(新高考)高考数学一轮复习考点练习09《函数的定义域与值域》（解析版）

考点09  函数的定义域与值域

【命题解读】

掌握常见函数的定义域以及值域，

【基础知识回顾】 

1、常见函数的定义域：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.

(5)y＝tan x的定义域为.

(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.

2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；

1、（2020·枣庄市第三中学月考）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

要使函数有意义，则，

得，

即或，

即函数的定义域为，

故选：．

2、函数的y＝值域为(  )

A. [0，＋∞)　　　　　  B. [0，2]

C. [2，＋∞)　　　　　  D. (2，＋∞)

【答案】B

【解析】　设μ＝－x2－6x－5，则原函数可化为：y＝.

又∵μ＝－x2－6x－5＝－2＋4≤4，∴0≤μ≤4，故∈，

∴函数y＝的值域为.故选B.

3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x)的值域为(　　)

A．[0，2]　　　　　　　 B.

C.  D．[0，4]

【答案】B

【解析】　由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为kAB＝＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝－x＋3.

所以f(x)＝

所以g(x)＝x·f(x)＝

当0≤x≤1时，g(x)＝2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]；

当1<x≤3时，g(x)＝－x2＋3x＝－＋，显然，当x＝时，函数g(x)取得最大值；当x＝3时，函数g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为.

综上可知，函数g(x)的值域为.故选B.

4、（多选题）下列函数中定义域是的有　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】对于，函数，定义域为，满足题意；

对于，函数，定义域为，不满足题意；

对于，函数，定义域为，满足题意；

对于，函数，定义域为，，，不满足题意．

故选：．

5（2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）函数的定义域为__________

【答案】

【解析】根据题意，由于函数，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3 ,故可知所求的定义域为。

考向一　求函数的定义域

例1、（2020·山东省东明县实验中学月考）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由函数，知

解之得：

故选：B

变式1、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）函数的定义域为_____

【答案】

【解析】根据题意，由于函数，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3 ,故可知所求的定义域为。

变式2、若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】D

【解析】　∵函数y＝的定义域为R，

∴mx2＋4mx＋3≠0，

∴m＝0或

即m＝0或0<m<，

∴实数m的取值范围是.

变式3、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)

A．(－2，0)　　　　　　　　 B．(－2，2)

C．(0，2)   D.

【答案】C

【解析】由题意得∴

∴0<x<2，

∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0，2)．

方法总结：求函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.

考向二  函数的值域

求下列函数的值域．

(1)y＝，x∈[3，5]；

(2)y＝(x>1)．

【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝＝2－，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，∴ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.

(方法2)(反表示法)由y＝，得x＝.∵x∈[3，5]，∴3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.

(2)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，

∴y＝＝＝t＋－2(t>0)．∵t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．

变式1、(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________．

(3)函数f(x)＝的最大值为________．

【答案】(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)2

【解析】　(1)图象法

函数y＝

作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．

(2)单调性法

∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，

∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.

即解得a＝1，b＝.

(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

变式2、函数f(x)＝的值域为________________．

【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)

【解析】当x>0时，f(x)＝x＋≥4，

当且仅当x＝2时取等号；

当x<0时，－x＋≥4，

即f(x)＝x＋≤－4，

当且仅当x＝－2取等号，

所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

变式3、　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________；

(2)函数y＝x－的值域为________．

【答案】(1)2　(2)[－2，2]

【解析】　(1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.

(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，

所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，

则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ

＝2cos，

因为θ＋∈，

所以cos∈，所以y∈[－2，2]．

变式4、.(2015福建)若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是               ．

【答案】

【解析】因为，所以当时，；又函数的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围为．

方法总结：　1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求

1、(2014山东)函数的定义域为（  ）

A．    B．   C．  D．

【答案】C

【解析】，解得．

2、(2012山东)函数的定义域为

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】故选B．

3、.(2012课标，文16)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____

【答案】2

【解析】=，设==，则是奇函数，∵最大值为M，最小值为，∴的最大值为M-1，最小值为－1，∴，=2.

3、（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则

A．与有关，且与有关         B．与有关，但与无关

C．与无关，且与无关         D．与无关，但与有关

【答案】B

【解析】函数的对称轴为，

①当，此时，，；

②当，此时，，；

③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．

4、（2020北京11）函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．

5、(2015山东)已知函数 的定义域和值域都是，则    ．

【答案】

【解析】当时，无解；当时，解得，，则．

6、(2013北京)函数的值域为        ．

【答案】

【解析】当时，，当时，，∴值域为．

7、（2020·山东师范大学附中高三月考），表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．函数的值域为

【答案】CD

【解析】

对于A，，而，故A错误；

对于B，因为，所以恒成立，故B错误；

对于C，，，，所以，

当时，，此时；

当时，，此时，

所以，，故C正确；

对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.

故选：CD.