(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练6《立体几何与空间向量》(解析版)

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．

内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用．

1．基本立体图形

①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．

2．基本图形位置关系

①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理．

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明．

◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．

◆两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

◆垂直于同一个平面的两条直线平行．

◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

3．空间直角坐标系

①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．

②借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标．

探索并得出空间两点间的距离公式．

4．空间向量及其运算

①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．

②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．

5．向量基本定理及坐标表示

①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示．

④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）．

6．空间向量的应用

①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，

并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

1．【2020·全国高考真题（理）】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．

若球O的表面积为，则O到平面的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】设球的半径为，则，解得．

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，，解得，

，

球心到平面的距离，故选C．

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；

解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．

2．【2020全国Ⅱ卷】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得，

根据勾股定理可得，

是边长为的等边三角形，

根据三角形面积公式可得，

该几何体的表面积是，故选C．

【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，

考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．

一、单选题．

1．设，是两平面，，是两直线．下列说法正确的是（    ）

①若，，则

②若，，则

③若，，则

④若，，，，则

A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④

【答案】D

【解析】由平行公理知①对；

垂直于同一平面的两条直线平行，故②对；

垂直于同一直线的两个平面平行，故③对；

由面面垂直性质定理知④对，

故选D．

2．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（    ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】C

【解析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．

如图所示：

由于，，下底面为等腰直角三角形．

可得，，，，

所以该四面体四个面的面积中，最大的是，故选C．

3．已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设球的半径，则，所以，

设外接圆的半径，则由，所以，

而，即，所以，故选D．

4．如图，正方体的棱长为，以下结论错误的是（    ）

A．面对角线中与直线所成的角为的有8条

B．直线与垂直

C．直线与平行

D．三棱锥的体积为

【答案】C

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．

对于A，，，，，

∴，，

∴，

由于两异面直线的夹角范围是，

∴异面直线与所成的角为，

同理：正方体的六个面中除了平面与的面对角线外，

其他的面对角线都与所成的角为，则共有8条，故A正确；

对于B，，，

，

∴直线与垂直，故B正确；

对于C，，∵，

∴直线与垂直，不平行，故C错误；

对于D，三棱锥的体积为，故D正确，

综上可知，只有C不正确，故选C．

5．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，所以三角形是等边三角形，

取的中点，以点为原点，建立空间直角坐标系如图：

设，则，，，，

所以，，，，，

所以异面直线和所成角的余弦值为，

故选C．

6．三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】空间四个点在同一球面上，两两垂直，且，

则可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，

所以过空间四个点的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，

球心O到平面的距离为体对角线的，即球心O到平面的距离为．

其外接球上的点到平面的距离的最大值为，故选B．

7．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】∵直观图是等腰直角三角形，，，

∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，

∴的边上的高，故选D．

8．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连，沿将展开与在同一个平面内，

连接，长度即是所求．

∵直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，

∴矩形是边长为的正方形；则，

另外；

在矩形中，，，则；

易发现，即，

∴，则，

故，

故答案为B．

二、多选题．

9．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．点C与点G到平面的距离相等

D．平面截正方体所得的截面面积为

【答案】BD

【解析】对于A，取中点M，则为在平面上的射影，

与不垂直，与不垂直，故A错；

对于B，取中点N，连接，，

在正方体中，，，

平面，平面，

所以平面，

同理可证平面，，

所以平面平面，

平面，所以平面，故B正确；

对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，

则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点，

则假设不成立，故C错；

对于D，在正方体中，，

把截面补形为四边形，

由等腰梯形计算其面积，故D正确，

故选BD．

10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则与所成的角和与所成的角相等

【答案】BCD

【解析】选项A：若，，则或，

又，并不能得到这一结论，故选项A错误；

选项B：若，，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项B正确；

选项C：若，，则有面面平行的性质定理可知，故选项C正确；

选项D：若，，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的角和与所成的角相等，

故选项D正确，

故选BCD．

11．如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ）

A．与垂直  B．平面

C．与所成的角为 D．平面

【答案】ABD

【解析】连接、、，则为的中点，

对于A选项，平面，平面，，

、分别为、的中点，则，，A选项正确；

对于B选项，四边形为正方形，则，

又，，平面，

，平面，B选项正确；

对于C选项，易知为等边三角形，则，

，则与所成的角为，C选项错误；

对于D选项，，平面，平面，平面，

D选项正确，

故选ABD．

12．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（    ）

A．

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．平面

【答案】AC

【解析】A：因为侧棱底面，所以，

因为是等边三角形，，所以，

因为，所以平面，则，A正确；

以为原点，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为，B不正确，C正确；

又因为，，

设平面法向量为，则，

即，取，则，

因为，且，所以若平面不成立，D不正确，

故选AC．

三、填空题．

13．在三棱锥中，底面，，，，，若E，F是的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值_________．

【答案】

【解析】如图所示：以为轴，为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，

则，，

则，

故异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为．

14．如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为______．

【答案】

【解析】因为，

所以

，

，

所以，

故答案为．

15．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．

【答案】

【解析】因为，，，所以角为直角，

又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，

以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，

所以，，

设异面直线与所成角为，

则，

故答案为．

16．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

（1）则直线与平面所成角的余弦值为_______；

（2）则点到平面的距离为______．

【答案】，

【解析】（1）在△PAD中，O为AD中点，所以，

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

又在直角梯形ABCD中，易得；

所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，

，得OA⊥平面POC，

所以是平面POC的一个法向量，

，，

所以PB与平面POC所成角的余弦值为．

（2），设平面PDC的法向量为，

则，取z＝1，得，

B点到平面PCD的距离．