2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学1
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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(1)数学科试题注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,,则 A. B. C. D.2.已知为虚数单位,若复数,则 A. B. C. D.3.关于双曲线与,下列说法中错误的是 A.它们的焦距相等 B.它们的顶点相同 C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同4.夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为和,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为 A. B. C. D.5.已知等差数列的公差为,且成等比数列,则的前项和 A. B. C. D. 6.如图,在直角梯形中,,,,,是线段上的动点,则的最小值为 A. B. C. D.7.已知,,,则 A. B. C. D.8.若函数,则是在有两个不同零点的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.下列函数中,以为周期的函数有( )A. B. C. D.10.已知圆和圆的交点为,,则( )A.圆和圆有两条公切线B.直线的方程为C.圆上存在两点和使得D.圆上的点到直线的最大距离为11.由函数的图象得到函数的图象,正确的变换方法有( )A.将的图象向左平移2个单位长度B.将的图象上各点的纵坐标伸长到原来的9倍C.先将的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍,再向左平移1个单位长度D.先将的图象向右平移1个单位长度,将各点的纵坐标伸长到原来的3倍12.设随机变量服从正态分布,随机变量服从正态分布,下列判断正确的是( )A. B.C.存在,满足 D.存在,满足三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线:在点处的切线方程为___________14.已知向量和的夹角为,且,,则___________.15.展开式中的常数项为__________.16.若,,且,则的最小值是___________,当且仅当___________时,取得最值.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在中,内角的对边分别为,已知.(1)求角A的大小;(2)若的面积为,且,求的周长.18.①公比为2,且是与的等差中项;②且为递增数列,在①②中任选一个,补充在下列横线上并解答.已知等比数列中,为数列的前项和,若___________.(1)求数列的通项公式;(2)若,记数列的前项和,求证:.19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面是棱的中点.(1)证明:平面;(2)若,且为棱上一点,与平面所成角的大小为,求的值.20.2020年10月16日,是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割,通过推广种植海水稻,实现亿亩荒滩变粮仓,大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线,以海水稻为原料进行深加工,发明了一种新产品,若该产品的质量指标值为,其质量指标等级划分如表:质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线,该企业先进行试生产,现从试生产的产品中随机抽取了1000件,将其质量指标值m的数据作为样本,绘制如下频率分布直方图:(1)若将频率作为概率,从该产品中随机抽取3件产品,记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A,求事件A发生的概率;(2)若每件产品的质量指标值与利润(单位:元)的关系如表:质量指标值利润(元) 试分析生产该产品能否盈利?若不能,请说明理由;若能,试确定为何值时,每件产品的平均利润达到最大(参考数值:).21.已知函数.(1)判断函数的单调性;(2)若对于任意的,都有,求整数的最大值.22.如图所示,已知圆,点,点为圆上的动点,线段的垂直平分线和半径相交于点.(1)当点在圆上运动时,求点的运动轨迹的方程;(2)判断直线和曲线的位置关系,并给出证明.
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(1)数学科试题答案及评分标准1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.A1.由题意,由集合交集的定义:.故选C.2.因为,所以,故选D.(2法):,故选D.4.(参看教材选择性必修第二册43页例2)设事件为甲地下雨,事件为乙地下雨,则,,则.故选C.5.成等比数列,即,所以,得,故,则.故选B.6.如图,以点为坐标原点,建立平面直角坐标系,设,,因为,,所以,,,所以,,,则,,当,即时,的最小值为.故选B. (2法):设,则=====7.由得,故,则,同理得,故,则,故.故选A.8.因为,由题意得在有两个解.设,,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增.即当时,的最小值为,所以当时有两个解,则是在有两个不同零点充分不必要条件.故选A.(2法):由且得.设(),得,则在处取得最小值.设,则在处取得最大值.若在有两个不同零点,则,得,则是在有两个不同零点充分不必要条件.故选A.9.ADA,,则, A正确;B,函数的最小正周期为,因此B不正确;C,函数不是周期函数,故C不正确;D,,最小正周期为,所以也是它的一个周期,故D正确.故选:AD10.ABDA:判断两圆相交可得切线条数;B:两圆相交,做差可得公共弦方程;C:判断弦AB经过圆心,则弦为最长弦,不再存在比AB更长的弦;D:求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.解:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故正确;对于B,将两圆方程作差可得,即得公共弦的方程为,故B正确;对于C,直线经过圆的圆心,所以线段是圆的直径,故圆中不存在比长的弦,故C错误;对于D,圆的圆心坐标为,半径为2,圆心到直线的距离为,所以圆上的点到直线的最大距离为,D正确.故选:ABD.11.ABC解析对于A,变换过程为,即,故A正确;对于B,变换过程为,故B正确;对于C,变换过程为,故C正确;对于D,变换过程为,故D错误.故选:ABC.12.BC由题设知,的正态分布的参数为,,的正态分布的参数为,.A:,,所以,错误;B:,,所以,正确;C:由,所以,正确;D:大致作出和的正态曲线,如图所示,可知在轴左侧,的正态曲线总在的正态曲线的下方,的正态曲线下方的区域面积总小于的正态曲线下方的区域面积,即,从而,错误.故选:BC13.【解析】【分析】根据求导法得出点处切线的斜率,再根据点的坐标,由点斜式得到该切线方程.【详解】因为,,,又,所求的切线方程为,即,故答案为:.14.10【解析】【分析】首先根据平面向量数量积的定义求出,再根据向量数量积的运算律计算可得;【详解】解:因为向量和的夹角为,且,,所以,所以故答案为:15.【解析】【分析】写出展开式的通项,令的指数为零,即得常数项.【详解】展开式中第项为,令,所以常数项为.故答案为:-220【点睛】本题考查二项展开式中特定的项,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于基础题.16. 8 【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得;【详解】解:因为,,且,所以,当且仅当,即,时取等号;故答案为:,17.(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角,得到,求出角A;(2)由面积公式得到,结合余弦定理求出从而求出周长.(1)由正弦定理得:,即,,又,故.(2)由(1)知,,,,故的周长为18.(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)选条件①,根据给定条件,利用等差中项的定义列式求出首项即可作答.选条件②,根据给定条件,求出数列的公比并判断作答.(2)利用(1)的结论求出,再利用裂项相消法求和推理作答.(1)选条件①:因为是与的等差中项,即,依题意,,解得,所以数列的通项公式是.选条件②:设公比为,依题意,,解得或,因为数列是递增数列,于是得,所以数列的通项公式是.(2)由(1)知,则,因此,,于是有,因,则有,即有,所以.19.(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)连接交于点,连接,即可得到,从而得证;(2)依题意可得,如图建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设,利用空间向量法求出线面角的正弦值,即可得到方程,解得,即可得解;(1)证明:如图,连接交于点,连接,因为是的中点,是的中点,所以又平面,平面,所以平面(2)解:因为,所以,所以,故以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,,设平面的法向量为,则,即,故取,设,则因为直线与平面所成角的大小为,所以,即解得,故此时.20.(1);(2)能盈利,.【解析】【分析】(1)由给定的频率分布直方图,求出抽1件产品是废品的概率,再利用对立事件的概率公式计算作答.(2)求出每件产品的平均利润的函数式,再借助导数求出最大值作答.(1)由频率分布直方图得,抽1件产品为废品的频率为,依题意,抽1件产品为废品的概率为,设事件的概率为,则,所以事件A发生的概率.(2)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元)的关系如下表所示,质量指标值0利润元 每件产品的平均利润:,求导得,令,解得,当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,因此,当时,取最大值,所以生产该产品能够实现盈利,当时,每件产品的平均利润达到最大.21.(1)在上单调递增,在上单调递减;(2)3.【解析】【分析】(1)求出函数的导数,再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.(2)将不等式等价变形,分离参数并构造函数,再探讨函数的最小值即可推理作答.(1)的定义域为,求导得:,令,则,令,则,所以在上单调递增,在上单调递减.(2),,令,,则,由(1)知,在上单调递增,且,则在区间内存在唯一的零点,使,即,则当时,,,有在上单调递减,当时,,,在上单调递增,于是得,因此,,所以整数的最大值为3.【点睛】关键点睛:涉及不等式恒成立问题,将给定不等式等价转化,构造函数,利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.22.(1)(2)直线与椭圆相切,证明见解析.【解析】【分析】(1)有椭圆定义可知点点的运动轨迹为椭圆,即可求出方程;(2)若,或,显然直线与椭圆相切,若,联立直线与椭圆的方程,消化简得到关于的一元二次不等式,而判别式,即可证明结论成立.(1)点在线段的垂直平分线上,.又点在半径上,且圆的半径为.故当点在圆上运动时,点满足,即点的运动轨迹为以为焦点的椭圆,且,,因此点的运动轨迹的方程为.(2)直线与椭圆相切,证明如下:若,此时或的方程为或,它们与椭圆相切,若或,此时的方程为或,它们与椭圆C相切,若,设点与点的中点为,直线的斜率为,则其垂直平分线的斜率为,直线的方程为,即 ①,又点在圆上, ②,将②代入①得直线:,由,得,判别式, ③将②代入③解得,所以直线与椭圆相切,综上所述:直线与椭圆相切.
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