(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练8《圆锥曲线》(解析版)

1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为      ．

【答案】2

【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，

代入并化简可得解得或（舍弃）．

【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．

2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．

若，，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆的焦点为，，可知，

又，，可设，则，，

根据椭圆的定义可知，得，

所以，，可知，

根据相似可得代入椭圆的标准方程，

得，，

椭圆的方程为．

【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．

一、单选题．

1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示．

作交于，交于，连接，

则，，．

根据双曲线的定义可知，

而

，

所以，，，即，，

结合，得，

所以双曲线的渐近线方程为，故选A．

2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是

坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设左焦点为．

因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，

连接，，，

因为，且，，

所以四边形为矩形．

因为，所以令，

则，，，，

在中，，即，解得，

在中，，即，解得，故选C．

3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为

等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解法一：

不妨设在第一象限，，

因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．

令，则，，，

由正弦定理可得，所以，

则，，

则，，即．

又点在双曲线上，所以，解得，

则，则，故选C．

解法二：

不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．

令，则，，，

由正弦定理可得，所以，

则，，即，，

则，，即，

根据，得，则，故选C．

4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解法一：

由题意，知，准线，

作于点，与点，过点作于点，交轴于点，

设，则．

由抛物线的定义，知，，，

，．

由，得，即，解得，

所以，故选A．

解法二：

由题意，知，准线，如图，作于点，

设直线的方程为，，，

将代入抛物线方程，得，所以①．

由，得，即，所以②．

联立①②解得，代入抛物线方程，解得．

由抛物线的定义，知，所以，故选A．

5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，

因此可得．，，所以，

以为直径的圆的方程为，

又以为直径的圆经过点，所以．

由，得，于是，故选C．

6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，

所以抛物线的方程为．

由题意可设直线的方程为，直线的方程为，

则，

于是由，消去，得，

所以，同理可得．

因为为抛物线的焦点，

所以由抛物线的定义可得

，

当且仅当时，取得最小值，故选C．

7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，

若，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点．

设直线的方程为，代入抛物线的方程，得．

设，，则，．

抛物线的准线方程为，则．

由，得，所以，

即，代入，得，

则，

又，所以，整理得，

解得或（舍去），

所以，所以直线的斜率为．

解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，．

由，得为的中点．

设，则，

根据抛物线的定义得，所以，

在中，，所以，即直线的斜率为，

当点在第一象限时可得直线的斜率为．

综上，直线的斜率为．

8．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意设椭圆的方程为，连接，

令，则，．

由椭圆的定义知，，得，故，则点为椭圆的上顶点或下顶点．

令（为坐标原点），则．

在等腰三角形中，，所以，得．

又，所以，

题意的方程为，故选B．

二、多选题．

9．已知曲线．（    ）

A．若，则是椭圆，其焦点在轴上

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是双曲线，其渐近线方程为

D．若，，则是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，

∴该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；

对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；

对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，令，正确；

对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，

正确，

综上选ACD．

10．当时，方程表示的轨迹可以是（    ）

A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

【答案】ACD

【解析】将分为，，三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．

当时，，，，．

方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆；

当时，，，方程化为，，表示两条直线；

当时，，，，．

方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，

故选ACD．

11．已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为

C．到双曲线的一条渐近线的距离为 D．的面积为

【答案】ACD

【解析】A．代入双曲线渐近线方程得，正确；

B．由题意得，，则以为直径的圆的方程，不是，错误；

C．，渐近线方程为，距离为，正确；

D．由题意得，，

设，根据，解得，，

则的面积为，正确，

故选ACD．

12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．为等腰直角三角形

C．直线的斜率为 D．线段的长为

【答案】ACD

【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，

由题意可得直线的斜率不为，由题意设直线的方程为，

设，，由题意可知，，将直线与抛物线联立整理得，，．

A中，因为，所以，即，所以A正确；

B中，由A正确，不可能，更不会或为直角，所以B不正确；

C中，因为，所以，即，，，

所以，解得，，

所以直线的斜率为，所以C正确；

D中，由题意可得弦长，

所以D正确，

故选ACD．

三、填空题．

13．过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是的中点，则的值为_______．

【答案】

【解析】由抛物线方程知，．设，，则，

所以由抛物线的定义知．

14．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】因为，所以，

所以双曲线的渐近线方程为．

15．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为______．

【答案】

【解析】设，因为的中点在轴上，所以，解得，

所以点，，三点共线．

因为，所以，所以垂直平分，所以．

又由椭圆的对称性，知，所以为等边三角形．

因为，所以由，得，

所以．

由椭圆的定义，知，即，所以．

16．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是______．

【答案】(答案不唯一，满足要求即可)

【解析】当且，时，方程表示的曲线为圆，

取，则(答案不唯一，满足要求即可)．