2023北京海淀区一零一中学高三上学期9月月考试题数学含解析

北京101中学2023届上学期

高三年级9月月考数学试卷

一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9

C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9

3. 设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（）

①若单调递增，单调递增，则单调递增；

②若单调递增，单调递减，则单调递增；

③若单调递减，单调递增，则单调递减；

④若单调递减，单调递减，则单调递减.

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（）

A.  B.

C.  D.

5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（）

A. 钝角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不等腰三角形

6. 已知函数的最小正周期为，则（）

A. 在内单调递增 B. 在内单调递减

C. 在内单调递增 D. 在内单调递减

7. 若是上周期为5的奇函数，且满足，则

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

10. 信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X＝i）＝pi＞0（i＝1，2，…，n），，定义X的信息熵H（X）＝．给出下面四个结论：

①若n＝1，则H(X)＝0；

②若n＝2，则当时，H(x)取得最小值；

③若，则H(X)随着n的增大而增大；

④若n＝10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，5，且P（Y＝j）＝pj+p11-j（j＝1，2，…，5），则H（X）＞H（Y）．

其中，正确结论的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题共5小题．

11. 在中，，则_____.

12. 若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．

13已知数列满足，，若，则_______．

14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．

15. 已知函数，若函数＝f（x-4）+x，则函数的图象的对称中心为__________；若数列｛an｝为等差数列，a1+a2+a3+…+a11＝44，则g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝__________．

三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知函数部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.

（1）求函数的解析式：

（2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

17. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

（1）求的面积；

（2）若，求b．

19. 已知函数.

（1）求值；

（2）求不等式＞1解集；

（3）当x0＜0时，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由．

20. 已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求函数在上的最小值.

21. 已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.

（1）直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；

（2）已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；

（3）已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）