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2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题为单选题，共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）2021年春节档电影《你好，李焕英》，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日13：43：32，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
5．（3分）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
6．（3分）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
8．（3分）如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC＝8，AP＝2，则⊙O的直径长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．2
9．（3分）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝ ．
12．（3分）一个不透明的盒子里只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外没有其他不同．若从盒子里随机摸取一个球，则摸到红球的概率为 ．
13．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为 度．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm．
16．（3分）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 ．
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．求证：四边形DEFC是矩形．
20．（8分）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 ；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
22．（9分）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、线段PA和线段PC所围成的图形面积S．
23．（9分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（10分）若y是x的函数，h为常数（h＞0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a＜b）时，总有|y1﹣y2|≤h，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．
（1）函数：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1时为有界函数的是 （填序号）；
（2）若一次函数y＝kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b﹣a，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y＝x2﹣2ax+5（a＞1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题为单选题，共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）2021年春节档电影《你好，李焕英》，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日13：43：32，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
【解答】解：50亿＝5000000000＝5×109．
故选：B．
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
【解答】解：A、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
B、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y＝﹣2x﹣1＝﹣，y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
D、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
【解答】解：A．调查央视“五一晚会”的收视率，适合抽样调查，故选项不合题意；
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象，适合抽样调查，故选项不合题意；
C．了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故选项不合题意；
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”，适于全面调查，故选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
真命题由2个，
故选：B．
7．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB＝×60°＝30°，
∴ME＝OM＝3．
故选：C．
8．（3分）如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC＝8，AP＝2，则⊙O的直径长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．2
【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝x．
∵OA⊥BC，
∴PB＝PC＝BC＝4，
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：C．
9．（3分）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，
根据题意得：﹣＝3．
故选：B．
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
12．（3分）一个不透明的盒子里只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外没有其他不同．若从盒子里随机摸取一个球，则摸到红球的概率为 ．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，4个红球，共6个球，
摸到红球的概率为＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为 50 度．
【解答】解：∵∠1＝130°，
∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故答案为：50．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k ．
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案为：k．
15．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 1 cm．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr＝，
解得r＝1cm．
故答案为：1．
16．（3分）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 12 ．
【解答】解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，
∴∠AOB＝＝60°，∠AOC＝＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故答案为：12
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣2+1﹣（2﹣）
＝1﹣2+
＝﹣1+．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．求证：四边形DEFC是矩形．
【解答】证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE、EF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴平行四边形DEFC是矩形．
20．（8分）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 40 ；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有：16＝40%＝40（人）．
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，
“B”等级的人数为：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）将A（﹣2，1）代入反比例函数解析式得：m＝﹣2，
则反比例解析式为；
将B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（1，﹣2），
将A与B坐标代入y＝kx+b中，得：，解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）连接OA，OB，如图所示，设一次函数与x轴交于点C，
对于一次函数y＝﹣x﹣1，令y＝0，得到x＝﹣1，即OC＝1，
则S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
22．（9分）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、线段PA和线段PC所围成的图形面积S．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵PA是半⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∵∠OAP＝90°，∠AOP＝60°，
∴∠OPA＝30°，
∴OP＝2OA＝10，
∴S△POC＝S△POA＝×10×＝，
∴S四边形PAOC＝2×＝25，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇形AOC＝＝，
∴S＝S四边形PAOC﹣S扇形AOC＝25．
23．（9分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，
w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
24．（10分）若y是x的函数，h为常数（h＞0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a＜b）时，总有|y1﹣y2|≤h，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．
（1）函数：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1时为有界函数的是 ①③ （填序号）；
（2）若一次函数y＝kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b﹣a，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y＝x2﹣2ax+5（a＞1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）①当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，
∴|y1﹣y2|≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x在﹣1≤x≤1时是有界函数；
②∵的x不等于0，
∴函数在﹣1≤x≤1时没有最大值和最小值，
∴函数在﹣1≤x≤1时不是有界函数；
③当x＝﹣1或x＝1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，
∴|y1﹣y2|≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1时是有界函数；
故答案为：①③；
（2）由函数y＝kx+2在a≤x≤b时为有界函数，且此时的界高为b﹣a，
∴y最大值﹣y最小值＝b﹣a，
当k＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝a时，y最小值＝ka+2，x＝b时，y最大值＝kb+2，
∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，
∴k＝1，
∴y＝x+2；
当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝a时，y最大值＝ka+2，x＝b时，y最小值＝kb+2，
∴ka+2﹣（kb+2）＝b﹣a，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
综上所述，一次函数的解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
（3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1，
∴当1≤x＜a时，y随x的增大而减小，当a＜x≤a+1时，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，
∴y最大值﹣y最小值≤4，
当a≤，即1＜a≤2时，a+1离a的距离比1离a的距离远或一样远，
∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝a+1时，y最大值＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，
∴﹣a2+6﹣（5﹣a2）≤4，
化简得：1≤4，
∴1＜a≤2，
当a＞，即a＞2时，a+1离a的距离比1离a的距离近，
∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝1时，y最大值＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，
∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，
解得：1＜a≤3，
∴2＜a≤3，
综上所述，a的取值范围为1＜a≤3．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【解答】解：（1）直线AC：y＝﹣5x+5，
x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1，
∴A（1，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）当y＝x2﹣6x+5＝0时，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
设M（m，m2﹣6m+5），则N为（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝，
∴当M运动到（，）时，线段MN的长度最大为；
（3）①∵A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∵将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴B点的对应点的坐标为（1，﹣4）；
②如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ＝AB＝4，连接DQ，
∵∠PAD＝∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＝∠QAD，
∵AB＝AQ，AP＝AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB＝DQ＝2，
∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，
∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示，
Rt△AQF中，AQ＝4，AF＝4+2＝6，
∴QF＝＝2，
∴此时DF的最大值是2+2；
当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2﹣2；
∴FD的取值范围是：．
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2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题为单选题，共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）2021年春节档电影《你好，李焕英》，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日13：43：32，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
5．（3分）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
6．（3分）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
8．（3分）如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC＝8，AP＝2，则⊙O的直径长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．2
9．（3分）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝ ．
12．（3分）一个不透明的盒子里只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外没有其他不同．若从盒子里随机摸取一个球，则摸到红球的概率为 ．
13．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为 度．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm．
16．（3分）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 ．
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．求证：四边形DEFC是矩形．
20．（8分）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 ；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
22．（9分）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、线段PA和线段PC所围成的图形面积S．
23．（9分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（10分）若y是x的函数，h为常数（h＞0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a＜b）时，总有|y1﹣y2|≤h，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．
（1）函数：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1时为有界函数的是 （填序号）；
（2）若一次函数y＝kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b﹣a，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y＝x2﹣2ax+5（a＞1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题为单选题，共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）2021年春节档电影《你好，李焕英》，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日13：43：32，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
【解答】解：50亿＝5000000000＝5×109．
故选：B．
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
【解答】解：A、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
B、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y＝﹣2x﹣1＝﹣，y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
D、y不是x反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
【解答】解：A．调查央视“五一晚会”的收视率，适合抽样调查，故选项不合题意；
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象，适合抽样调查，故选项不合题意；
C．了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故选项不合题意；
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”，适于全面调查，故选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
真命题由2个，
故选：B．
7．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB＝×60°＝30°，
∴ME＝OM＝3．
故选：C．
8．（3分）如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC＝8，AP＝2，则⊙O的直径长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．2
【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝x．
∵OA⊥BC，
∴PB＝PC＝BC＝4，
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：C．
9．（3分）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，
根据题意得：﹣＝3．
故选：B．
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
12．（3分）一个不透明的盒子里只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外没有其他不同．若从盒子里随机摸取一个球，则摸到红球的概率为 ．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，4个红球，共6个球，
摸到红球的概率为＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为 50 度．
【解答】解：∵∠1＝130°，
∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故答案为：50．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k ．
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案为：k．
15．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 1 cm．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr＝，
解得r＝1cm．
故答案为：1．
16．（3分）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 12 ．
【解答】解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，
∴∠AOB＝＝60°，∠AOC＝＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故答案为：12
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣2+1﹣（2﹣）
＝1﹣2+
＝﹣1+．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．求证：四边形DEFC是矩形．
【解答】证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE、EF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴平行四边形DEFC是矩形．
20．（8分）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 40 ；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有：16＝40%＝40（人）．
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，
“B”等级的人数为：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）将A（﹣2，1）代入反比例函数解析式得：m＝﹣2，
则反比例解析式为；
将B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（1，﹣2），
将A与B坐标代入y＝kx+b中，得：，解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）连接OA，OB，如图所示，设一次函数与x轴交于点C，
对于一次函数y＝﹣x﹣1，令y＝0，得到x＝﹣1，即OC＝1，
则S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
22．（9分）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、线段PA和线段PC所围成的图形面积S．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵PA是半⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∵∠OAP＝90°，∠AOP＝60°，
∴∠OPA＝30°，
∴OP＝2OA＝10，
∴S△POC＝S△POA＝×10×＝，
∴S四边形PAOC＝2×＝25，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇形AOC＝＝，
∴S＝S四边形PAOC﹣S扇形AOC＝25．
23．（9分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，
w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
24．（10分）若y是x的函数，h为常数（h＞0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a＜b）时，总有|y1﹣y2|≤h，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．
（1）函数：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1时为有界函数的是 ①③ （填序号）；
（2）若一次函数y＝kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b﹣a，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y＝x2﹣2ax+5（a＞1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）①当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，
∴|y1﹣y2|≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x在﹣1≤x≤1时是有界函数；
②∵的x不等于0，
∴函数在﹣1≤x≤1时没有最大值和最小值，
∴函数在﹣1≤x≤1时不是有界函数；
③当x＝﹣1或x＝1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，
∴|y1﹣y2|≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1时是有界函数；
故答案为：①③；
（2）由函数y＝kx+2在a≤x≤b时为有界函数，且此时的界高为b﹣a，
∴y最大值﹣y最小值＝b﹣a，
当k＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝a时，y最小值＝ka+2，x＝b时，y最大值＝kb+2，
∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，
∴k＝1，
∴y＝x+2；
当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝a时，y最大值＝ka+2，x＝b时，y最小值＝kb+2，
∴ka+2﹣（kb+2）＝b﹣a，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
综上所述，一次函数的解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
（3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1，
∴当1≤x＜a时，y随x的增大而减小，当a＜x≤a+1时，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，
∴y最大值﹣y最小值≤4，
当a≤，即1＜a≤2时，a+1离a的距离比1离a的距离远或一样远，
∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝a+1时，y最大值＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，
∴﹣a2+6﹣（5﹣a2）≤4，
化简得：1≤4，
∴1＜a≤2，
当a＞，即a＞2时，a+1离a的距离比1离a的距离近，
∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝1时，y最大值＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，
∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，
解得：1＜a≤3，
∴2＜a≤3，
综上所述，a的取值范围为1＜a≤3．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【解答】解：（1）直线AC：y＝﹣5x+5，
x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1，
∴A（1，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）当y＝x2﹣6x+5＝0时，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
设M（m，m2﹣6m+5），则N为（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝，
∴当M运动到（，）时，线段MN的长度最大为；
（3）①∵A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∵将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴B点的对应点的坐标为（1，﹣4）；
②如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ＝AB＝4，连接DQ，
∵∠PAD＝∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＝∠QAD，
∵AB＝AQ，AP＝AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB＝DQ＝2，
∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，
∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示，
Rt△AQF中，AQ＝4，AF＝4+2＝6，
∴QF＝＝2，
∴此时DF的最大值是2+2；
当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2﹣2；
∴FD的取值范围是：．
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