2023湖北省沙市中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

2022—2023学年度上学期2021级

第一次月考数学试卷

考试时间：2022年9月22日

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（    ）           

A.7.5           B.8                   C.8.5               D.9

2．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（       ）

A．第一象限      B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知，，若，则等于（    ）           

A. 2                              B.                             C.                              D. 

4．已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则       B. ，则

C. 若，则       D. ，则

5．在△ABC中，若2 acosB＝c，则该三角形一定是(   )

A. 等腰三角形    B. 直角三角形      C. 等边三角形    D. 不能确定

6．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（       ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

7．在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（       ）

A．0 B． C． D．1

8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且. 则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是(　　)

A．1             B.               C.              D.

二、多选题(本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.)

9．下列命题中正确的是（  ）

A．已知平面向量，，则与共线

B．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2

C．已知复数满足，则

D．已知复数，满足，则

10．给出下列命题，其中正确的是（       ）

A．任意向量，，满足

B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是

C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

D．若为正四面体，G为的重心，则

11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）.

A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C．抛掷一枚骰子1次,事件A=“向上的点数是1,2”,事件B=“向上的点数是1,3”,则事件A与事件B不是相互独立事件

D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

12．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（       ）

A．

B．四面体的表面积为

C．四面体的外接球的体积为

D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．已知空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则在方向上的投影向量为________．

14．从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个不同的数字，则两个数字的和为偶数的概率为___．

15．已知复数满足，若（为虚数单位），则___.

16．在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.

（1）求直方图中的值：

（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数：

（3）如果希望的居民月均用水量不超过标准，那么标准定为多少比较合理？

18．在中,内角所对的边分别为,且满足．

（1）求的值；

（2）已知的面积为，求a的值．

19．如图，在多面体中，为等边三角形，

.

（1）求证:平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20．为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛．现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响．

（1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率．

21．如图，在三棱锥中， . 

（1）若,求证：；   

（2）若分别在棱上，且，问在棱上是否存在一点，使得.若存在，则求出的值；若不存在.请说明理由.   

22．如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网．

（1）当 km时，求OM长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

高二年级数学答案

1.C  2.D   3.B   4.D   5.A 

6.【答案】C

【详解】①错，举反倒：0，0，0,   0，2， 6，6；其平均数，不符合题意;

②错，举反倒：；其平均数且,不符合题意;

③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,

则极差大于故假设不成立，故一定符合上述指标；

④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6, 则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.

故选：C

7.【答案】B

【详解】由题意等腰梯形的高为，

如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，

，

所以时，取得最小值．

故选：B．

8.D　【解析】 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分，即图中的三棱锥A－A1C1D1内，其体积是××1×1×1＝.

9.BC

10.CD

【详解】

A：因为与是一个标量，设，，

若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，

所以不一定成立，故A错误；

B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；

C：因为是空间的一个基底，所以不共面，

假设共面，则存在实数使得，

即，所以，方程组无解，

所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；

D：，

则，又为的重心，

所以，故，故D正确.

故选：CD

11.【答案】BCD

【解析】对于A，画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；

对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；

对于C，由相互独立事件的定义可知，故C正确；

对于D，记三件正品为，，，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，，共3种，则所求概率为，故D正确.故选BCD.

12.【答案】BCD

【详解】设是的中点，则两两相互垂直，

二面角为之二面角，平面，

A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误.

B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确.

C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确.

D选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面.

由于平面，平面，所以平面，，

由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确.

故选：BCD

13.答案：.

14.【答案】

15.【答案】1

16．

【详解】

根据题意，因为，其中，

所以点在线段上.

如图所示，沿展开正三棱柱的侧面，

故三角形周长为，

当、、三点共线时，取等号.

故答案为：.

17．（1）；

（2）众数为吨，平均数为吨；

（3）月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为0.73+0.5×0.3=0.88,所以，x∈ ( 2.5.3)，

由题意可得0.73+(x-2.5)×0.3=0.85，解得x=2.9.

18．(1)2;   (2)1或

【解析】

(1)由正弦定理得：   ,

，   ,

，因为A，C是三角形内角， ，

所以 ，而由正弦定理得，∴ ，即 ；

(2)由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h，

则三角形ABC的面积 ，

作下图：

过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h，

设AD=x ，则由勾股定理得到下列方程组：

，解得 ，

由公式法得 ，

，a=1；

19．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.

【详解】

(1)取中点,连结

，

是平行四边形，

平面，平面, 平面.

，

又 平面

平面 ，

又为等边三角形，为边的中点，

平面

又 平面，

平面 平面平面．

(2) 取中点,连结，

所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角,

过作,垂足为,连接.

平面平面 ,平面， 平面.

为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角，

在中，

直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（Ⅰ）设事件A表示“甲赢得比赛”，事件B表示“乙赢得比赛”，

P（A）＝＝，

P（B）＝＝，

，

∴甲、乙二人中选派一人参加比赛，甲赢得比赛的概率更大．

（Ⅱ）甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有赢得比赛，

∴甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率为：

P＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]

＝1﹣

＝．

21.【答案】 （1）证明：∵ 平面 ， 平面 ，  ∴ ，

又∵ ， ，∴ 平面 ，

平面 ，∴ ，

∵ ， ，∴ 平面 ，

∵ 平面 ，

∴ .

（2）存在，且  ， 

理由如下：

如图，作 的中点 ，连接 ， ，

由 得 ，又∵ ，

∴ ， 平面 ， 平面 ，

∴ 平面 ，

又∵ ， 分别为 ， 的中点，

∴ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，

∵ ， 平面 ， 平面 ，

∴平面 平面 ，

∵ 平面 ，    ∴ 平面 .

22．(1)；   (2)；  (3)，﹒

【解析】

(1)在Rt△OAB中，tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，

在中，，，，

由余弦定理得

＝；

(2)设，∵，

∴，即，

在中，由正弦定理得，，

即，即，即，

由，得，∴，即；

(3)设，由(2)知，

又在中，由，得，

∴，

∴当且仅当，即时，

的面积取最小值为﹒