(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题7.6《数学归纳法》(解析版)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题7.6《数学归纳法》(解析版)，共45页。

专题7.6 数学归纳法
新课程考试要求
1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.
考向预测
1.数学归纳法原理；
2．数学归纳法的简单应用.
3．利用数学归纳法证明数列相关问题.
【知识清单】
知识点一．数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示

【考点分类剖析】
考点一 利用数学归纳法证明不等式
【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】
（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.
(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；
(2)求证:.
【答案】(1) ;猜想;(2)证明见解析
【解析】
(1)
猜想
(2)


所以

(2)方法二用数学归纳法证明:
(1)当时，左边，右边，
左边右边，不等式成立；
(2)假设时，不等式成立，即，
那么当时，只要证明成立，
只要证明
即证
只要证明
即证，即证
只要证明，显然成立，
所以时不等式也成立.
综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.
【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数，，对于任意的，都有.
（1）求的取值范围
（2）若，证明：()
（3）在（2）的条件下，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；
（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明()；
（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.
【详解】
（1）由题得，
恒成立
，故：
（2）
当时，
函数在(1，)上是单调递增函数.
下面用数学归纳法证明：
①当时，由得成立.
②假设当时，结论成立.即：
那么当时

这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立
（3）且


令，则在上递增
由（2）知：

又
左边


【总结提升】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化
【变式探究】
1. （2021·浙江高三专题练习）已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
（I）用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证；
（Ⅲ）由及，递推可得.
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
当时，．
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数在上单调递增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因为，所以，
由，得，
所以，故．
综上，．
2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由是，的等差中项得
，
所以，
解得，
由，得，
解得或，
因为，所以.
所以，.
（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.

，

.
法2：
由（Ⅰ）可得，.
我们用数学归纳法证明.
（1）当时，，不等式成立；
（2）假设（）时不等式成立，即
.
那么，当时，


，
即当时不等式也成立.
根据（1）和（2），不等式，对任意成立.
3. （2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）求证：（）；
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）记为的公差，则对任意，，
即为等比数列，公比.
由，，成等比数列，得，
即，解得，即.
所以，即；
（2）由（1），即证：.
下面用数学归纳法证明上述不等式.
①当时，不等式显然成立；
②假设当时，不等式成立，即，
则当时，.
因，
故.
于是，
即当时，不等式仍成立.
综合①②，得.
所以
考点二 归纳、猜想、证明
【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列满足，．
（1）计算、，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），，猜想，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）计算得出，，猜想，然后利用数学归纳法可证明出猜想成立；
（2）计算得出，然后利用错位相减法可求得.
【详解】
（1）已知数列满足，，则，，
猜想，下面利用数学归纳法加以证明：
当、、时，猜想成立；
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
这说明当时，猜想也成立，
由上可知，对任意的，；
（2），
则，
可得，
上式下式可得
，
因此，.
【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数，设为的导数，．
（1）求，；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
【答案】,；
，证明见解析
【解析】
对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;
根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）

，其中，

[
，其中，
（2）猜想，
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立，
②假设时，猜想成立
即
当时，



当时，猜想成立
由①②对成立
【总结提升】
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件，计算若干项)．
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．
③证明(用数学归纳法证明)．
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
【变式探究】
1.（2019·浙江高二期末）数列的前项和为，且满足．
(Ⅰ)求，，，的值；
(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）见证明
【解析】
（Ⅰ）当时，∵，∴，
又，∴，
同理，；
（Ⅱ）猜想
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当时，结论成立.
②假设时结论成立，即，
当时，，
∴，∴
即当时结论成立.
由①②知对任意的正整数n都成立.
2.给出下列不等式：
，
，
，
，
，……
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：
，
……猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，
所以，不等式的一般结论为：.
（2）证明：①当时显然成立；
②假设时结论成立，即：成立

当时，

即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.
考点三 利用数学归纳法证明等式
【典例6】已知a，b，c，使等式N+都成立，
（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2
=（an2+bn+c）中，
令n=1，得4=（a+b+c）①
令n=2，得22=（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．
(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32+…+k（k+1）2
=（3k2+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
=（3k2+5k+12k+24）
=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．
【典例7】 证明：＋＋…＋＝．(n∈N*)
【答案】见解析
【解析】
【思路分析】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即
＋＋…＋＝成立，并以此作为条件来推证等式＋＋…＋＋＝成立．
【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．
【总结提升】
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
【变式探究】
1. 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．
【答案】见解析
【解析】[错解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．
[辨析]　错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．
2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数，满足，且．
（1）求证：；
（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）因为，整理得，
由，代入得，，
所以．
（2）由，，可得．
以下用数学归纳法证明
存在实数，，使成立．
① 当时，显然成立．
② 当时，假设存在，使得成立，
那么，当时，
，
即当时，存在，使得成立．
由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n恒成立．
【易错提醒】
在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．


专题7.6 数学归纳法
练基础

1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.
【详解】
当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
【答案】B
【解析】
直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】
解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
【答案】C
【解析】
根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.
【详解】
时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，
增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，
故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.
【详解】
根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，
右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.
故选：B.
5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，
左边为
故增加的项数为项.
故答案为：C.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【解析】
分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.
【详解】
当时，原式为：，
当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.
故答案为：5
7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，

，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，用数学归纳法证明：.
【答案】见解析.
【解析】
当时，，，所以，时，不等式成立；
假设（）时，成立，则当时，

，
所以，时，不等式成立．
综上所述，不等式成立．
9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.
（1）计算，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】(1) ；；；.
(2)证明见解析.
【详解】
分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.
详解：
（1）当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
由此猜想；
（2）证明：①当时，结论成立，
②假设（，且）时结论成立，即，
当时， ，
∴，∴，
∴当时结论成立，
由①②可知对于一切的自然数，成立.
10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．
（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
【答案】（1），，；；（2）证明见解析.
【解析】
（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；
（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.
【详解】
(1)点在直线上可知，数列满足： ，
，．可猜得．
(2)当时，成立，
假设当时，成立，
则当时，成立，
就是说，猜想正确；
综上，．
练提升TIDHNEG

1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.
【详解】
因为数列满足，，
若，则，不满足，故A错误；
若，则，，，
不满足，故D错误；
又此时，不满足，故B错误；
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；
构造函数，，，所以，
则在上显然恒成立，
所以在上单调递增；
因此在上单调递增，所以，
猜想，对任意恒成立；
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，，显然成立；
（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；
则时，，
因为函数在上单调递增；
所以，
即成立；
由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.
故选：C.
2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.
【详解】
因为，所以，
令，则，
当时，，单调递增，
由题意，，
如果，则，
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以对于任意的，均有，
所以.
故选：B.
3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（ ）
①；
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．
【详解】
，若，则，
∴，∴，①正确；
由已知，
∴，②正确；
由及①得，，
∴，
显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；
(i)已知成立，
(ii)假设，则，
又，即，∴，
由数学归纳法思想得④正确．
∴4个命题都正确．
故选：D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（ ）.
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设，则有， ，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.
【详解】
∵，，
∴，，，
设，，，则，
令，则，∴单调递增，
将，看作是函数图象上两点，则，
∴数列，都是单调数列，
，同理，，，即，，
∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，
∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；
由得，
要证，即证，即，即证，
也即要证，等价于，
显然时，，时，，故成立，
∴不等式成立．B正确；
欲证，只需证，即
即，显然成立，
故，所以，
故C选项错误；
欲证，因单调性一致则只需证，只需证
因为，若，则；
又因为，若，则，
由数学归纳法有，则成立
故D选项正确。
故选：C
5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.
【答案】1010
【解析】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.
【详解】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和
当时，，成立；
假设时，
当时，


综上可得，，
则数集的所有非空子集的“积数”的和为：


故答案为：1010.
6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.
【答案】1 2146
【解析】
由递推关系计算出，再计算出，然后可以计算，归纳出的通项公式（可用数学归纳法证明），求得和．
【详解】
因为，，
由已知，，，，
，，，，，
归纳结论，，
证明：（1），由上面知已经成立；
假设时，假设成立，即，，
则，，，
由数学归纳法知，，对一切成立．
．
故答案为：1；2146．
7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．
（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；
（2）若数列通项公式为，证明：．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1），，之间满足的关系式是：，证明如下：
当时， ，所以成立，
假设当时，成立，即，
当时，

，
所以成立，所以成立.
（2）由（1）得，即，
因为，所以，
当时，，成立；
假设当时，成立，，
当时，

，
所以当时，不等式成立，
所以.证毕.
8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案】（1），；（2）详见解析.
【解析】
（1）由题意，得，
即，解得或，已知故．
，．
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
，．
（2）
法1．，
，累加得当，，
当，
∴

法2．先用数学归纳法证明当，．
①当时，，左式>右式，不等式成立．
②假设时，不等式成立，即
当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．
③由①②得证当，．
.
9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，证明：，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，，成等差数列，即，
当时，，两式相减得，
所以是公比为2的等比数列，即，
即，由，得，
所以的通项公式．
（2）方法一（放缩法）：
因为，，所以，
当时，


所以
，
当时，，取到“”号，
综上所述，，
方法二（数学归纳法）：
因为，，所以，
当时，左边，右边，原不等式成立；
假设当时，原不等式成立，即，
那么，当时，左边


，即时也成立，
由此可知，原不等式对于任意的均成立．
10.已知点满足，，且点的坐标为.
（1）求过点的直线的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于，点都在（1）中的直线上.
【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.
【解析】
(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1.
∴,a2=a1⋅b2=.
∴点P2的坐标为.
∴直线l的方程为2x+y-1=0.
(2)要证明原问题成立只需证明点都满足即可.
①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立.
②假设n=k(,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即成立，
则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1 ，
∴当n=k+1时，命题也成立.
由①②知，对n∈N∗，都有2an+bn=1，
即点在直线l上.
练真题TIDHNEG

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
2.（2017浙江）已知数列满足：，．
证明：当时
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，
假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得

记函数
函数在上单调递增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因为

所以得
由得

所以
故
综上， ．
3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）；；．
（Ⅲ）见解析.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即． ①
（Ⅱ）；；
．
由此推测： ． ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当时，左边右边，②成立．
（2）假设当时，②成立，即．
当时，，由归纳假设可得
．
所以当时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得






，即．
4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．
（Ⅰ）求的值；
（2）证明：对任意的，等式成立．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知，得
于是
所以
故
（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，
即，类似可得
，
，
.
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即.
因为
，
所以.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.
令，可得().
所以()．
6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.

（1）写出点和的坐标；
（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.
【解析】
（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.
【详解】
（1）由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，由得：，即；
直线方程为：，即，
令，解得：，；
直线方程为：，
由得：，即；
直线方程为，即，
令，解得：，；
（2）由（1）猜想的坐标为，
设，，则直线的方程为：，
令，解得：，，
直线的斜率为，即，即，
，
用数学归纳法证明的坐标如下：
①当时，满足；
②假设当时，成立，
那么当时，由得：
，解得：，
即当时，成立；
综上所述：.