(新高考)高考数学一轮复习考点练习10《函数的单调性》（解析版）

考点10  函数的单调性

【命题解读】

考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】 

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；

<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是(　　)

A．递减函数　　　　　　　　 B．递增函数

C．先递减再递增函数  D．先递增再递减函数

【答案】C

【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2，4]上先减后增．故选C.

2、函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)

A．2　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D．－

【答案】B

【解析】　因为y＝在[2，3]上单调递减，所以ymin＝＝.

故选B.

3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.   B. 

C.   D.

【答案】D　

【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f.所以0≤2x－1<，

解得≤x<.故选D.

4、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y＝在R上为减函数　　　　　　　 

B. y＝|f(x)|在R上为增函数

C. y＝－在R上为增函数　　　　　　 

D. y＝－f(x)在R上为减函数

【答案】D.

【解析】　如f(x)＝x3，则y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x＝0时无意义，A、C错；y＝|f(x)|是偶函数，在R上无单调性，B错．故选D.

5、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是　　

A． B． 

C． D．

【答案】．

【解析】：若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．

若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．

故选：．

6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是          ；单调递减区间是         ．

【答案】(1－，1)，(1＋，＋∞)；(－∞，1－)，(1，1＋)．

【解析】作出函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调增区间为(1－，1)，(1＋，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－)，(1，1＋)．故应分别

考向一函数单调性的证明与判断

例1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．

【解析】　函数f（x）＝在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：

设x1、x2∈[1，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝＝.∵x1、x2∈[1，＋∞），且x1<x2，∴ x1－x2<0，1－x1x2<0.

又（1＋x）（1＋x）>0，∴ f（x1）－f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2）.∴ f（x）＝在[1，＋∞）上为减函数.

变式1、试讨论函数f(x)＝x＋(k>0)的单调性．

【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令x1<x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1)．

因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0．

故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)<f(x2)，

即函数在(，＋∞)上单调递增．

当x1，x2∈(0，)时，f(x1)>f(x2)，

即函数在(0，)上单调递减．

考虑到函数f(x)＝x＋(k>0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．

综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．

法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

f′(x)＝1－．

令f′(x)>0得x2>k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)<0得x2<k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，)．

故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．

变式2、试讨论函数f(x)＝(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

【解析】　(方法1)设x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝.

∵x1＜x2，x2－x1>0，又a>0，(x＋1)(x＋1)>0.

∴当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－1<0，

从而<0，即f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)，此时f(x)＝ (a＞0)单调递增；

当x1，x2∈(1，＋∞)时，x1x2－1>0，

从而>0，即f(x1)－f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)，此时f(x)＝ (a＞0)单调递减．

∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．

方法总结：　1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.

2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：

→→→→

其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．

考向二  函数的单调区间

例1、求下列函数的单调区间

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.

【解析】（1）由即

画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，

[1，＋∞)．

（2）y＝|x|(1－x)＝

＝函数的大致图象如图所示.

由图易知函数的单调递增区间是.

变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)

【答案】B

【解析】y＝|x2－3x＋2|=

如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．

变式2、 函数f(x)＝的单调减区间为________________．

【答案】 ，

【解析】 因为f(x)＝＝＝＋，且定义域为，

所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(－，＋∞)．

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解

考向三 复合函数的单调区间

 例3、求下列函数的单调区间

(1)f(x)＝；

   （2）

【解析】(2)f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，

∵t＝x2－12x－3在x∈(－∞，－1]上是减函数，在x∈[3，＋∞)为增函数，又y＝在t∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看成与u＝x2－3x＋2的复合函数．

由x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2.

∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．

∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．

而在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．

变式1、函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为（    ）

   A．            B．            C．           D．

【答案】　D

【解析】　根据复合函数的单调性判断．

因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

变式2、函数f(x)＝2的单调递增区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】B

【解析】令t＝，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g(t)＝2t是增函数，所以f(x)的单调递增区间即t＝的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t＝的单调递增区间为，即原函数的单调递增区间为.故选B.

方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

考向四  函数单调性中的含参问题

例4、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，

∵函数f(x)＝的值域为R，

∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，

则解得0≤a＜.

变式1、如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.

【答案】

【解析】对任意x1≠x2，都有>0，

所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.

所以解得≤a<2.

故实数a的取值范围是.

变式2、设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a可能的值为(　　)

   A．－2          B．0          C．1           D．2

【答案】 CD

【解析】　f(x)＝＝a－，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，

∴即即a≥1.

例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．(3，＋∞)

C．[1，3)  D．(0，1)

【答案】B

【解析】　法一：由f(x)＝可得当x＜1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，

要使得f(2x＋1)＜f(3x－2)，则解得x＞3，

即不等式f(2x＋1)＜f(3x－2)的解集为(3，＋∞)，故选B.

法二：当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)＝1，要使f(2x＋1)＜f(3x－2)成立，需或解得x＞3.故选B.

变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．

【答案】

【解析】

根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，

又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，

所以，即.

故答案为：.

变式2、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1，1)  B．(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【答案】C

【解析】　(1)由f(x)为R上的减函数且f<f(1)，

得即所以－1<x<0或0<x<1.故选C.

方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

1、(2015北京)下列函数中，定义域是且为增函数的是

A．      B．         C．       D．

【答案】B

【解析】四个函数的图象如下

显然B成立．

2、（2017北京）已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数         B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数         D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【解析】，得为奇函数，

，所以在R上是增函数．选A．

3、（2019北京理13）设函数 (a为常数)，若为奇函数，则a=______； 若是上的增函数，则a的取值范围是 ________．

【答案】

【解析】①根据题意，函数，若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立．又，所以．②函数，导数．若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a≤0，即a的取值范围为．

4、(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】（不答案不唯一）

【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．

5、（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是

①    ②    ③    ④

【答案】①④

【解析】①在上单调递增，故具有性质；

②在上单调递减，故不具有性质；

③，令，则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

故不具有性质；

④，令，

则，

在上单调递增，故具有性质．

6、(2012安徽)若函数的单调递增区间是，则=________．

【答案】

【解析】由可知的单调递增区间为，故．

7、已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

【解析】：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.

任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，

所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为(0，1]．