(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题4.5《导数》单元测试卷》(解析版)

专题4.5 《导数》单元测试卷

考试时间：120分钟     满分：150

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·全国高二课时练习）已知f(x)＝sinx－cosx，则＝（    ）

A．0 B．

C． D．1

【答案】C

【解析】

根据求导公式直接求导即可.

【详解】

∵＝cosx＋sinx，

∴＝cos＋sin＝.

故选：C

2．（2021·全国高三其他模拟（文））函数在处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

求出在处导数值即可.

【详解】

，，，积切线斜率为0.

故选：C.

3．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据导数的几何意义求出直线的斜率，再求出切点坐标，最后运用直线的点斜式方程就可以求出切线方程.

【详解】

依题意，，则，而当时，，

故所求切线方程为，即.

故选：D.

4．（2021·江苏高三其他模拟）函数的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解．

【详解】

因为，所以是奇函数，

从而的图像关于原点对称.故排除B和C.

因为，所以是增函数，故排除D.

故选：．

5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益，假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为初始时该放射性同位素的含量，已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间为（    ）．

A．20天 B．30天 C．45天 D．60天

【答案】B

【解析】

求导，根据时，该放射性同位素的瞬时变化率为，求得，得到，再由求解.

【详解】

由得，

因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，

即，解得，

则，当该放射性同位素含量为9贝克时，即，

所以，即，所以，解得，

故选：B．

6．（2020·全国高二课时练习）函数在上是减函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

先求解出，然后根据在上恒成立求解出的取值范围.

【详解】

∵，

又函数在上是减函数，

∴在上恒成立，∴，

当时，显然成立，当时，且，

∴.

当时，，满足题意．

故选：D.

7．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为0可得，从而得到参数的取值范围.

【详解】

当时，易得的零点为，

当时，，

∵当时，，∴的图象在上关于直线对称.

又，

当时，，故单调递增，

当时，，故单调递减，且，.

因为的所有零点之和为0，故在内有2个不同的零点，

且，解得.

故实数a的取值范围为．

故选：A．

8．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时， ，且．则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由已知条件构造函数，则，在R上为奇函数，且单调递增，而由，可得，然后分和对化简，再利用的单调性可解得不等式

【详解】

当时，，∴，

令，为上的偶函数，则，在R上为奇函数，且单调递增，且，则

①当时，，即，，即，∴；

②当时，，，，

即，∴．

综上，不等式的解集为．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

把题中条件变形为，根据条件构造函数，利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】

因为，，所以，

设，则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以，即，故选项A正确；

由得，所以选项D正确；选项B，C无法推出.

故选：.

10．（2021·辽宁高三其他模拟）已知和是函数的两个极值点，且函数有且仅有两个不同零点，则值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】BD

【解析】

依题意解得，然后求得的极值. 要使函数有两个零点，则的极大值为0或的极小值为0，进而可得结果.

【详解】

，依题意，是的两个根，

所以，解得.

故.

易求得函数的极大值为和极小值为.

要使函数有两个零点，则极大值或极小值.

所以或．

故选：BD.

11．（2021·济南市·山东师范大学附中高二期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．若在单调递增，则实数

B．当时，是的极值点

C．当时，的零点满足

D．当时，恒成立

【答案】AC

【解析】

对于，依题意转化可得在上恒成立，令，求函数的最小值即可；对于，将代入，判断函数的单调性，进而得出极值情况；对于，将代入，利用零点存在性定理判断即可；对于，将代入，由即可判断．

【详解】

对于，若在单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，易知函数在单调递增，故（1），

，即，选项正确；

对于，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，故（1），

在上单调递增，无极值点，选项错误；

对于，当时，，,

在上单调递减，在上单调递增，故（0），

，在上递增，则仅有一个零点，

又，

由零点存在性定理可知，，选项正确；

对于，当时，，当时，，选项错误．

故选：．

12．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）函数，，下列说法正确的是（    ）

A．当时，在处的切线方程为

B．当时，存在唯一极小值点且

C．存在，在上有且只有一个零点

D．对任意，在上均存在零点

【答案】ABC

【解析】

直接法，逐一验证选项，选项，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项、，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线 的交点问题．

【详解】

解：直接法，逐一验证．

选项，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，

故直线方程为：，即切线方程为： 选项符合题意；

选项，当时，，，，恒成立，所以单调递增，

又， 故存在唯一极值点，不妨设，则，即，且，，，，

所以极小值，选项符合题意；

对于，，令，即，当，且 显然没有零点，故，且，

所以则令，，令，解得，，，

所以 单调递增，， 单调递减，有极大值，

单调递减，， 单调递增，有极小值

故选项，任意均有零点，不符合，选项，存在，有且只有唯一零点，此时，

故选：．

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2021·浙江高二期末）曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．

【答案】

【解析】

求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.

【详解】

由可得，

设点P处切线的倾斜角为，则可得，

，则可得.

故答案为：.

14．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.

【详解】

令，

则，

令，

则由知，

在上单调递减，在上单调递增，

且，，.

，，

，

作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.

故答案为：.

15．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

根据题意得，进而根据已知条件解方程得，进而将问题转化为恒成立，再构造函数，求函数最值即可.

【详解】

∵函数对均有①，

∴将换为x，得②，

∴由①②，解得.

∴恒成立，恒成立，

∴只需，

令，则，

令，则，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，

∴m的取值范围为.

故答案为：

16．（2021·辽宁大连市·高三二模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，.则________；数列的前项和为，则_______.

【答案】       

【解析】

根据题意，求得表达式，进而可得，表达式，可求得，所以，根据等比数列定义及通项、求和公式，即可得答案.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以，，

所以，

所以，

所以，又，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以，

所以，

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的极值．

【答案】（1）单调增区间为：和，单调减区间为：；（2）极大值40，极小值8．

【解析】

（1）对求导，令导函数大于0，得单增区间；令导函数小于0，得单减区间，

（2）由（1）中的即可得单调区间.

【详解】

（1）∵，∴．令，则或2，

故的单调增区间为：和，单调减区间为：．

（2）由（1）得：当时，有极大值40，当时，有极小值8．

18．（2021·江苏高二月考）设函数

（1）若在点处的切线为，求a，b的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（1），；（2）当时，在单调递减；当时，的递增区间为，单减区间为.

【解析】

（1）根据导数的几何意义求出a，再把切点坐标代入切线方程求出b；

（2）求出导函数，对a分类讨论，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系即可求出单调区间.

【详解】

（1）的定义域为，，

因为在点处的切线为，

所以，所以；所以

把点代入得：.

即a，b的值为：，.

（2）由（1）知：.

①当时，在上恒成立，所以在单调递减；

②当时，令，解得：，

列表得：

所以，时，的递增区间为，单减区间为.

综上所述：当时，在单调递减；

当时，的递增区间为，单减区间为.

19．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）当时，利用导数证明函数的导数恒大于0，即可得到答案；

（2）利用参变分离将问题转化为方程有两个不相等的实根，讨论和，即可得到答案；

【详解】

（1）当时，的定义域为，，

令，则，

当，当，

所以在上单调递减，在上单调递增，

为的极小值点，且，

在单调递增.

（2）问题转化为方程有两个不相等的实根，

当，即时，不成立；

当且时，，

令，则与的图象有两个交点，

，

或；，

在单调递减，在单调递增，

又当，，

且在的最小值为，

当时，直线与的图象有两个交点，

实数的取值范围.

20．（2021·河南郑州市·高二期末（理））已知函数，，其中．

（1）若曲线在处的切线斜率为，求的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求导，根据，代入求得参数a；

（2）将不等式转化为，设，从而问题变成函数值大小比较即为．通过导数求得函数单调区间，进而转化为自变量大小比较，因含参数，后面利用分离参数，对新函数，利用导数研究其最值情况即可得到参数取值范围.

【详解】

解：（1）依题可得，且，

．

．

（2）由题设知，即，

整理得，

设，则上式即为．

，令得．

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

又当时，，

只需，即，

设，则．

令得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

．

．

21．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若方程有两个不同的解，求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

（1）求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；

（2）利用（1）中的结论，数形结合可得出实数的取值范围；

（3）构造函数，，利用导数证得，由此可证得所证不等式成立.

【详解】

（1）函数的定义域为，且.

令，解得；令，解得．

所以的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由（1）可知，

当时，，当时，，

由可得，则直线与函数的图象有两个交点，

如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是；

（3）证明：欲证，只需证．

令，．

则，

令，则，

因为，所以，．

所以，所以在上单调递减，所以，

所以，则在上单调递减，所以，

故当时，．

【点睛】

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝1+lnx+ln2x﹣x.

（1）若g（x）＝f′（x），求g（x）的极大值.

（2）当x≥a（a∈R）时，f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值.

（3）当x∈（0，1）时，证明：xex+3sinx＞4x+x2.

【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.

【解析】

（1）首先求出，然后求导判断单调区间即可求出极大值；

（2）借助第一问的结论可以求出的范围，进而求得最小值；

（3）放缩后构造函数，求出其最值，即可得证.

【详解】

（1），

，

因为当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，且，

故的极大值为；

（2）由（1）知：当时，恒成立，即恒成立，

所以在上单调递减，又，

所以当时，恒成立，

所以，故实数a的最小值为1；

（3）由（2）知：时，恒成立，

令，所以恒成立，

所以，故，

当时，要证，只需证，

即证，

令，

则，

令，则，

令，则，

所以在上单调递增，，所以，即，

因此在上单调递增，，所以，

即，故在上单调递增，，

所以，即原不等式成立.