(新高考)高考数学一轮复习考点练习27《三角恒等变换（1）》（解析版）

考点27   三角恒等变换（1）

【命题解读】

能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

.能运用上述公式进行简单的恒等变换

【基础知识回顾】 

知识梳理

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；

cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；

tan(α±β)＝，简记作T(α±β)．

2. 二倍角公式

sin2α＝2sinα·cosα；

tan2α＝；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．

3. 辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.

4. 公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；

sinα±cosα＝sin(α±)；

sinα·cosα＝sin2α；

1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；

1－sin2α＝(sinα－cosα)2；

sin2α＝；

cos2α＝；

tan2α＝(降幂公式)；

1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．

1、知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

【答案】　C

【解析】　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，

∴sin＝－×＋×＝－.

2、已知tan＝2，则tan α＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

【答案】　A

【解析】　tan＝＝2，解得tan α＝.

3、(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是(　　)

A．f(x)的最小正周期T＝     B．f(x)是偶函数

C．f(x)的最大值为           D．f(x)的最小正周期T＝π

【答案】ABC　

【解析】因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，f(x)的最大值为×2＝.故D错．

4、 (多选)下列式子的运算结果为的是(　　 )

A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°

B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)

C.

D.

【答案】ABC

【解析】对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；对于B，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；对于C，＝＝tan 60°＝；

对于D，＝×＝×tan＝.

综上，式子的运算结果为的是A、B、C.

5、【2020江苏南京三校联考】已知，则＝_____________．

【答案】﹣

【解析】∵，∴sin2x=cos(2x+)=2sin2(x+=﹣1=，故答案为：﹣．

6、(一题两空)已知0＜α＜，且sin α＝，则tan＝________，＝________.

【答案】：7　

【解析】因为0＜α＜，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，

则tan＝tan＝＝7.

＝＝＝＝.

考向一　利用两角和(差)公式运用

例1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，

sin＝，求cos(α＋β)．

【解析】　∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，

∴cos＝＝，

sin＝＝，

∴cos＝cos＝

coscos＋sinsin＝

×＋×＝，∴cos(α＋β)＝

2cos2－1＝2×－1＝－.

变式1、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则______．

【答案】

【解析】由三角函数的定义得：，所以，

所以．故答案为．

变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知是第二象限角，且，，则____.

【答案】

【解析】由是第二象限角，且，可得，，

由，可得，代入，

可得，

故答案为：.

变式3、在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.

【答案】　

【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，

可得＝－1，

即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，

所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.

方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向二  二倍角公式的运用

例2、(1) 已知＝，则sin2x＝________．

(2) 已知，则cos4x的值为________．

【答案】：(1) －　(2) －

【解析】：(1) 因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，

所以sin2x＝2×－1＝－1＝－．

(2) 由已知得sincos＝－，

∴ cos2＝．

∴ sin2x＝cos＝2cos2－1＝－．

∴ cos4x＝1－2sin22x＝1－＝．

变式1、(1)＝________.

(2)化简＝________.

【答案】(1)　(2)－1

【解析】(1)＝

＝＝＝.

(2)＝＝＝－1.

变式2、已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

【解析】(1)coscos＝cossin＝sin＝－，

即sin＝－.

∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，

∴ sin 2α＝sin

＝sincos－cossin

＝－×－×＝.

(2)∵α∈，∴2α∈，

又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.

∴tan α－＝－

＝＝＝－2×＝2.

方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向三  公式的综合运用

例3、化简：(0<θ<π)．

【解析】： 由θ(0，π)，得0<<，∴ cos>0．

因此＝＝2cos．

又(1＋sinθ＋cosθ)＝

＝2cos＝－2coscosθ．

故原式＝＝－cosθ．

变式1、 设α是锐角，且cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为____．

【答案】

【解析】　∵α是锐角，∴＜α＋＜，∵cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝.sin2(α＋)

＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝，sin(2α＋)＝

sin＝sin2(α＋)cos－

cos2(α＋)sin＝×－×＝.

变式2、计算＝________.

【答案】2

【解析】　＝

＝＝

＝

＝＝2.

变式3、已知sin＝，α∈.

求：(1)cos α的值；

(2)sin的值．

【解析】(1)由sin＝，

得sin αcos＋cos αsin＝，

化简得sin α＋cos α＝，①

又sin2α＋cos2α＝1，且α∈②

由①②解得cos α＝－.

(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，

∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×＝－.

方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

1、（2020全国Ⅰ理9）已知，且，则 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【解析】，得，即，解得或（舍去），又，故选A．

2、（2020全国Ⅱ理2）若为第四象限角，则 （   ）

A．      B．        C．            D．

【答案】D

【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确，故选D．

3、（2020全国Ⅲ文5）已知，则 （   ）

A．                   B．                C．                 D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．故选B．

4、（2020全国Ⅲ理9）已知，则 （   ）

A．               B．            C．         D．

【答案】D

【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．

5、（2019•新课标Ⅱ，理10）已知，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，，，，，故选．

6、【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为,

所以

又,故,

所以,

所以

（2）由（1）得,,,

所以,

所以,

因为且,

即,解得,

因为,所以,所以,

所以,

所以

7、【2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】已知为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为为锐角，，所以.

因为为锐角，所以，同理可得，.

所以.

所以的值为 

（2）由，，得.

因为，为锐角，所以

所以.

所以.   

所以的值为

8、（2018年高考江苏卷）已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解析】（1）因为，，

所以．

因为，

所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，

所以，

因此．

因为，所以，

因此，．