高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数巩固练习

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数巩固练习，共6页。

1．化简[(－ eq \r(3))2]－ eq \f(1,2)的结果是( )
A．－ eq \f(\r(3),3) B． eq \r(3) C． eq \f(\r(3),3) D．－ eq \r(3)
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． eq \r(4,m2) B． eq \r(3,m) C． eq \r(6,m) D． eq \r(5,－m)
3．下列各式正确的是( )
A． eq \r(6,（－3）2)＝ eq \r(3,（－3）) B． eq \r(4,a4)＝a
C． eq \r(6,22)＝ eq \r(3,2)D．a0＝1
4．化简 eq \f(\r(－x3),x)的结果是( )
A．－ eq \r(－x) B． eq \r(x) C．－ eq \r(x) D． eq \r(－x)
5．－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))4＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))－3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－3－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))3的值为( )
A．7 eq \f(3,4) B．8 C．－24 D．－8
6．(多选)下列运算结果中，一定正确的是( )
A．a3·a4＝a7 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a2))3＝a6
C． eq \r(8,a8)＝a D． eq \r(5,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π))5)＝－π
7．2 eq \s\up6(\f(3,2))× eq \r(2)×2－3＝________．
8．化简： eq \r(3－2\r(2))－ eq \r(5＋2\r(6))＝________．
9．(1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1))· eq \r(xy)·(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：2−12＋ eq \f(（－4）0,\r(2))＋ eq \f(1,\r(2)－1)－ eq \r(（1－\r(5)）0)·8 eq \s\up6(\f(2,3)).
10．将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1) eq \r(a\s\up6(\f(1,3))·\r(a))(a>0)；
(2) eq \f(1,\r(3,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5,x2)))2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0))；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b－\f(2,3))))－ eq \f(2,3)(b>0).
[提能力]
11．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－ eq \r(x)＝(－x) eq \s\up6(\f(1,2))
B． eq \r(6,y2)＝y eq \s\up6(\f(1,2))(y<0)
C．x－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,\r(3,x))(x≠0)
D．[ eq \r(3,（－x）2)] eq \s\up6(\f(3,4))＝x eq \s\up6(\f(1,2))(x>0)
12．化简( eq \r(3,\r(6,a9)))4·( eq \r(6,\r(3,a9)))4的结果是( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
13．化简 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,a－1)))4＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a))2)＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a))3)＝________．
14．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝________．
15．已知a1，n∈N*，化简 eq \r(n,（a－b）n)＋ eq \r(n,（a＋b）n).
[培优生]
16．化简y＝ eq \r(4x2＋4x＋1)＋ eq \r(4x2－12x＋9)，并画出简图，写出最小值．
课时作业(二十二) 有理数指数幂
1．解析：[(－ eq \r(3))2]－ eq \f(1,2)＝3－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,3\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).
答案：C
2．解析：由指数幂的运算性质，可得：
对于A中，式子 eq \r(4,m2)中，实数m的取值为R，所以 eq \r(4,m2)总有意义；对于B中，式子 eq \r(3,m)中，实数m的取值为R，所以 eq \r(3,m)总有意义；对于C中，式子 eq \r(6,m)中，实数m的取值为[0，＋∞)，所以 eq \r(6,m)可能没有意义；对于D中式子 eq \r(5,－m)中，实数m的取值为R，所以 eq \r(5,－m)总有意义．
答案：C
3．解析： eq \r(6,（－3）2)＝ eq \r(6,32)＝ eq \r(3,3)， eq \r(4,a4)＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．
答案：C
4．解析：依题意知x<0，所以 eq \f(\r(－x3),x)＝－ eq \r(\f(－x3,x2))＝－ eq \r(－x).
答案：A
5．解析：原式＝－16－ eq \f(1,8)－8－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝－24.
答案：C
6．解析：a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，显然不成立，故B不正确； eq \r(8,a8)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，故C不正确； eq \r(5,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π))5)＝－π，D正确．
答案：AD
7．解析：根据指数幂的运算公式，可得2 eq \s\up6(\f(3,2))× eq \r(2)×2－3＝2 eq \s\up6(\f(3,2))×2 eq \s\up6(\f(1,2))×2－3＝2 eq \f(3,2)＋ eq \f(1,2)－3＝2－1＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
8．解析：原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1))2)－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\r(2)))2)＝ eq \r(2)－1－ eq \r(3)－ eq \r(2)＝－ eq \r(3)－1.
答案：－ eq \r(3)－1
9．解析：(1)原式＝(xy2·x eq \s\up6(\f(1,2))y－ eq \f(1,2)) eq \s\up6(\f(1,3))· (x eq \s\up6(\f(1,2))y eq \s\up6(\f(1,2)))·(xy)－1＝x eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)－1·y eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)－1＝1.
(2)原式＝ eq \f(1,\r(2))＋ eq \f(1,\r(2))＋ eq \r(2)＋1－22＝2 eq \r(2)－3.
10．解析：(1)原式＝ eq \r(a\s\up6(\f(1,3))·a\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \r(a\s\up6(\f(5,6)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(5,6)))) eq \s\up6(\f(1,2))＝a eq \s\up6(\f(5,12)).
(2)原式＝ eq \f(1,\r(3,x·（x\s\up6(\f(2,5))）2))＝ eq \f(1,\r(3,x·x\s\up6(\f(4,5))))＝ eq \f(1,\r(3,x\s\up6(\f(9,5))))
＝ eq \f(1,（x\s\up6(\f(9,5))）\s\up6(\f(1,3)))＝ eq \f(1,x\s\up6(\f(3,5)))＝x－ eq \f(3,5).
(3)原式＝[(b－ eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(1,4))]－ eq \f(2,3)＝b eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))× eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝b eq \s\up6(\f(1,9)).
11．解析：对于选项A，因为－ eq \r(x)＝－x eq \s\up6(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≥0))，而 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x)) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \r(－x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤0))，即A错误；对于选项B，因为 eq \r(6,y2)＝－y eq \s\up6(\f(1,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y<0))，即B错误；对于选项C，x－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,\r(3,x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0))，即C正确；对于选项D， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))2))) eq \s\up6(\f(3,4))＝x2× eq \f(1,3)× eq \f(3,4)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0))，即D正确．
答案：CD
12．解析：( eq \r(3,\r(6,a9)))4·( eq \r(6,\r(3,a9)))4
＝( eq \r(6,a9)) eq \f(4,3)·( eq \r(3,a9)) eq \f(4,6)
＝(a eq \f(9,6)) eq \s\up6(\f(4,3))·(a eq \s\up6(\f(9,3))) eq \s\up6(\f(2,3))＝a eq \f(9,6)× eq \f(4,3)·a eq \f(9,3)× eq \f(2,3) ＝a4.
答案：C
13．解析：由 eq \r(4,a－1)有意义，可得a－1≥0，即a≥1，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,a－1)))4＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a))2)＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a))3)＝a－1＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－a))＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
答案：a－1
14．解析：由根与系数关系得α＋β＝－ eq \f(3,2)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(－\f(3,2))＝(2－2)－ eq \f(3,2)＝23＝8.
答案：8
15．解析：∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴ eq \r(n,（a－b）n)＋ eq \r(n,（a＋b）n)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数．))
16．解析：y＝ eq \r(4x2＋4x＋1)＋ eq \r(4x2－12x＋9)
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－4x，x≤－\f(1,2)，,4，－\f(1,2)其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4.