2021长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含解析

长郡中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试

数学

一､单项选择题

1. 若：，，则（    ）

A. ：， B. ：，

C. ：， D. ：，

2. 椭圆的焦点坐标是（ ）

A  B.  C.  D.

3. 已知，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若函数，满足，且，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（    ）

A. 3 B. 6 C.  D.

6. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）

A. 在上为减函数 B. 在处取极小值

C. 在上为减函数 D. 在处取极大值

7. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

8. 若函数在是增函数，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 （    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，同时满足：①，都有或，②，，则实数的取值范围为（    ）

A. (-3，0) B.

C. (-3，-1) D. (-3，-1]

二､多项选择题

13. 已知曲线.（    ）

A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B. 若m=n>0，则C圆，其半径为

C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m=0，n>0，则C是两条直线

14. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 平面平面

C. 面AEF D. 二面角的大小为

15. 若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

三､填空题

16. 函数的图象在点处的切线方程为_____________．

17. 在正方体中，点分别是的中点，则和所成角的余弦值为__________．

18. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_________．

19. 已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．

20. 已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为________.

四､解答题

21. 设椭圆C：过点（0，4），离心率为.

（1）求C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为直线被C所截线段的中点坐标．

22. 已知关于的函数，其导函数为，且函数在处有极值.

（1）求实数､的值；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

23. 如图，平面，四边形是正方形，，､分别是､的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

24. 已知抛物线：的焦点为，倾斜角为45°的直线过点与抛物线交于，两点，且.

（1）求；

（2）设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为，的两条弦，，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标.

25. 已知函数(，为自然对数底数).

（1）讨论的单调性；

（2）当，恒成立，求整数的最大值.