2023省双鸭山一中高二上学期10月月考数学试题含解析

高二上学期第一次月考数学试题

（考试时间：120分钟     满分：150分）

一、单选题：

1. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 圆的半径等于（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 11

4. 若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行，则实数n的值为（    ）

A. 3 B. -3 C. 1或3 D. 3或-3

5. 已知正方体​中，​分别为​的中点，则（    ）

A ​ B. ​

C. ​ D. ​

6. 已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D. .

7. 已知圆为坐标原点，以为直径作圆，交圆于两点，则面积为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

8. 椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题：

9. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知直线，圆，则下列选项中正确的是（    ）

A. 圆心的轨迹方程为

B. 时，直线被圆截得的弦长的最小值为

C. 若直线被圆截得的弦长为定值，则

D. 时，若直线与圆相切，则

11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为0

C. 的最大值为 D. 的最大值为

12. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 直线与直线的斜率之积为

C. 存点满足

D. 若的面积为，则点的横坐标为

三、填空题

13. 点到直线的距离为___________.

14. 设是椭圆两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.

15. 已知斜率为的直线与椭圆相交于A， B两点，若线段AB的中点为， 则的值为______， 此时_________

16. 直线与圆C：交于A、B两点，分别过A、B两点作圆的切线，设切线的交点为M，则点M的轨迹方程为_________.

四、解答题

17. 已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．

(1)    求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；

(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．

18. 求适合下列条件椭圆的标准方程．

（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；

（2）经过点，．

19. 已知圆过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，求该切线方程.

20. 在平面直角坐标系中，已知两圆和，动圆在内部且和圆相内切且和圆相外切，动圆圆心的轨迹为E.

（1）求E的标准方程；

（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值.

21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）求证：PA∥平面MBD；

（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．

22. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.

（1）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

（2）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值.

高二上学期第一次月考数学试题

（考试时间：120分钟     满分：150分）

一、单选题：

1. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得；

【详解】解：因为直线过点和，所以，设直线的倾斜角为，则，因为，所以；

故选：C

2. 圆的半径等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把圆的普通方程，化为标准方程，即可得到圆的半径.

【详解】把圆化为标准方程得，

圆，

所以圆半径为.

故选：B.

3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.

【详解】由椭圆的定义可知，因为，

所以，因为点分别是线段，的中点，

所以是的中位线，

所以.

故选：A.

4. 若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行，则实数n的值为（    ）

A. 3 B. -3 C. 1或3 D. 3或-3

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线平行的公式求解即可.

【详解】由题意知，且，故.

故选：B

5. 已知正方体​中，​分别为​的中点，则（    ）

A. ​ B. ​

C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系.

【详解】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为.

则

∴，

得到

故.

故选：D.

6. 已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D. .

【答案】B

【解析】

【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.

【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，

所以，可得，即，又，

所以.

故选：B

7. 已知圆为坐标原点，以为直径作圆，交圆于两点，则的面积为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接，从而得到为等边三角形，从而求得其面积.

【详解】

如图，连接.由题意知圆的方程为，

圆与圆的半径均为，且，故，

同理可得，则为等边三角形，

所以的面积为

故选：A

8. 椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作另一焦点为，连接，，根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理，构造齐次方程，即可得出离心率.

【详解】作另一焦点为，连接，，则四边形为平行四边形

，且，则三角形为等腰直角三角形

设，则，即

在三角形中，由勾股定理得

则，即

故选：C

【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率，属于中档题.

二、多选题：

9. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可

【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，

又，

所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；

当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，

故选：BD

10. 已知直线，圆，则下列选项中正确的是（    ）

A. 圆心轨迹方程为

B. 时，直线被圆截得的弦长的最小值为

C. 若直线被圆截得的弦长为定值，则

D. 时，若直线与圆相切，则

【答案】BC

【解析】

【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；

【详解】解：圆的圆心坐标为，

所以圆心的轨迹方程为，故A错误；

直线，令，解得，即直线恒过点，

当时圆，圆心为，半径，又，

所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；

对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值，

所以，解得，故C正确；

对于D：当时直线，圆心到直线的距离，

当时，此时直线与圆不相切，故D错误；

故选：BC

11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为0

C. 的最大值为 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.

【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，

设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，

，，，A，B正确；

表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，

所以最大值为，又，

所以的最大值为，C错，

因为可化为，

故可设，，

所以，

所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，

故选：ABD.

12. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 直线与直线的斜率之积为

C. 存在点满足

D. 若的面积为，则点的横坐标为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．

【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，

，A错；

设，则，，

所以，B正确；

因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；

，，，则，，D正确．

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．

三、填空题

13. 点到直线的距离为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式计算．

【详解】由已知所求距离为．

故答案为：．

14. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.

【答案】

【解析】

【分析】先利用定义求出的各边，再求出，即可求出的面积.

【详解】由，且，

在中，∠

.

故答案为：

15. 已知斜率为的直线与椭圆相交于A， B两点，若线段AB的中点为， 则的值为______， 此时_________

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】根据中点弦以及点差法即可求解斜率，联立方程得韦达定理，由弦长公式即可求解.

【详解】设，则，两式相减得，进而可得 ，

又是 的中点，所以，

因此，

此时直线方程为： ，

联立，

因此 ，

故答案为：2，

16. 直线与圆C：交于A、B两点，分别过A、B两点作圆的切线，设切线的交点为M，则点M的轨迹方程为_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据垂直关系，转化为向量的数量积为0，进而联立方程即可求解.

【详解】由直线可得该直线过定点,圆C：圆心为，

设，

则

由于

因此，

进而得： 以及，

两式相减得： ，

又因为在上，所以，

因此可得 ，

故答案为：

四、解答题

17. 已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．

(1)    求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；

(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．

【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.

【解析】

【分析】(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.

【详解】(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，

从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，

∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，

由解得

∴P（﹣2，﹣1）．

(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），

即kx﹣y+2k﹣1＝0，

∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得，

∴直线m方程为3x+4y+10＝0，

当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，

综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．

18. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；

（2）经过点，．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆上的点，结合椭圆的定义，求后，即可求得椭圆方程；

（2）首先设椭圆的一般方程，代入两点，即可求得椭圆方程.

【小问1详解】

由题意知椭圆的焦点在y轴上，

所以设椭圆的标准方程为．

由椭圆的定义知，

，即．

又c＝2，所以．

所以椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

设椭圆的方程为（，，且）．

因为点，在椭圆上，

所以代入椭圆的方程得，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

19. 已知圆过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，求该切线方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）设圆的一般方程为，将、、三点坐标代入圆的一般方程，得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程，再将圆的方程化为标准方程即可；

（2）分两种情况讨论，一种是切线与轴垂直，得出此时切线的方程为，验证此时该直线与圆是否相切，另一种是切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，求出的值，综合可得出切线的方程.

【详解】（1）设圆的一般方程为，

将、、三点坐标代入圆的一般方程，得，解得，

所以，圆的一般方程为，圆的标准方程为；

（2）当切线与轴垂直时，则该直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切；

当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即.

圆心到直线的距离为，解得，

此时，切线的方程为，即.

综上所述，所求切线的方程为或.

【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线的方程的求解，解题时不要忽略了对直线垂直于轴的讨论，从而漏掉答案，考查运算求解能力，属于中等题.

20. 在平面直角坐标系中，已知两圆和，动圆在内部且和圆相内切且和圆相外切，动圆圆心的轨迹为E.

（1）求E的标准方程；

（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到动圆圆心满足的关系式，根据椭圆的定义可得圆心的轨迹为椭圆，从而求出标准方程

（2）设点坐标，写出的函数表达式，根据椭圆上点的横坐标的取值范围，即可求出的最小值

小问1详解】

，设动圆的圆心为，半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，，所以，得到椭圆方程为：

所以E的标准方程为：

【小问2详解】

由（1）得：，设

所以，因为点P在椭圆上，所以，所以，，二次函数的对称轴为，所以当时，

故的最小值为

21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）求证：PA∥平面MBD；

（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面平行判定定理，结合中位线的性质，可得答案；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求的两平面的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.

【小问1详解】

连接AC交BD于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以OM∥PA，

且平面，平面，所以PA∥平面MBD.

【小问2详解】

由题意可得平行四边形ABCD为菱形，建立如图坐标系，如下图：

在菱形ABCD，AB=AD= 2，∠BAD=120°，，

所以：，

所以，，，，

设平面MBA的法向量，则，得，

令，则则面MBA的法向量，

同理可得：平面MDA的法向量，

所以，所以

故二面角的正弦值为.

22. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.

（1）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

（2）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值.

【答案】（1）是，定点为   

（2）25

【解析】

【分析】（1）由题意求出以为圆心，以为半径的圆的方程，与圆联立可得弦所在的直线的方程，可得直线恒过定点；

（2）由题意求出面积，的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值．

【小问1详解】

，在以点为圆心，为半径的圆上， ,即在圆上，

联立得，

所以过定点；

【小问2详解】

，

由题意可知直线斜率均存在，

设，；

得，，

，，

切线统一记为，即，

由得，得两根为，，

故，

所以，

所以，则，

记，

则

当，即时，．