2021学年第23章 图形的相似综合与测试课时练习

第23章　图形的相似

时间:80分钟　满分:100分

一．选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)

1. [教材变式P55第7题]如图,l1∥l2∥l3,直线a,b分别与l1,l2,l3相交于点A,B,C和点D,E,F,若 =,DE=6,则EF的长是                       (　　)

A.8 B.9      C.10 D.12

2.已知△ABC∽△DEF,且面积比为4∶9,则它们对应高的比为 (　　)

A.4∶9　　　  B.16∶81　　　　 C.3∶5　　　　 D.2∶3

3.下列各组图形一定相似的是  (　　)

A.两个菱形  B.两个平行四边形

C.两个等腰三角形 D.两个正五边形

4.在△ABC中,AD是BC边上的中线,点G是重心,若AD=6,则线段DG的长为 (　　)

A.2 B.3 C.6 D.1

5.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (　　)

A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC

C.AB2=AD·AC       D.=　　　

6.若===0.5,则的值为(　　)

A.0.5 B.1 C.1.5 D.2

7. 如图,在四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时,则下列结论成立的是 (　　)

A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关

8.下列四个三角形,与图中的三角形相似的是 (　　)

A                         B                   C                D

9.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且DE∥AC,EF∥AB.若CF∶AF=1∶2,则BD∶AB= (　　)

A.1∶2 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶3

10.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=5,BC=6.若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,则BF的长是 (　　)

A.3或  B.3或  C. D.3

二.填空题(共6小题,每小题3分,共18分)

11.假期,小明的爸爸带他去A地旅游,小明想知道A地与他所居住的城市的距离,小明在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为　　　km. 

12.若如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是　　　　　　. 

(第12题)　　　　(第13题)

13.如图,在平面直角坐标系中,△ABO是由△A'B'O经过位似变换得到的,若点P'(m,n)在△A'B'O上,则点P'经过位似变换后的对应点P的坐标为　　　　. 

14.如图,已知某零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(AC=BD,OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则该零件的厚度x为　　　　. 

15.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量某建筑物的高度AB,他设法调整自己的位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,小明与建筑物的距离CD=8 m,则建筑物的高度AB=　　　 m. 

14.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F是BC延长线上一点,CF=1,DF交CE于点G,且EG=CG,则=　　　. 

三.解答题(共6小题,共52分)

17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E.写出图中一对相似比不为1的相似三角形并加以证明.

18.(6分)如图,在由边长都是1的小正方形组成的网格中,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点处.

(1)请在图中标出位似中心O的位置;

(2)请以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为1∶2.

19.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°.

(1)求证:△ABE∽△ECD;

(2)若AB=4,BE=,求CD的长.

20.(9分)在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB,测量步骤如下:

①如图,在地面上的点C处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小华站在BC的延长线上,当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时,测得小华到平面镜的距离CD=2米,小华的眼睛E到地面的距离ED=1.5米;

②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处,小华移动到点H处时,小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A,这时测得小华到平面镜的距离FH=3米.请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB.

21.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,点P从点A沿AC向点C以2 cm/s的速度移动,到点C就停止移动,点Q从点C沿CB向点B以1 cm/s的速度移动,到点B就停止移动.

(1)若点P,Q同时出发,则经过几秒S△PCQ=2 cm2?

(2)若点Q从点C出发2 s后点P从点A出发,则点P移动几秒△PCQ与△ACB相似?

22.(12分) 如图,在四边形ADBC中,BA平分∠DBC,且∠BDA=∠BAC=90°,点E是BC的中点,连接DE交AB于点F.

(1)求证:AB2=BD·BC.

(2)当∠DBA=30°时,求.

(3)是否存在点F,使F是AB的三等分点?若存在,请求出∠DBA的度数;若不存在,请说明理由.

第23章　图形的相似

17.【参考答案】△ABC∽△BDC.  (1分)

证明如下:

∵AB=AC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=72°.  (3分)

∵BD为∠ABC的平分线,

∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A.

又∠C=∠C,

∴△ABC∽△BDC.  (6分)

18.【参考答案】　(1)位似中心O的位置如图所示. (3分)

(2)△A1B1C1如图所示. (6分)

19.【参考答案】(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠B=∠C=45°.

又∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,

∴∠BAE=∠CED,

∴△ABE∽△ECD. (4分)

(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,

∴BC=4.

∵BE=,

∴EC=3. (6分)

∵△ABE∽△ECD,

∴=,

∴=,

∴CD=. (9分)

20.【参考答案】设AB=x米,BC=y米.

∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,

∴△ABC∽△EDC,

∴=,即=. (3分)

∵∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH,

∴△ABF∽△GHF,

∴=,即=, (5分)

∴=,

解得y=20. (7分)

把y=20代入=中,

得=,

解得x=15.

∴树的高度AB为15米. (9分)

21.【参考答案】(1)设经过t s S△PCQ=2 cm2,则AP=2t,CQ=t,

所以PC=8-2t. (2分)

由题意得×(8-2t)t=2,

整理得t2-4t+2=0,

解得t=2±, (4分)

所以点P,Q同时出发,经过(2±)s S△PCQ=2 cm2. (5分)

(2)设点P移动a s△PCQ与△ACB相似,则AP=2a,CQ=2+a,

所以PC=8-2a, (6分)

当△PCQ∽△ACB时,=,即=,

解得a=. (8分)

当△PCQ∽△BCA时,=,即=,

解得a=.

综上所述,点P移动 s或 s△PCQ与△ACB相似. (10分)

22.【参考答案】(1)证明:∵BA平分∠DBC,

∴∠DBA=∠ABC.

∵∠BDA=∠BAC=90°,

∴△ABD∽△CBA,

∴=,

∴AB2=BD·BC. (3分)

(2)如图,连接AE.

∵∠BAC=90°,点E是BC的中点,

∴AE=BC=BE,

∴∠BAE=∠ABE.

∵BA平分∠DBC,

∴∠BAE=∠ABE=∠ABD=30°,

∴BD∥AE,

∴△BDF∽△AEF,∠AEC=∠DBC=60°, (5分)

∴△AEC是等边三角形.

设BC=2x,则AE=EC=AC=x,

由勾股定理得AB=x,

∵∠DBA=30°,

∴AD=AB=x,BD=x.

∵△BDF∽△AEF,

∴==,

∴=. (7分)

(3)存在. (8分)

①当=2时,由(2)得==2,即BD=2AE=BC,

∵BD<BC,

∴=2不成立. (10分)

②当=时,由(2)得==.

设BD=x,则AE=2x,BC=4x,

∵AB2=BD·BC,

∴AB2=x·4x=4x2,

∴AB=2x.

∵∠BDA=90°,AB=2BD,

∴∠BAD=30°,

∴∠DBA=60°. (12分)