高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数测试题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数测试题，共8页。

1．下列是y＝x23的图象的是( )
2．幂函数的图象过点(2， eq \r(2))，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x eq \s\up6(\f(1,2))
C．y＝x2D．y＝x3
3．函数y＝x eq \s\up6(\f(3,5))在[－1，1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
4．幂函数f(x)＝xα的图象过点(－2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
5．幂函数的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，若0A．f(a)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))C．f(a)D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))6．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(3， eq \r(3))，则( )
A．f(x)的定义域为[0，＋∞)
B．f(x)的值域为[0，＋∞)
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的单调增区间为[0，＋∞)
7．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝4f(2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值等于________．
8．幂函数y＝(m2＋m－5)xm2−32m−13的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为________．
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2+m−1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
10．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点P(5，25).
(1)求f(x)的解析式；
(2)用定义法证明函数g(x)＝ eq \f(f（x）＋4,x)在区间(2，＋∞)上单调递增．
[提能力]
11．(多选)已知幂函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(9,5)))xm，则下列结论正确的有( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－32))＝ eq \f(1,16)
B．f(x)的定义域是R
C．f(x)是偶函数
D．不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))的解集是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，3))
12．已知f(x)＝(m2－m－1)x4m9−m5−1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
13．幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x2m－1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．
14．已知幂函数f(x)过点(2， eq \r(2))，则满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围是________．
15．已知幂函数f(x)＝x13(m−2) (m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a eq \r(f（x）)－ eq \f(b,xf（x）)的奇偶性．
[培优生]
16．已知幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求实数k的值，并写出f(x)的解析式．
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在整数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(二十四) 幂函数
1．解析：y＝x eq \s\up6(\f(2,3))＝ eq \r(3,x2)，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝ eq \r(3,（－x）2)＝ eq \r(3,x2)＝f(x)，即y＝x eq \s\up6(\f(2,3))是偶函数，又∵ eq \f(2,3)<1，∴图象上凸．故选B.
答案：B
2．解析：设f(x)＝xα，则2α＝ eq \r(2)，
∴α＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)).
故选B.
答案：B
3．解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x eq \s\up6(\f(3,5))在(0，1]上是增函数．设f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,5))，x∈[－1，1]，则f(－x)＝(－x) eq \s\up6(\f(3,5))＝－x eq \s\up6(\f(3,5))＝－f(x)，所以f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,5))是奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1，0)时，y＝x eq \s\up6(\f(3,5))也是增函数．
当x＝0时，y＝0，故y＝x eq \s\up6(\f(3,5))在[－1，1]上是增函数且是奇函数．
答案：A
4．解析：由题意4＝(－2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(x)＝x2的单调递增区间是[0，＋∞).
答案：B
5．解析：设f(x)＝xα，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝2，α＝－1，即f(x)＝x－1＝ eq \f(1,x)，
函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∵0∴f(a)>f(b)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))).
故选B.
答案：B
6．解析：因为f(x)为幂函数，故设f(x)＝xα，所以3α＝ eq \r(3)，故α＝ eq \f(1,2)，
故f(x)＝ eq \r(x)，
所以函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，单调增区间为[0，＋∞)，
且f(x)不是偶函数，故选ABD.
答案：ABD
7．解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝4f(2)，
∴4α＝4×2α，解得α＝2，∴f(x)＝x2，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
8．解析：因为函数是幂函数，
所以m2＋m－5＝1，
解得m＝2或m＝－3，
当m＝2时，y＝x eq \s\up6(\f(2,3))，其图象分布在第一、二象限；
当m＝－3时，y＝x eq \s\up6(\f(79,6))，其图象分布在第一象限；
所以m＝2.
答案：2
9．解析：(1)若函数f(x)为正比例函数，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1± eq \r(2).
10．解析：(1)设f(x)＝xa，
因为f(x)的图象经过点P(5，25)，所以f(5)＝5a＝25，解得a＝2，所以f(x)＝x2.
(2)证明：由(1)可知g(x)＝ eq \f(x2＋4,x)＝x＋ eq \f(4,x)，任取x1，x2∈(2，＋∞)，令x1>x2，
则g(x1)－g(x2)＝x1＋ eq \f(4,x1)－x2－ eq \f(4,x2)＝(x1－x2) eq \f(x1x2－4,x1x2).
因为x1>x2>2，所以x1－x2>0，x1x2>4，
所以(x1－x2) eq \f(x1x2－4,x1x2)>0，即g(x1)>g(x2)，
故g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．
11．解析：因为函数是幂函数，所以m＋ eq \f(9,5)＝1，得m＝－ eq \f(4,5)，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－ eq \f(4,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－32))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))5))－ eq \f(4,5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))－4＝ eq \f(1,16)，故A正确；函数的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠0))))，故B不正确；∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，所以函数是偶函数，故C正确；函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－ eq \f(4,5)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))是减函数，不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))等价于 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－1))≤2，解得：－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，3))，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
12．解析：由题意m2－m－1＝1，m＝－1或m＝2，
又对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
m＝－1时，4m9－m5－1＝－4＋1－1＝－4<0，不合题意，
m＝2时，4m9－m5－1＝4×29－25－1＝2015>0，满足题意，
∴f(x)＝x2015，f(x)是奇函数，∴f(x)在R上是增函数，
a＋b>0，ab<0，不妨设a>0，b<0，则a>－b>0，
∴f(a)>f(－b)，即f(a)>－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.
故选A.
答案：A
13．解析：由函数f(x)＝(m2－2m＋1)x2m－1是幂函数，则m2－2m＋1＝1，解得m＝0或m＝2；
当m＝0时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上为减函数，不合题意；
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上为增函数，满足题意．
答案：2
14．解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，α∈R，其图象过点(2， eq \r(2))，
∴2α＝ eq \r(2)，解得α＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \f(1,2)＝ eq \r(x)，
∴不等式f(2－a)>f(a－1)可化为 eq \r(2－a)> eq \r(a－1)，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a>a－1，,a－1≥0，))解得1≤a< eq \f(3,2)，
∴实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
15．解析：由f(x)＝ (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得 eq \f(1,3)(m－2)＜0，所以m＜2.因为m∈N，所以m＝0，1.
因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x－ eq \f(2,3).于是g(x)＝ eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,3)))))－ eq \f(b,x\s\up6(\f(1,3)))，g(－x)＝ eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,3)))))＋ eq \f(b,x\s\up6(\f(1,3)))，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
16．解析：(1)由幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增，可得(2－k)(1＋k)>0，解得－1(2)存在．由(1)可知，g(x)＝－mx2＋(2m－1)x＋1，当m＝0时，g(x)＝1－x在[0，1]上单调递减，可得g(0)为最大值，且为1，不成立．
当m<0时，g(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝ eq \f(2m－1,2m)>1，
所以g(x)的最大值为g(0)，
而g(0)＝1，所以不成立．
当m>0，即－m<0时，g(x)＝－m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2m－1,2m))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1＋4m2,4m).
①若 eq \f(2m－1,2m)≤0，即0②若 eq \f(2m－1,2m)≥1，则易知m不存在；
③若0< eq \f(2m－1,2m)<1，即m> eq \f(1,2)，则g(x)在x＝ eq \f(2m－1,2m)处取得最大值，所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2m)))＝ eq \f(1＋4m2,4m)＝5，解得m＝ eq \f(5＋2\r(6),2)或m＝ eq \f(5－2\r(6),2)(舍去).
综上可知，满足条件的m存在，m＝ eq \f(5＋2\r(6),2).