浙江省绣湖中学教育集团2022-2023学年九年级上学期10月份学情调研数学试题(含答案)

绣湖中学九年级数学学情调研2022.10

一．选择题（共13小题）

1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）

A．y＝2x B．y＝﹣2x+1 C．y＝x2+2 D．y＝

2．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）

A． B． C． D．1

3．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　）

A．开口向下                 B．对称轴是直线 x＝﹣3 

C．顶点坐标为（﹣3，0）     D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小

4．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

5．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线

y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（　　）

A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 

C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3

6．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（　　）

A．4.8 B．4 C．6.4 D．6

6．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值

为﹣4，则a的值为（　　）

A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4

8．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，

CD＝4，则AC长为（　　）

A．5         B．6      C．9    D．

9．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（　　）

A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n

10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（　　）

A．        B．        C．       D．

二．填空题（共8小题）

11．若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝8，且AC＞BC，则AC＝　  　（结果保留根号）．

12．如果一抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为　   　．

13．如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为 　   　m．

14．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　   　．

15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制

作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1

正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是　   　．

           15题                                       16题

16．如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．

（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是　   　．

（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是　   　．

三．解答题（共10小题）

17．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．

（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；

（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；

（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．

18．已知二次函数y＝x2+4x﹣6．

（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；

（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．

（1）若AB＝8，求线段AD的长．

（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

20．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．

（1）求a，b的值．

（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．

21．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．

（1）求证：△ACE∽△BAD：

（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．

22．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图所示的两种方案：

方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．

（1）若按方案甲施工，且围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？

（2）按哪种方案施工，可以围成的矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？

23．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且抛物线的对称轴与x轴的交点为Q．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，QA，QB，求四边形PAQB面积的最大值及此时P的坐标；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．C．   2．A．   3．D．   4．C．   5．C．  6．A．7．D．8．B．9．A．10．C．

二．填空题（共8小题）

11．AC＝　4﹣4　12．　（﹣1，3）　．13． 　9　m．

14．　k≤且k≠1　．15．　　．16．（1）　4　．（2）　　．

三．解答题（共10小题）

17．

18．（1）y＝x2+4x+4﹣6﹣4＝（x2+4x+4）﹣10＝（x+2）2﹣10；

（2）y＝（x+2）2﹣10，∵a＝1＞0，

∴二次函数图象的开口向上．对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，﹣10）．

19．解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，

∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，

∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，

∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，

∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，

∴＝（）2＝，

∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．

20．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，

解得：；

（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，

∴y2＝12﹣y1＝6，∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，∴m＝4﹣5＝﹣1．

21．【解答】证明：（1）∵CD＝CE∴∠CDE＝∠CED∴∠AEC＝∠BDA又∵∠DAC＝∠B

∴△ACE∽△BAD；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，

∵∠DAC＝∠B，∴∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，

即，∴AC＝3，∵△ACE∽△BAD，∴，即，

∴AD＝5．

22．【解答】解：（1）设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，

根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2＝，当x＝时，AD＝15米＞6米，

∴x＝5，∴AD＝5米，答：AD的长是5米；

（2）按甲方案：设BC的长是m米，矩形花圃的面积是y平方米，

则AB＝（20﹣m）＝（﹣m）米，

根据题意，得y＝m（﹣m）＝﹣（m﹣10）2+（0＜m≤6），

∵﹣＜0，∴当m＜10时，y随m的增大而增大，

∵0＜m≤6，当m＝6时，y有最大值，最大值为28米．

按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，则AB＝[20﹣n﹣（n﹣6）]＝（﹣n）米，

根据题意得，S＝n（﹣n）＝﹣（n﹣）2+（6＜n＜13），

∴当x＝时，y有最大值为，∵28＜，

∴按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的最大面积，最大面积是平方米．

23．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝1，∴BF＝，

∴BC＝2BF＝2，则DC＝2﹣x，EC＝2﹣y．∵△ABD∽△DCE，

∴，∴，化简得：y＝x+2（0＜x＜2）；

（3）当AD＝DE时，如图2，

由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x，

将x＝2﹣2，代入y＝x+2．解得：y＝4﹣2，即AE＝4﹣2，

当AE＝ED时，如图3，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，

则ED＝EC，即y＝（2﹣y），解得：y＝，即AE＝，

当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，

∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．

24．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），

∴，∴b＝4，c＝﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+4x﹣1；

（2）设直线AB的关系式为y＝kx+b，将A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入，

，∴k＝1，b＝﹣1，∴y＝x﹣1，

过点P作x轴的垂线与直线AB交于点F，

设点P（a，a2+4a﹣1），则点F坐标为（a，a﹣1），

S△PAB＝|PF|•|xB﹣xA|＝（a﹣1﹣a2﹣4a+1）

＝（﹣a2﹣3a）＝﹣（a+）2+，

当a＝﹣时，S△PAB取得最大值为，∵△QAB的面积为，

∴四边形PAQB面积的最大值为，此时点P坐标为（﹣，﹣）；

（3）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标为（﹣2，﹣5），对称轴为直线x＝﹣2，

平移后的抛物线为y＝x2﹣5，由得，

∴点C的坐标为（﹣1，﹣4），设点D坐标为（﹣2，t），

以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，即△BDC是等腰三角形，

①当BC为对角线时，由中点坐标公式得E（1，﹣5﹣t），∵BD＝CD，

∴12+（﹣4﹣t）2＝22+（﹣1﹣t）2，解得t＝﹣2，∴E（1，﹣3）；

②当BD为对角线时，由中点坐标公式得E（﹣1，t+3），∵BC＝CD，

∴（﹣1）2+（﹣3）2＝（﹣1）2+（t+4）2，

解得t1＝﹣1，t2＝﹣7（舍去），∴E（﹣1，2）；

③当BE为对角线时，由中点坐标公式得E（﹣3，﹣3+t），

∵BC＝BD，∴（﹣1）2+（﹣3）2＝（﹣2）2+（t+1）2，

解得t1＝﹣1+，t2＝﹣1﹣，

∴E（﹣3，﹣4+）或（﹣3，﹣4﹣），

综上所述，点E的坐标为（1，﹣3）或（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+）或（﹣3，﹣4﹣）．