初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形示范课课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形示范课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了学习目标，新课导入，新课讲解，课堂小结，当堂小练，拓展与延伸，布置作业，等边三角形，请完成对应习题等内容，欢迎下载使用。

如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴呢？
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
等边三角形的内角都相等吗？为什么？
等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.
如图，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.
知识点 等边三角形的性质
几何语言：如图，在△ABC中， AB=BC=AC， ∠A=∠B=∠C=60°.
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.（2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”；每条边上的中线和高的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴.
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°. ∵在△ABE和△CBD中，AB=CB， ∠ABE=∠CBD， BE=BD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）. ∴AE=CD.
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.
分析：利用等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的推论，求出∠CDE=∠E，从而将求CE的长转化为求CD的长.
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，∴∠DBE= ∠ABC=30°. ∵DE=DB， ∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E, ∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.∴∠CDE=∠E. ∴CD=CE.∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点, ∴CE=CD= .
如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（ ） A.15° B.20° C.25° D.30°
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∵CG=CD， ∴∠CGD =∠CDG. ∴∠ACB =∠CGD+∠CDG=2∠CDG. 同理可得∠CDG=2∠E， ∴∠ACB =4∠E=60°. ∴∠E=15°.
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.∵在△EDB和△EDC中， ED=ED， ∠EDB=∠EDC， BD=CD，∴△EDB≌△EDC（SAS）.∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°- 45°=15°.
如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ） A.15° B.30° C.45° D.60°
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.所以这个三角形是等腰三角形.
如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B, ∴BC=AC. ∵∠B=∠C, ∴AC=AB. ∵BC=AC，AC=AB, ∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.
知识点 等边三角形的判定
几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形.
该判定方法也可以理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.
等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使得等腰三角形成为等边三角形呢？
1、等腰三角形的腰和底边相等；2、有一个角是60°的等腰三角形；
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC, ∴∠C=∠B . ∵∠A=60°, ∴∠B+∠C=180°-∠A=120° . ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60° , ∴∠C=∠B=60° . ∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60° , ∴∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形.
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.证明：△ABC是等边三角形.
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）在等腰三角形中，只要有一个角是60° ，无论这个角是顶角还 是底角， 这个三角形就是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法的选用：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.
如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形.
如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：图中与BD相等的线段有CD，CF，BE，DE，FD，AF，AE.容易证明△BDE，△CDF是等边三角形，容易漏掉证明AE，AF与BD相等.
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°∴AD为BC的中线，AD为∠BAC的平分线.∴∠BAC=∠B=∠C=60°，BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°.∵∠B=∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE=DE.同理，△CDF是等边三角形，∴CD=CF=DF.∵AD是BC上的高， ∴∠ADB=90°.∵∠BDE=60°， ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=30°.∵∠ADE=∠BAD=30°， ∴AE=DE.同理：AF=DF， ∴BD=CD=CF=BE=DE=FD=AF=AE.
已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为多少？
解：∵等腰三角形的一个内角为60°， ∴该等腰三角形是等边三角形， ∵该三角形的一边长为8， ∴它的周长为8+8+8=24.
下列条件中不能得到等边三角形的是（ ）A.有一个角是60°的等腰三角形B.三边相等的三角形C.有两个内角是60°的三角形D.有两个外角相等的等腰三角形
D选项中若是顶角和底角的外角相等，则说明顶角和底角相等，此时等腰三角形的三个内角相等，可以得到等边三角形；若是两个底角的外角相等，则不能得到等边三角形.
三边相等，三个角相等，具有等腰三角形的一切性质.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.∵在△ADC和△CEB中， AC=CB， ∠A=∠BCE， AD=CE，∴△ADC≌△CEB（SAS），∠CBE=∠ACD.∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
如图，在等边三角形ABC 中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE 的大小是多少？
正三角形ABC 的两条角平分线BD 和CE 相交于点F，则∠BFC的度数是多少？
解：∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵BD和CE是正三角形ABC的角平分线，∴∠ECB=30°，∠DBC=30°.在△BFC中，∠BFC= 180°-∠ECB-∠DBC =180°-30°-30° =120°.
如图，AC 和BD 相交于点O，若OA=OB，∠A=60〫，且AB//CD.求证：△OCD 是等边三角形.
证明：∵∠A=60°，OA=OB，∴∠B=∠A=60°.∵AB//CD， ∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°.∴∠COD=60°.∴∠C=∠D=∠COD=60°，∴△OCD是等边三角形.
如图，△ABC 是等边三角形，△ADE 是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC 时，求∠BAD 和∠EDC 的度数.
分析：首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝50°，∠DAF＝∠EAF＝40°，进而利用等边三角形各内角度数求出∠BAD即可，再利用三角形外角性质得出答案．
解：∵DE⊥AC, ∴∠DFA=∠EFA=90°. ∵AD=AE，∠DAE=80°, ∴∠ADE=∠E=50°. ∴∠DAF=∠EAF=40°. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°. ∴∠BAD=∠BAC-∠DAF=20°. ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=60°+20°-50°=30°.
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.（1）若∠B=60°，求∠C的度数；（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
分析：（1）△ABD中∠BDA=∠BAD，∠B=60°，则△ABD是等边三角形.由CD=AB，∠BDA=60°，可得∠C=30°.（2）证明AD是∠EAC的平分线也即是证明∠EAD=∠CAD，一般选用三角形全等或者等边对等角.
解：（1）∵∠BDA=∠BAD，∠B=60°，∴∠BDA=∠BAD= （180°-60°）=60°.∴△ABD是等边三角形，AB=AD.∵CD=AB, ∴CD=AD，∠DAC=∠C.∵∠BDA=∠DAC+∠C=60°，∴∠C=30°.
（1）若∠B=60°，求∠C 的度数；
（2）延长AE到点M，使得EM=AE，连接DM.∵AE是△ABD的中线， ∴BE=DE.在△ABE和△MDE中， EA=EM， ∠AEB=∠MED， BE=DE，∴△ABE≌△MDE，∴AB=DM，∠ABE=∠MDE.∵∠ADC=∠ABE+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ABD， ∴∠ADC=∠ADM.∵CD=AB，AB=DM， ∴CD=DM.在△MAD和△CAD中，DM=CD， ∠ADM=∠ADC， AD=AD， ∴△MAD≌△CAD，∠MAD=∠CAD. ∴AD是∠EAC的平分线.