2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（Word解析版）

这是一份2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（Word解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）设集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，则(    )A.  B.  C.  D. 已知向量，若，则(    )A.  B.  C.  D. 不等式的解集是(    )A.  B.
C.  D. 以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是(    )A.  B.  C.  D. 底面积为，侧面积为的圆锥的体积是(    )A.  B.  C.  D. 设和是函数的两个极值点．若，则(    )A.  B.  C.  D. 已知函数若，则(    )A.  B.
C.  D. 函数的反函数是(    )A.  B.
C.  D. 设等比数列的首项为，公比为，前项和为令，若也是等比数列，则(    )A.  B.  C.  D. 若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 在，，，，，，，，中任取个不同的数，则这个数的和能被整除的概率是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）曲线在点处的切线的方程为          ．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为______．若，则______．设函数，且是增函数，若，则______．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则______． 三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求；
求．本小题分
设是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．
求的通项公式；
令，求数列的前项和．本小题分
甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
求甲获胜的概率；
设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，，四边形的面积为．
求；
求的方程．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
，
则，
故选：．
先求出集合，再利用交集运算求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，，．
，
，．
故选：．
由已知可得，计算即可．
本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．
 4.【答案】 【解析】解：不等式，
即，，
即，，
解得．
故选：．
将分式不等式化简，求解即可．
本题考查不等式的解法，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：以为焦点，轴为准线的抛物线中，
所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为，
即该抛物线的方程为：，
故选：．
由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．
本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意可得，解得，，
圆锥的高．
圆锥的体积是．
故选：．
设圆锥的底面半径为，母线长为，由已知列式求得与，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．
本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：函数，
，
又和是函数的两个极值点，
则和是方程的两根，
故，，
又，
则，
即，
则，
故选：．
先求出，又和是函数的两个极值点，则和是方程的两根，再利用韦达定理可解．
本题考查利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：函数，，
函数的一条对称轴为，即或，故或．
 不妨时，
时，不成立；当时，成立，
故，
故选：．
由题意，可得函数的一条对称轴为，即或再检验选项，可得结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由可得：，
因为，所以，则，
所以原函数的反函数为．
故选：．
根据的范围求出的范围，再反解出，然后根据反函数的定义即可求解．
本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可知，，，，
，若也是等比数列，
，即，即，解得或舍去．
故选：．
由题意可知，，，，再结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由双曲线：的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：．
由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出，的关系，再求离心率的值．
本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】在，，，，，，，，中任取个不同的数，
基本事件总数，
，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，
若要使选取的三个数字和能被整除，
则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
这个数的和能被整除的不同情况有：
，
这个数的和能被整除的概率为．
故选：．
基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：由，得，
，
即曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，整理得：．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：如图，

令，，得，，即，
，
则当时，有最小值为．
故答案为：．
由圆的参数方程可得的坐标，再由两点间的距离公式写出，结合三角函数求最值．
本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由，得．
故答案为：．
由已知直接利用二倍角的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：函数，且，
，
，
或，
函数，且是增函数，
，
故答案为：．
先利用指数幂的运算化简求出，再利用指数函数的单调性求解即可．
本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．
 17.【答案】 【解析】解：如图所示，分别取、的中点、，由正三棱柱的性质可得、、，两两垂直，
建立空间直角坐标系．
则，，，

，，
，，
异面直线与所成角的大小为．
故答案为：．
通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．
本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．
 18.【答案】 【解析】解：由是定义域为的奇函数，可得；
由是定义域为的偶函数，可得．
若，则，
又
可得，
即有．
故答案为：．
由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．
 19.【答案】解：，
由正弦定理可得，，
由余弦定理可得，，即，解得，
．
，，，
． 【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
根据的结论，以及正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
 20.【答案】解：已知是首项为，公差不为的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
由可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即． 【解析】由已知条件可得：，求得，然后求通项公式即可；
由可得：，则，然后分两种情况讨论：当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．
 21.【答案】解：由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
随机变量的取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为： 则随机变量的数学期望为． 【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；
由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．
本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．
 22.【答案】解：由对称性知，，
不妨取点在第一象限，设，则，解得，，
因为四边形的面积为，
所以，
所以．
设椭圆的方程为，
由知，，
代入椭圆方程有，
又，
所以，，
故椭圆的方程为． 【解析】由对称性知，不妨取点在第一象限，先求得点的坐标，再利用四边形的面积为，可得的值；
设椭圆的方程为，代入点的坐标，并结合，求得，的值，即可．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．