（新高考）高考数学三轮冲刺考前预测09《圆锥曲线中的基本量及性质的考查》（2份打包，解析版+原卷版）

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预测09 圆锥曲线中的基本量及性质的考查

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆
解答题☆☆
考向预测
（1） 圆锥曲线的定义及应用；
（2） 圆锥曲线的标准方程；
（3） 圆锥曲线的几何性质；
（4） 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与椭圆、双曲线以及抛物线的位置关系．




考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程·

一、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径
① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）
② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为
焦点三角形面积：（其中）
一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2p x(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下














焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则
焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）

1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C．
2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
3、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
4、【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
5、【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A．

6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
7、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
8、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，
故选B.
9、【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有，
∴，，，
∴.
故选D.
10、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
11、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
12、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线.
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
13、【2020年高考全国I卷理数】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【解析】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
14、【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
15、【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】；
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
16、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】
【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
17、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
18、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.
不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.
由得，即，解得（舍去），.
所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，
设，则，，故.①
由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.
所以的标准方程为，的标准方程为.
19、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【解析】（1）由题设可得，得，
所以的方程为.
（2）设，根据对称性可设，由题意知，
由已知可得，直线BP的方程为，所以，，
因为，所以，将代入的方程，解得或.
由直线BP的方程得或8.
所以点的坐标分别为.
，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
综上，的面积为.
20、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．

一、单选题
1、（2021·湖北高三期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由得，所以抛物线为开口向上的抛物线，且，
所以焦点坐标为，
故选：C
2、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【解析】
因为双曲线的渐近线方程为，
又其一条渐近线与直线垂直，直线的斜率为，
所以
故选：C.
3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题,离心率,解得,
因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即
故选：C
4、（2021·山东泰安市·高三期末）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【解析】
抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
5、（2021·全国高三专题练习（理））设分别是双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，则，
由余弦定理得，
解得，
为直角三角形，，
故选：B.
6、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
二、多选题
7、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：ABC.
8、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】
由题意，可得：焦点在轴上，且；
A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，
所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；
故选：ABC.
9、（2021·湖北高三期末）关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条
C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点
【答案】ACD
【解析】
双曲线的渐近线方程可表示为为，双曲线的渐近线方程可表示为，整理后都是，故A正确；
由于双曲线的实轴长为,∴过焦点与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是,存在关于对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：

故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为，焦点在x轴上，
∴若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率，
如图所示：

故C正确；
由于点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：

故过能作4条直线与双曲线仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切.
故选：.
10、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（ ）

A．，两点的纵坐标之积为
B．点在定直线上
C．点与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
【答案】ABC
【解析】
设点，
将直线l的方程代入抛物线方程得：.
则，故A正确；
由题得，
则，，
直线的方程为，
直线的方程为，
消去y得，将代入上式得，
故点Q在直线上，故B正确；
设抛物线上任一点，
则，当时，最小，此时，即最短，故C正确；
因为，但，所以D错误.
故选：ABC.
11、（2021·江苏常州市·高三期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
【答案】BCD
【解析】
选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，

同理当时，，所以D正确.
故选：BCD



三、填空题
12、（2021·河北张家口市·高三期末）双曲线的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.
【答案】3
【解析】
因为，，故直线的方程为，
代入，整理得，解得或，
故，故.
故答案为：3.
13、（2020·辽宁抚顺市·高三期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
因为椭圆与双曲线的焦点相同，
所以，
即，
解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
14、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心，半径为的圆与交于点，过点作圆的切线，切点为，若，且的面积为，则______．
【答案】2
【解析】

因为，， 所以，因为，所以是线段的中点,因为的面积为，所以的面积为.又由可得，所以,所以，解得.
故答案为：2
四、解答题
15、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.
【解析】
(1)由内切圆的性质可知，，，

.
所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).
设曲线则，
即
所以曲线的方程为.
(2)因为轴，所以，设，
所以，所以，则
因为，所以，
所以
所以，所以
设则
，所以
①直线斜率不存在时， 方程为
此时，不符合条件舍去.
②直线的斜率存在时，设直线的方程为.
联立，得
所以，
将代入得
，所以.
所以，
所以直线的方程为或.
16、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.
【解析】
（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,
所以,所以,
又,,解得,,
所以椭圆的标准方程为
（2）设点,则,,
联立,得,
所以,,
因为为锐角,所以,
所以


,
解得或