(新高考)高考数学一轮考点复习7.1.1《空间几何体》学案 (含详解)

第七章  立体几何

第一节　空间几何体

第1课时　系统知识牢基础——空间几何体

知识点一　空间几何体的结构特征

1．多面体的结构特征

2．特殊的棱柱和棱锥

(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

[提醒]　(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．

(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．

(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．

3．旋转体的结构特征

[重温经典]

1．(教材改编题)下列命题中正确的是(　　)

A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥

B．棱锥的高线可能在几何体之外

C．仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台

D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

答案：B

2．给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选A　①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；    ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

3.如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(　　)

A．棱台  B．四棱柱

C．五棱柱  D．简单组合体

答案：C

4．(易错题)从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G(不与顶点重合)，过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是(　　)

A．锐角三角形　　　　　　　 B．矩形

C．平行四边形  D．正方形

答案：A

5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)

A．①②  B．①③

C．①④  D．①⑤

解析：选D　该几何体的轴截面是①，当竖直的截面不经过轴时，截面图形为⑤.故选D.

6．(教材改编题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填序号)

答案：③⑤

知识点二　直观图

1．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

2．直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：

(1)S直观图＝S原图形．

(2)S原图形＝2S直观图．

[重温经典]

1．一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是(　　)

A．三棱柱  B．三棱台

C．五棱锥  D．四面体

解析：选D　A、B、C都是6个顶点，D是4个顶点，故选D.

2.(教材改编题)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为(　　)

A．4 cm2  B．4 cm2

C．8 cm2  D．8 cm2

解析：选C　依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.

3．以钝角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转一周形成的面所围成的几何体是(　　)

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

解析：选D　如图，以AB为轴旋转一周所得到的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥．

4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形  D．任意三角形

解析：选C　由直观图还原平面图形，易知△ABC为钝角三角形．

5.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．

解析：因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.

答案：2

知识点三　空间几何体的表面积与体积

1．空间几何体的表面积与体积公式

2．几何体的表面积和侧面积的注意点

(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．

(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．

3．柱体、锥体、台体侧面积间的关系

(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′.

(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，则

S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.

4．柱体、锥体、台体体积间的关系如图所示

[重温经典]

1．已知圆柱O′O的底面半径为r，母线长是底面直径的2倍，则圆柱O′O的表面积是(　　)

A．4πr2  B．10πr2

C．8πr2  D．6πr2

解析：选B　∵母线l＝2×2r＝4r，∴S侧＝2πr·l＝2πr·4r＝8πr2，S表＝2πr2＋8πr2＝10πr2.

2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A．4π　　　　　 　　　　 B．6π

C.π  D．4π

解析：选A　由已知得球的半径为＝，所以球的体积为×()3＝4π，故选A.

3.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.

4．(2021年1月新高考八省联考卷)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．

解析：易知圆台的高为3，所以其体积为V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝61π.

答案：61π

5．(教材改编题)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案：1∶47