则，所以.

因为与平面所成的角为，所以

所以，解得或，

所以存在点，使得直线与平面所成的角为.

设平面的法向量为，则，所以，

取，则，

所以，，设二面角的大小为.

所以.

因为当时，，此时平面平面，

所以当时，为钝角，所以.

当时，为锐角，所以