(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练15《解三角形》(解析版)

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理．

2．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理．

3．能解决一些简单的三角形度量问题．

1．【2020全国Ⅲ卷】在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由余弦定理可知：，

可得，

又由余弦定理可知，故选A．

【点睛】本题实际是余弦定理的正反应用，先通过角的余弦值结合余弦定理求边长，再用余弦定理求角的余弦值．

2．【2020全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则         ．

【答案】

【解析】，，，∴，

同理，

∵，，，

∴．

在中，，，，

∴．

【点睛】本题主要考察正弦定理和余弦定理，通过立体图形的展开，结合展开图型中变化的量和不变的量之间的关系，利用正余弦定理解决问题．

一、单选题．

1．已知的内角，，的对边为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，得，，

所以．

根据正弦定理，即，解得，故选B．

2．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

由余弦定理得，即，解得或，

为最小角，，∴，

∴．

3．某船开始看见灯塔时，灯塔在船南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，

看见灯塔在船正西方向，则这时船与灯塔的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设灯塔位于处，船开始的位置为，船行后处于，如图所示，

可得，，，∴，，

在三角形中，利用正弦定理可得，

可得．

4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

∴，解得，

，即．

5．如图，在中，点在边上，且，，，的面积

为，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，的面积为，所以的面积为，

则，即．

在中，，所以，

又因为，，，所以，，

所以在中，，即．

6．设的内角，，所对的边分别为，，，若三边的长为连续的三个正整数，

且，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，为连续的三个正整数，且，可得，

所以，①，

又因为已知，所以②，

由余弦定理可得③，

则由②③可得④，

联立①④得，解得或（舍去），

则，，

故由正弦定理可得．

7．已知在中，，，，若为的外心且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由为的外心且满足，

取中点为，则，

所以，

即，

又由余弦定理可得，所以，所以．

8．在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，是的内角平分线，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理得，得，

又平分角，且，令，

由，得，

即，

即，∴，∴．

9．设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴由正弦定理可得，整理可得，

∴由余弦定理可得，∴由，可得，

又的面积为，即，∴，

又

．

10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，

则周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，

可得，

∵，，∴，解得，

∵，∴由余弦定理可得，

∵由，，得，

∴，即，

∴周长．

二、多选题．

11．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（    ）

A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形

C． D．若，则的面积是

【答案】BC

【解析】可设的周长为，则由，

可得，，，

又，则，，，

故三角形不确定，A错；

由，为钝角，故B正确；

由正弦定理，故C正确；

由，则，得，故，，，

由，得，

的面积是，故D错，

故选BC．

12．在中，已知角所对的边分别为，且，，则以下四个结论正确的有（    ）

A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形

C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为

【答案】CD

【解析】由正弦定理得，

对选项A，若直角，则．

所以存在是直角三角形，故A错误；

对选项B，因为，所以不存在是等边三角形，故B错误；

对选项C，若，则，，的周长为15，故C正确；

对选项D，，解得，，

所以，故D正确，

故选CD．

三、填空题．

13．已知一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的最大内角为        ．

【答案】

【解析】根据三角形中，大边对大角，故边长分别为，，的三角形的最大内角，即边对的角，

设为，则由余弦定理可得，∴．

14．已知，且，则       ，的面积为       ．

【答案】4，

【解析】，所以，．

15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积，”若把以上这段文字写成公式，即，已知满足，且，则用以上给出的公式可求得的面积为        ．

【答案】

【解析】∵，∴由题意可得，，

∵，

∴由正弦定理可得，可得，

∴．

16．如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道．已知小区某处三幢房屋分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点，现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点重合），为铺设三条地下天燃气管线，已知米，，记，该三条地下天燃气管线的总长度为米．则将表示成的函数为                ．

【答案】

【解析】因为为弧的中点，

由对称性可知，，，

又，，

由正弦定理，得，

又，得，，

所以，

由题意，的取值范围是．