(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练7《直线与圆》(解析版)

1．直线与方程．

①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．

2．斜截式与一次函数的关系．

①能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

②掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

3．圆与方程

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

5．空间直角坐标系

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式．

1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知，直线，为上的动点，

过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解法一：∵为上的动点，设，

∵，即，

∴的圆心，半径为，

∴．

依题意可知在中，，

∴，

∴，

∴，当时，取得最小值．

此时过作的其中一条切线为，

设的方程为，则，

又∵，∴，

∴直线的方程为，化简得．

解法二：，

因为，

所以最小，即最小，此时与直线垂直，

，

直线与直线的交点，

过直线外一点作的切线所得切点弦所在直线方程为，

所以选D．

【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题．

2．【2020全国II卷理科】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离

为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆心为，则半径为，圆过点，

则，解得或，

所以圆心坐标为或，圆心到直线的距离都是．

【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式．

一、单选题．

1．已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，

直线的方程为，那么（    ）

A．，且与圆相离 B．，且与圆相切

C．，且与圆相交 D．，且与圆相离

【答案】A

【解析】∵点在圆内部，∴，

由题意知，当时，过点的弦最短，此时，

而的斜率，∴，

又∵圆心到直线的距离，∴与圆相离，故选A．

2．已知圆与直线相切，则圆与直线相交

所得弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆心到直线的距离为，

解得或，

因为，所以，所以圆，

圆心到直线的距离为，

所以圆与直线相交所得弦长为，故选D．

3．若直线与圆相切，则直线与圆的

位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【解析】圆的方程可化为，故圆心为，半径．

由于直线和圆相切，所以，

结合，解得，

所以直线的方程为，即．

圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，

所以直线与圆相交，故选A．

4．已知圆，直线，为任意实数，则直线

与圆的位置关系是（    ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．与的值有关

【答案】B

【解析】将直线的方程整理为，

由，得，所以直线过定点，

因为，所以点在圆内部，所以直线和圆恒有个交点，

即直线和圆相交，故选B．

5．动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程

为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】设点坐标为，，动圆的半径为，

则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，，，

即，化简得，

∴动圆圆心轨迹方程为，故选B．

6．若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（    ）

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定

【答案】A

【解析】因为直线与圆有两个公共点，

所以有，即，

因为点与的圆心的距离为，圆的半径为，

所以点在圆外，故选A．

7．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】圆心在上，圆心的纵橫坐标值相反，显然能排除C、D；

验证：中圆心到两直线的距离是，

圆心到直线的距离是，故A错误，故选B．

8．已知圆，直线．若直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，则的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，

则，只需，

即圆的圆心到直线的距离，

，，或，故选C．

二、多选题．

9．已知圆方程为与直线，下列选项正确的是（    ）

A．直线与圆必相交  B．直线与圆不一定相交

C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】由题意，圆的圆心，半径，

直线变形得，得直线过定点，

∵，

∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；

由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，

此时弦长为，故C对，

故选AC．

10．已知圆与圆的圆心不重合，

直线．下列说法正确的是（    ）

A．若两圆相交，则是两圆的公共弦所在直线

B．直线过线段的中点

C．过直线上一点（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为，，则

D．直线与直线相互垂直

【答案】ACD

【解析】联立两圆方程得，

整理得，为两圆的公共弦所在直线，故A正确；

设圆的半径为，圆的半径为，，，

线段的中点为，

则，

，

所以当两圆半径相等时成立，故B错误；

设，则，

由切线长定理得，

，

所以，即，故C正确；

因为，，所以直线的斜率，

直线的斜率为，则，所以直线相互垂直，故D正确，

故选ACD．

11．已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则下列结论正确的

是（    ）

A．圆的圆心在定直线上 B．圆的面积的最大值为

C．圆的半径的最小值为 D．满足条件的所有圆的半径之积为

【答案】ABD

【解析】∵圆与相切于，∴与垂直，

∴直线斜率为，则在直线，即上，A正确；

设，∴圆半径，

∴圆被轴截得的弦长为，解得或，

当时，圆面积最大，为，B正确；

当时，圆半径最小，为，C错误；

满足条件的所有半径之积为，D正确，

故选ABD．

12．已知直线过点与圆相切，则的方程（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】AC

【解析】当斜率不存在时，成立；

当斜率存在时，设直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，

因为直线与圆相切，所以，解得，

所以直线方程为，

综上：直线方程为或，故选AC．

三、填空题．

13．圆与圆的公共弦所在的直线方程是        ．

【答案】

【解析】∵，，∴，∴，

即所求直线方程为．

14．若圆和圆关于对称，圆与相切，则满足条件的直线有________条．

【答案】

【解析】圆，圆心为，半径，

圆心关于对称的点为，

故圆，

圆与圆相切，则或，

解得或或，

故答案为．

15．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交所得的弦长为，则圆的方程为              ．

【答案】

【解析】设所求圆的圆心为，半径为，

∵点关于直线的对称点仍在这个圆上，

∴圆心在直线上，∴，①，且；②

又直线截圆所得的弦长为，

且圆心到直线的距离为，

根据垂径定理得，即③，

由方程①②③组成方程组，解得，

∴所求圆的方程为．

16．已知直线与圆无公共点，为圆的直径，若在直线上存在点

使得，则直线的斜率的取值范围是            ．

【答案】

【解析】∵直线与圆无公共点，

∴，即，∴，

由，可得，即，

故在直线上存在点，使得；

即在直线上存在点，使得．

∴圆心到直线的距离小于等于，∴，即，

综上：，故答案为．