湘教版(2019)必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数导学案及答案
展开4.1.3 幂函数
最新课程标准 | 学科核心素养 |
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律. 2.了解幂函数. | 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学抽象、数学运算) 2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,掌握它们的性质.(直观想象、逻辑推理) 3.能利用幂函数的单调性比较大小.(数学运算) |
教材要点
要点一 幂函数的概念
一般来说,当x为自变量而α为非零实数时, 函数________叫做(α次)幂函数.
要点二 幂运算的基本不等式
对任意的正数r和两正数a>b,有= >1,即ar>br.
对任意的负数r和两正数a>b,有=<1,即ar<br.
要点三 实数次幂函数y=xα(α≠0)的图象与性质
函数 | y=x | y=x2 | y=x3 | y=x | y= |
定义域 | R | R | R | ________ | ________ |
值域 | R | ________ | R | ________ | ________ |
奇偶性 | 奇函数 | ________ | ________ | 非奇非偶 函数 | ________ |
单调性 | 在R上递增 | 在________ 上递减, 在________ 上递增 | 在R上递增 | 在________ 上递增 | 在(-∞,0) 和(0,+∞) 上递减 |
图象 | |||||
过定点 | ________ | ________ |
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幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限.( )
(3)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数.( )
(4)若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大.( )
2.在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.(多选)已知幂函数f(x)=xα(α是常数),下列说法错误的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.f(x)的图象一定经过点(1,1)
D.f(x)的图象有可能经过点(1,-1)
4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则f(9)=________.
题型1 幂函数的概念
例1 (1)(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A.y= B.y=x5
C.y=4x2 D.y=x
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值.
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
②如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据.
若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
②常用方法.
设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.
跟踪训练1 若函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,则m的值为( )
A.1 B.-3 C.-1 D.3
(2)已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(4)=________.
题型2 幂函数的图象及应用
例2 (1)函数y=x的图象是( )
(2)幂函数y=xm,y=xn,y=xp,y=xq的图象如图,则将m,n,p,q的大小关系用“<”连接起来结果是________.
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x或y=x3)来判断.
跟踪训练2
(1)如图,曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,三个值,则相应于曲线c1,c2,c3的n值依次为( )
A.-2,,2 B.2,,-2
C.-2,2, D.2,-2,
(2)当α∈时,幂函数y=xα的图象不可能经过第________象限.
题型3 幂函数的性质及其应用
角度1 比较大小
例3 把,,,按从小到大的顺序排列:____________________________.
角度2 解不等式
例4 已知(a+1)-1<(3-2a)-1,求a的取值范围.
方法归纳
1.比较幂的大小的策略
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,中间值可以是“0”或“1”.
2.利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量或幂指数的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:
(1)确定可以利用的幂函数;
(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系;
(3)解不等式(组)求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 (1)下列两个数的大小正确的是( )
A.< B.<
C.0.20.6>0.30.6 D.9->
(2)若(3-2m)>(m+1),则实数m的取值范围为________.
忽视幂函数的图象特点致误例5 若函数f(x)=(m2+3m+1)·是幂函数,且其图象过原点,则m=________.
解析:因为函数f(x)=(m2+3m+1)·是幂函数,所以m2+3m+1=1,解得m=0或m=-3.当m=0时,f(x)=x-1,其图象不过原点,应舍去;当m=-3时,f(x)=x5,其图象过原点.
答案:-3
易错警示
易错原因 | 纠错心得 |
忽视了函数图象过原点,没有对所求m值进行检验,致使得到错误答案:0或-3 | 幂函数的图象过原点,则指数大于0;图象不过原点,则指数小于或等于0. |
课堂十分钟
1.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且函数y=xα为奇函数的所有α的值为( )
A.-1,3 B.-1,1
C.1,3 D.-1,1,3
2.在同一坐标系中,函数f(x)=ax+与g(x)=ax2的图象可能是( )
3.设a=2-6,b=3-4,c=7-2,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.a<c<b
C.a<b<c D.c<b<a
4.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f=________.
5.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递减,求f(x)的解析式.
4.1.3 幂函数
新知初探·课前预习
要点一
y=xα
要点三
{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数 奇函数 (-∞,0) (0,+∞) (0,+∞) (0,0),(1,1) (1,1)
[基础自测]
1.答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解析:函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.故选B.
答案:B
3.解析:当α=-1时,f(x)=x-1=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,因此A,B错误;当x=1时,f(1)=1,因此C正确,D错误.故选ABD.
答案:ABD
4.解析:设幂函数f(x)=xα(α为常数),
∵幂函数y=f(x)的图象过点(3,),
∴=3α,解得α=,
∴f(x)=,∴f(9)==3.
答案:3
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)A不符合幂函数的特点,C中系数不是1,BD是幂函数.
故选BD.
(2)由幂函数的定义可知
解得m=-3或1,n=.
答案:(1)BD (2)见解析
跟踪训练1 解析:因为函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,所以所以m=1.
故选A.
(2)设f(x)=xα(α为常数),所以=3α,α=-2,
所以f(4)=4-2=.
答案:(1)A (2)
例2 解析:(1)由幂函数的图象过点(0,0)和(1,1),故排除A、D;因为y=xα中,0<α=<1,所以图象在第一象限内上凸,排除C,故选B.
(2)过原点的指数α>0,不过原点的α<0,所以n<0,当x>1时,在直线y=x上方的α>1,下方的α<1,所以p>1,0<m<1,0<q<1;x>1时,指数越大,图象越高,所以m>q,综上所述n<q<m<p.
答案:(1)B (2)n<q<m<p
跟踪训练2 解析:(1)对于函数y=x-2,y=x2,y=x,令x=4,得到的函数值依次为,16,2.函数值由大到小对应的解析式为y=x2,y=x,y=x-2.因此相应于曲线c1,c2,c3的n值依次为2,,-2.故选B.
(2)幂函数y=x-1,y=x,y=x3的图象经过第一、三象限;y=x的图象经过第一象限;y=x2的图象经过第一、二象限.所以幂函数y=xα的图象不可能经过第四象限.
答案:(1)B (2)四
例3 解析:=1,>1,<1,<1,∵y=x为增函数,∴<.综上,<<<.
答案:<<<
例4 解析:①当a+1>0,且3-2a>0时,∵(a+1)-1<(3-2a)-1,∴
解得<a<.
②当a+1<0,且3-2a>0时,
(a+1)-1<0,(3-2a)-1>0.符合题意.可得解得a<-1.
③当a+1<0且3-2a<0时,∵(a+1)-1<(3-2a)-1,
∴不等式组解集为∅.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1)∪.
跟踪训练3 解析:(1)∵函数y=x在(0,+∞)上单调递增,又>,∴>,A错;∵函数y=x-在(0,+∞)上为减函数,又>,∴<,B正确;由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6,C错;9-=<<,∴9-<,D错.故选B.
(2)∵函数y=x在定义域[0,+∞)上是增函数,
∴
解得-1≤m<.
故实数m的取值范围为.
答案:(1)B (2)
[课堂十分钟]
1.解析:y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1是常见的五个幂函数,显然y=xα为奇函数时,α=-1,1,3,又函数的定义域为R,所以α≠-1,故α=1,3.故选C.
答案:C
2.解析:因为当a>0时,f(x)=ax+是增函数,与y轴的交点在正半轴上,g(x)=ax2的开口向上;当a<0时,f(x)=ax+是减函数,与y轴的交点在负半轴上,g(x)=ax2的开口向下;所以只有A中的图象符合,故选A.
答案:A
3.解析:a=2-6=8-2,b=3-4=9-2,c=7-2,由幂函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,可知b<a<c.故选A.
答案:A
4.解析:设幂函数为f(x)=xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4,2),∴2=4α,
∴α=,∴f(x)=,
∴f==.
答案:
5.解析:∵幂函数y=x3m-9在区间(0,+∞)上单调递减,∴3m-9<0,即m<3.
又∵m∈N*,∴m=1,2.
又y=x3m-9的图象关于y轴对称,即该函数是偶函数,
∴3m-9是偶数.∴m=1.
∴f(x)=x-6.
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